Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Для статически определимых систем иногда удобнее работать не с уравнениями движения в усилиях, а с уравнениями движения в перемещениях. Согласно такому подходу выражения для координат перемещений (линейных перемещений или углов поворотов) системы записываются с использованием их жесткостей. С этой целью введем обозначение которое будем рассматривать как податливость пружины, имеющей жесткость, равную $k$. Согласно этим обозначениям определим податливость обеих пружин, показанных на рис. $3.1, a$, в виде $\delta_{1}=$ $=1 / k_{1}$ и $\delta_{2}=1 / k_{2}$. Предположим, что силы $Q_{1}$ и $Q_{2}$, действующие на массы (см. рис. 3.1,a), были приложены статически (поэтому не возникали силы инерции). При таком условии перемещения масс, выраженные через податливости $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$, принимают вид Эти выражения можно представить в матричной форме Подобные соотношения между перемещениями и усилиями могут быть составлены в еще более компактной форме где через $\mathbf{F}$ обозначена матрица податливости Элементами матрицы являются коэффициенты влияния податливости, которые определяются как перемещения, обусловленные единичными усилиями, соответствующими этим перемещениям. Элементы матрицы податливости можно получить способом, который использовался при построении матрицы жесткости. Произвольный элемент $F_{i j}$ матрицы податливости представляет собой перемещение типа $i$, обусловленное действием единичного усилия типа $j$. Прикладывая единичные усилия в направлении соответствующих координат перемещений (каждый раз по одному усилию) и вычисляя получаемые в результате перемещения, определим все элементы матрицы. На рис. 3.6, $a$, б этот процесс показан для системы, изображенной на рис. $3.1, a$. Из рис. $3.6, a$ видно, что единичная сила $Q_{1}=1$ статически прикладывается к массе $m_{1}$, тогда как к массе $m_{2}$ сил не приложено. Получаемые при этом статические перемещения Рис. 3.6 Приложим теперь силы $Q_{1}$ и $Q_{2}$ динамически, при этом необходимо принять во внимание силы инерции – $m_{1} \ddot{x}_{1}$ и $-m_{2} \ddot{x}_{2}$, и тогда уравнение (г) примет вид Если для масс и ускорений записать отдельные матрицы, то уравнение (ж) примет развернутую форму краткая запись которой имеет вид Из этого соотношения следует, что динамические перемещения равны произведению матрицы податливости на усилия, рассматриваемые в задаче. Как внешние приложенные усилия, так и инерционные усилия входят в стоящее в скобках выражение в правой части уравнения. Для того чтобы сравнить этот метод с тем, что рассматривается в предыдущем параграфе, решим соотношение (3.6) относительно $\mathbf{X}$ : Выражение (3) получено в предположении, что матрица жесткости $\mathbf{S}$ не особенная, поэтому существует обратная матрица $\mathbf{S}^{-1}$. Сравнивая уравнения (3.12) и (3), получаем соотношение которым можно пользоваться тогда, когда матрицы $\mathbf{F}$ и $\mathbf{S}$ соответствуют одним и тем же координатам одной и той же системы. Напри мер, если взять матрицу, обратную матрице $\mathbf{F}$ из выражения (е), и использовать обозначения (a), то получим матрицу являющуюся матрицей жесткости для системы, показанной на рис. 3.1, а [см. выражение (б) в п. 3.2]. Разумеется, если матрица жесткости системы особенная, то соответствующей ей матрицы податливости не суцествует. Поскольку система, показанная на рис. 3.1 , а, является статически определимой, то для нее матрица податливости получается легко, что, как правило, не так просто получить в случае статически неопределимых систем. Для большинства колеблющихся систем более простым является подход с использованием уравнений движения в усилиях с коэффициентами жесткости, но имеется много случаев, когда удобнее противоположный подход. В следующем примере показано использование коэффициентов влияния податливости. Пример 1. На рис. 3.7, а показана консольно закрепленная балка с установленными на ней в середине пролета и на незакрепленном конце массами соответственно $m_{1}$ и $m_{2}$. Предполагается, что призматическая балка имеет жесткость $E I$ при изгибе. Рассматривая только малые перемещения, обусловленные изгибными деформациями, возьмем в качестве координат перемещений прогибы $y_{1}$ и $y_{2}$ в направлении оси $y$. В этой задаче требуется получить уравнения движения в перемещениях, используя коэффициенты влияния податливости. Решение. Для того чтобы найти искомые коэффициенты податливости, прикладываем сначала единичную силу $Q_{1}=1$ (см. рис. 3.7, б), и тогда получим В результате матрица податливости принимает следующий вид: Тогда запишем матричную форму уравнений движения в перемещениях как Обращение матрицы податливости дает Эту обращенную матрицу можно получить непосредственно с помощью процесса, показанного на рис. 3.7 , 2 и $\partial$. Однако непосредственное определение жесткостей в подобного типа задачах является более сложным, чем определение податливостей. Следовательно, если требуется найти жесткости, то более просто это сделать с помощью обращения матрицы податливости. Пример 2. Простейшая схема, показанная на рис. 3.8 , $a$, состоит из двух призматических балок с жесткостями $E I$ при изгибе. К незакрепленному концу рамы присоединена масса $m$, а малые (обусловленные деформациями при изгибе) перемещения $x_{1}$ и $y_{1}$ незакрепленного конца имеют одинаковый порядок величины. Требуется записать уравнения движения в усилиях, используя координаты перемещения $x_{1}$ и $y_{1}$ и не учитывая влияния сил тяжести. Решение. Так же, как и в предыдущем примере, здесь гораздо легче определять податливости, чем жесткости. На рис. 3.8, б и в показаны перемещения, обусловленные действием единичных нагрузок $Q_{x}=1$ и $Q_{y}=1$ в том случае, когда Обращая эту матрицу, найдем Тогда уравнения движения в усилиях запишем как Пример 3. В качестве третьего примера определения податливостей рассмотрим два абсолютно жестких маятника (рис. $3.9, a$ ), соединенных работающим на кручение стержнем с жесткостью $k_{\mathrm{k}}$ при кручении. Требуется получить уравнения движения в перемещениях при малых поворотах ( $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ ) маятников вокруг оси $x$. Peшение. Так как для данной системы несложно определить коэффициенты матрицы жесткости (матрицы сил тяжести), запишем их сразу: Поскольку матрица жесткости $\mathbf{S}$ является особенной, матрицы податливости $\mathbf{F}=$ $=S^{-1}$ не существует. Тем не менее, существует обратная матрице $S^{*}$ матрица вида Элементы матрицы $\mathbf{F}^{*}$ нельзя разделить на коэффициенты влияний податливости и сил тяжести, поэтому их следует рассматривать как псевдоподатливости. Их можно определить непосредственно, прикладывая единичные моменты (или дающие тот же результат силы $P_{1}=1 / l$ и $P_{2}=1 / l$ ) так, как показано на рис. $3.9,6$ и 6 . В соответствии с рис. 3.9 , б запищем условие равновесия моментов и условие совместности при кручении Решая систему двух уравнений (ф) и (х), найдем выражение элементов матрицы ЗАДАЧИ 3.3.1. Для двухмассовой системы из задачи 3.2 .1 определить коэффициенты податливости, приложив поочередно к массам $m_{1}$ и $m_{2}$ единичные силы. Записать в матричной форме уравнение движения и проверить справедливость соотношения $\mathbf{S}=\mathbf{F}^{-1}$.
|
1 |
Оглавление
|