Для статически определимых систем иногда удобнее работать не с уравнениями движения в усилиях, а с уравнениями движения в перемещениях. Согласно такому подходу выражения для координат перемещений (линейных перемещений или углов поворотов) системы записываются с использованием их жесткостей. С этой целью введем обозначение
$$\delta =1/k,$$

которое будем рассматривать как податливость пружины, имеющей жесткость, равную $k$. Согласно этим обозначениям определим податливость обеих пружин, показанных на рис. $3.1,a$, в виде ${\delta }_1=$ $=1/k_1$ и ${\delta }_2=1/k_2$.

Предположим, что силы $Q_1$ и $Q_2$, действующие на массы (см. рис. 3.1,a), были приложены статически (поэтому не возникали силы инерции). При таком условии перемещения масс, выраженные через податливости ${\delta }_1$ и ${\delta }_2$, принимают вид
$$\begin{array}{c}{\left(x_1\right)}_{\text{ст }}={\delta }_1(Q_1+Q_2);\\ {\left(x_2\right)}_{\text{ст }}={\delta }_1(Q_1+Q_2)+{\delta }_2{Q}_2.\end{array}$$

Эти выражения можно представить в матричной форме
$${\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]}_{\text{ст }}=\left[\begin{array}{cc}{\delta }_1& {\delta }_1\\ {\delta }_2& {\delta }_1+{\delta }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right].$$

Подобные соотношения между перемещениями и усилиями могут быть составлены в еще более компактной форме
$${\mathbf{X}}_{{\mathbf{c}}^T}=\mathbf{F}\mathbf{Q},$$

где через $\mathbf{F}$ обозначена матрица податливости
$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{ll}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\delta }_1& {\delta }_1\\ {\delta }_2& {\delta }_1+{\delta }_2\end{array}\right].$$

Элементами матрицы являются коэффициенты влияния податливости, которые определяются как перемещения, обусловленные единичными усилиями, соответствующими этим перемещениям.

Элементы матрицы податливости можно получить способом, который использовался при построении матрицы жесткости. Произвольный элемент $F_{ij}$ матрицы податливости представляет собой перемещение типа $i$, обусловленное действием единичного усилия типа $j$. Прикладывая единичные усилия в направлении соответствующих координат перемещений (каждый раз по одному усилию) и вычисляя получаемые в результате перемещения, определим все элементы матрицы. На рис. 3.6, $a$, б этот процесс показан для системы, изображенной на рис. $3.1,a$. Из рис. $3.6,a$ видно, что единичная сила $Q_1=1$ статически прикладывается к массе $m_1$, тогда как к массе $m_2$ сил не приложено. Получаемые при этом статические перемещения

Рис. 3.6
обозначены на рисунке буквами $F_{11}$ и $F_{21}$. Обозначение $F_{11}$ относится к перемещению типа 1 , обусловленному действием единичного усилия типа $1,F_{21}$ — перемещение типа 2 , обусловленное влиянием усилия типа 1. Используя обозначение (а), найдем величины $F_{11}=$ $=F_{21}={\delta }_1=1/k_1$, составляющие первый столбец матрицы жесткости. Элементы второго столбца в матрице $\mathbf{F}$ получаем в соответствии с рис. $3.6,\sigma$, на котором показана единичная сила $Q_2=1$, приложенная статически к массе $m_1$, а к массе $m_2$ не приложены силы. В этом случае податливости $F_{12}={\delta }_1=1/k_1,F_{22}={\delta }_1+{\delta }_2=$ $=(k_1+k_2)/\left(k_1{k}_2\right)$ и представляют собой перемещения типа 1 и 2 , обусловленные действием единичной силы типа 2. Матрица податливости, так же как матрица жесткости, всегда симметрична * для линейной упругой системы (как свойство обращения симметричной матрицы), и в этом случае имеем $F_{12}=F_{21}={\delta }_1$.

Приложим теперь силы $Q_1$ и $Q_2$ динамически, при этом необходимо принять во внимание силы инерции — $m_1{\ddot{x}}_1$ и $-m_2{\ddot{x}}_2$, и тогда уравнение (г) примет вид
$$\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\delta }_1& {\delta }_1\\ {\delta }_2& {\delta }_1+{\delta }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{Q}_1& -m_1{\ddot{x}}_1\\ Q_2& -m_2{\ddot{x}}_2\end{array}\right].$$

Если для масс и ускорений записать отдельные матрицы, то уравнение (ж) примет развернутую форму
$$\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\delta }_1& {\delta }_1\\ {\delta }_2& {\delta }_1+{\delta }_2\end{array}\right](\left[\begin{array}{l}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\ddot{x}}_1\\ {\ddot{x}}_2\end{array}\right]),$$

краткая запись которой имеет вид
$$\mathbf{X}=\mathbf{F}(\mathbf{Q}-\mathbf{M}\ddot{\mathbf{X}})$$

Из этого соотношения следует, что динамические перемещения равны произведению матрицы податливости на усилия, рассматриваемые в задаче. Как внешние приложенные усилия, так и инерционные усилия входят в стоящее в скобках выражение в правой части уравнения.

Для того чтобы сравнить этот метод с тем, что рассматривается в предыдущем параграфе, решим соотношение (3.6) относительно $\mathbf{X}$ :
$$\mathbf{X}={\mathbf{S}}^{-1}(\mathbf{Q}-\mathbf{M}\ddot{\mathbf{X}}).$$

Выражение (3) получено в предположении, что матрица жесткости $\mathbf{S}$ не особенная, поэтому существует обратная матрица ${\mathbf{S}}^{-1}$. Сравнивая уравнения (3.12) и (3), получаем соотношение
$$\mathrm{F}={\mathrm{S}}^{-1},$$

которым можно пользоваться тогда, когда матрицы $\mathbf{F}$ и $\mathbf{S}$ соответствуют одним и тем же координатам одной и той же системы. Напри мер, если взять матрицу, обратную матрице $\mathbf{F}$ из выражения (е), и использовать обозначения (a), то получим матрицу
$${\mathrm{F}}^{-1}=\frac{1}{{\delta }_1{\delta }_2}\left[\begin{array}{cc}{\delta }_1+{\delta }_2& -{\delta }_1\\ -{\delta }_1& {\delta }_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{k}_1+k_2& -k_2\\ -k_2& k_2\end{array}\right],$$

являющуюся матрицей жесткости для системы, показанной на рис. 3.1, а [см. выражение (б) в п. 3.2]. Разумеется, если матрица жесткости системы особенная, то соответствующей ей матрицы податливости не суцествует.

Поскольку система, показанная на рис. 3.1 , а, является статически определимой, то для нее матрица податливости получается легко, что, как правило, не так просто получить в случае статически неопределимых систем. Для большинства колеблющихся систем более простым является подход с использованием уравнений движения в усилиях с коэффициентами жесткости, но имеется много случаев, когда удобнее противоположный подход. В следующем примере показано использование коэффициентов влияния податливости.

Пример 1. На рис. 3.7, а показана консольно закрепленная балка с установленными на ней в середине пролета и на незакрепленном конце массами соответственно $m_1$ и $m_2$. Предполагается, что призматическая балка имеет жесткость $EI$ при изгибе. Рассматривая только малые перемещения, обусловленные изгибными деформациями, возьмем в качестве координат перемещений прогибы $y_1$ и $y_2$ в направлении оси $y$. В этой задаче требуется получить уравнения движения в перемещениях, используя коэффициенты влияния податливости.

Решение. Для того чтобы найти искомые коэффициенты податливости, прикладываем сначала единичную силу $Q_1=1$ (см. рис. 3.7, б), и тогда получим
$$F_{11}=\frac{l^3}{24EI};F_{21}==\frac{5l^3}{48EI}.$$
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Затем прикладываем единичную балку $Q_2=1$ (см. рис. 3.7, ) и находим
$$F_{12}=\frac{5l^3}{48EI};F_{22}=\frac{l^3}{3EI}\text{. }$$

В результате матрица податливости принимает следующий вид:
$$\mathbf{F}=\frac{l^3}{48EI}\left[\begin{array}{ll}2& 5\\ 5& 16\end{array}\right].$$

Тогда запишем матричную форму уравнений движения в перемещениях как
$$\left[\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\frac{l^3}{48EI}\left[\begin{array}{ll}2& 5\\ 5& 16\end{array}\right](\left[\begin{array}{l}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\ddot{y}}_1\\ {\ddot{y}}_2\end{array}\right]).$$

Обращение матрицы податливости дает
$$\mathbf{S}={\mathbf{F}}^{-1}=\frac{48EI}{7l^3}\left[\begin{array}{rr}16& -5\\ -5& 2\end{array}\right].$$

Эту обращенную матрицу можно получить непосредственно с помощью процесса, показанного на рис. 3.7 , 2 и $\partial$. Однако непосредственное определение жесткостей в подобного типа задачах является более сложным, чем определение податливостей. Следовательно, если требуется найти жесткости, то более просто это сделать с помощью обращения матрицы податливости.

Пример 2. Простейшая схема, показанная на рис. 3.8 , $a$, состоит из двух призматических балок с жесткостями $EI$ при изгибе. К незакрепленному концу рамы присоединена масса $m$, а малые (обусловленные деформациями при изгибе) перемещения $x_1$ и $y_1$ незакрепленного конца имеют одинаковый порядок величины. Требуется записать уравнения движения в усилиях, используя координаты перемещения $x_1$ и $y_1$ и не учитывая влияния сил тяжести.

Решение. Так же, как и в предыдущем примере, здесь гораздо легче определять податливости, чем жесткости. На рис. 3.8, б и в показаны перемещения, обусловленные действием единичных нагрузок $Q_x=1$ и $Q_y=1$ в том случае, когда
Рис. 3.9
прикладывается только одна из этих нагрузок. В результате матрица податливости принимает вид
$$\mathbf{F}=\frac{l^3}{6EI}\left[\begin{array}{ll}8& 3\\ 3& 2\end{array}\right].$$

Обращая эту матрицу, найдем
$$\mathbf{S}={\mathbf{F}}^{-1}=\frac{6EI}{7l^3}\left[\begin{array}{rr}2& -3\\ -3& 8\end{array}\right].$$

Тогда уравнения движения в усилиях запишем как
$$\left[\begin{array}{rr}m& 0\\ 0& m\end{array}\right]+\frac{6EI}{7l^3}\left[\begin{array}{rr}2& -3\\ -3& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{Q}_x\\ Q_y\end{array}\right].$$

Пример 3. В качестве третьего примера определения податливостей рассмотрим два абсолютно жестких маятника (рис. $3.9,a$ ), соединенных работающим на кручение стержнем с жесткостью $k_{\mathrm{k}}$ при кручении. Требуется получить уравнения движения в перемещениях при малых поворотах ( ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ ) маятников вокруг оси $x$.

Peшение. Так как для данной системы несложно определить коэффициенты матрицы жесткости (матрицы сил тяжести), запишем их сразу:
$${\mathbf{S}}^{\ast }=\mathbf{S}+\mathbf{G}=\left[\begin{array}{rr}{k}_{\mathrm{K}}& -k_{\mathrm{K}}\\ -k_{\mathrm{K}}& k_{\mathrm{K}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}mgl& 0\\ 0& mgl\end{array}\right].$$

Поскольку матрица жесткости $\mathbf{S}$ является особенной, матрицы податливости $\mathbf{F}=$ $=S^{-1}$ не существует. Тем не менее, существует обратная матрице $S^{\ast }$ матрица вида
$${\mathbf{F}}^{\ast }={\left({\mathrm{S}}^{\ast }\right)}^{-1}=\frac{1}{mgl(2k_{\mathrm{K}}+mgl)}\left[\begin{array}{cc}{k}_{\mathrm{K}}+mgl& k_{\mathrm{I}}\\ k_{\mathrm{K}}& k_{\mathrm{K}}+mgl\end{array}\right]\text{. }$$

Элементы матрицы ${\mathbf{F}}^{\ast }$ нельзя разделить на коэффициенты влияний податливости и сил тяжести, поэтому их следует рассматривать как псевдоподатливости. Их можно определить непосредственно, прикладывая единичные моменты (или дающие тот же результат силы $P_1=1/l$ и $P_2=1/l$ ) так, как показано на рис. $3.9,6$ и 6 . В соответствии с рис. 3.9 , б запищем условие равновесия моментов
$$mgl{F}_{11}^{\ast }+mgl{F}_{:1}^{\ast }=P_{1}l=1$$

и условие совместности при кручении
$$F_{11}^{\ast }-F_{21}^{\ast }=\frac{mgl{F}_{21}^{\ast }}{k_{\mathrm{K}}}.$$

Решая систему двух уравнений (ф) и (х), найдем выражение элементов матрицы
$$\begin{array}{l}{F}_{11}^{\ast }=\frac{k_{\mathrm{K}}+mgl}{mgl(2k_{\mathrm{K}}+mgl)};\\ F_{21}^{\ast }=\frac{k_{\mathrm{K}}}{mgl(2k_{\mathrm{K}}+mgl)},\end{array}$$
которые совпадают с выражениями для элементов, стоящих в первом столбце матрицы (у). Аналогично можно определить, используя рис. 3.9 , в, выражения для элементов второго столбца матрицы $F^{\ast }$. Тогда записанные с использованием матрицы $F^{\ast }$ уравнения для перемещений в данном примере имеют вид
$$\left[\begin{array}{l}{\theta }_1\\ {\theta }_2\end{array}\right]={\mathbf{F}}^{\ast }(\left[\begin{array}{c}{P}_{1}l\\ P_{2}l\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}m{l}^2& 0\\ 0& m{l}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\ddot{\theta }}_{\mathbf{l}}\\ {\ddot{\theta }}_2\end{array}\right])\cdot$$

ЗАДАЧИ

3.3.1. Для двухмассовой системы из задачи 3.2 .1 определить коэффициенты податливости, приложив поочередно к массам $m_1$ и $m_2$ единичные силы. Записать в матричной форме уравнение движения и проверить справедливость соотношения $\mathbf{S}={\mathbf{F}}^{-1}$.
3.3.2. К показанной на рис. 3.3 (см. п. 3.1) системе применить метод, основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Получить прямым путем коэффициенты податливости и проверить справедливость\» соотношения $\mathrm{S}=$ $={\mathrm{F}}^{-1}$.
3.3.3. Вновь рассмотреть соединенные пружиной и показанные на рис. 3.4 (см. п. 3.1) пару маятников и определить матрицу $F^{\ast }$ псевдоподатливостей? путем обращения матрицы S*. Кроме того, \»определить элементы матрицы ${\mathbf{F}}^{\ast }$ непосредственно, приложив единичные усилия, соответствующие координатам перемещения ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$.
3.3.4. Для двухэтажной рамы, рассматриваемой в задаче 3.2 .5 , определить податливости путем приложения единичных сил. Записать в матричной форме уравнения движения в перемещения и проверить справедливость соотношения $\mathrm{S}=$ $={\mathrm{F}}^{-1}$.
3.3.5. Построить матрицу податливости ${\mathrm{F}}_C$ для рассматриваемой в задаче 3.2 .6 системы без учета сил тяжести. Получить матрицу ${\mathbf{S}}_C$ путем обращения матрицы ${\mathbf{F}}_C$, затем путем суммирования с матрицей ${\mathrm{G}}_C$ получить матрицу ${\mathbf{S}}_C^{\ast }$, после чего об ращением матрицы ${\mathbf{S}}_C^{\ast }$ получить матрицу ${\mathbf{F}}_C^{\ast }$.
3.3.6. Свободно опертая балка (рис. А.3.3.6) имеет установленные в точках, отстоящих от концов и друг от друга на треть длины балки, сосредоточенные массы $m_1$ и $m_2$. Предполагается, что призматическая балка имеет при изгибе жесткость $EI$. Используя $y_1$ и $y_2$ в качестве координат перемещения, определить коэффициенты податливости и записать в матричной форме уравнения движения в перемещениях.
Рис. А.3.3.6
3.3.7. На рис. А.3.3.7 показана свободно опертая балка с одним свешивающимся концом (жесткость при изгибе равна $EI$ ) и с двумя массами $m_1$ и $m_2$. Определить матрицу $\mathbf{F}$ податливости, обратить ее для получения матрицы жесткости $\mathbf{S}={\mathbf{F}}^{-1}$ и записать в матричной форме уравнения движения в условиях.
Рис. А.3.3.7
3.3.8. Каждый элемент горизонтальной рамы (рис. А.3.3.8) имеет поперечное сечение прямоугольной формы с жесткостями $EI$ при изгибе и $GJ$ при кручении. Определить матрицу податливости для перемещений $y_1$ и $y_2$ в вертикальном направлении, обратить ее и записать в матричной форме уравнения движения в усилиях.
Рис. А.3.3.8