Для статически определимых систем иногда удобнее работать не с уравнениями движения в усилиях, а с уравнениями движения в перемещениях. Согласно такому подходу выражения для координат перемещений (линейных перемещений или углов поворотов) системы записываются с использованием их жесткостей. С этой целью введем обозначение
\[
\delta=1 / k,
\]

которое будем рассматривать как податливость пружины, имеющей жесткость, равную $k$. Согласно этим обозначениям определим податливость обеих пружин, показанных на рис. $3.1, a$, в виде $\delta_{1}=$ $=1 / k_{1}$ и $\delta_{2}=1 / k_{2}$.

Предположим, что силы $Q_{1}$ и $Q_{2}$, действующие на массы (см. рис. 3.1,a), были приложены статически (поэтому не возникали силы инерции). При таком условии перемещения масс, выраженные через податливости $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$, принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\left(x_{1}\right)_{\text {ст }}=\delta_{1}\left(Q_{1}+Q_{2}\right) ; \\
\left(x_{2}\right)_{\text {ст }}=\delta_{1}\left(Q_{1}+Q_{2}\right)+\delta_{2} Q_{2} .
\end{array}
\]

Эти выражения можно представить в матричной форме
\[
\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]_{\text {ст }}=\left[\begin{array}{cc}
\delta_{1} & \delta_{1} \\
\delta_{2} & \delta_{1}+\delta_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
Q_{1} \\
Q_{2}
\end{array}\right] .
\]

Подобные соотношения между перемещениями и усилиями могут быть составлены в еще более компактной форме
\[
\mathbf{X}_{\mathbf{c}^{T}}=\mathbf{F Q},
\]

где через $\mathbf{F}$ обозначена матрица податливости
\[
\mathbf{F}=\left[\begin{array}{ll}
F_{11} & F_{12} \\
F_{21} & F_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\delta_{1} & \delta_{1} \\
\delta_{2} & \delta_{1}+\delta_{2}
\end{array}\right] .
\]

Элементами матрицы являются коэффициенты влияния податливости, которые определяются как перемещения, обусловленные единичными усилиями, соответствующими этим перемещениям.

Элементы матрицы податливости можно получить способом, который использовался при построении матрицы жесткости. Произвольный элемент $F_{i j}$ матрицы податливости представляет собой перемещение типа $i$, обусловленное действием единичного усилия типа $j$. Прикладывая единичные усилия в направлении соответствующих координат перемещений (каждый раз по одному усилию) и вычисляя получаемые в результате перемещения, определим все элементы матрицы. На рис. 3.6, $a$, б этот процесс показан для системы, изображенной на рис. $3.1, a$. Из рис. $3.6, a$ видно, что единичная сила $Q_{1}=1$ статически прикладывается к массе $m_{1}$, тогда как к массе $m_{2}$ сил не приложено. Получаемые при этом статические перемещения

Рис. 3.6
обозначены на рисунке буквами $F_{11}$ и $F_{21}$. Обозначение $F_{11}$ относится к перемещению типа 1 , обусловленному действием единичного усилия типа $1, F_{21}$ — перемещение типа 2 , обусловленное влиянием усилия типа 1. Используя обозначение (а), найдем величины $F_{11}=$ $=F_{21}=\delta_{1}=1 / k_{1}$, составляющие первый столбец матрицы жесткости. Элементы второго столбца в матрице $\mathbf{F}$ получаем в соответствии с рис. $3.6, \sigma$, на котором показана единичная сила $Q_{2}=1$, приложенная статически к массе $m_{1}$, а к массе $m_{2}$ не приложены силы. В этом случае податливости $F_{12}=\delta_{1}=1 / k_{1}, \quad F_{22}=\delta_{1}+\delta_{2}=$ $=\left(k_{1}+k_{2}\right) /\left(k_{1} k_{2}\right)$ и представляют собой перемещения типа 1 и 2 , обусловленные действием единичной силы типа 2. Матрица податливости, так же как матрица жесткости, всегда симметрична * для линейной упругой системы (как свойство обращения симметричной матрицы), и в этом случае имеем $F_{12}=F_{21}=\delta_{1}$.

Приложим теперь силы $Q_{1}$ и $Q_{2}$ динамически, при этом необходимо принять во внимание силы инерции — $m_{1} \ddot{x}_{1}$ и $-m_{2} \ddot{x}_{2}$, и тогда уравнение (г) примет вид
\[
\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\delta_{1} & \delta_{1} \\
\delta_{2} & \delta_{1}+\delta_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
Q_{1} & -m_{1} \ddot{x}_{1} \\
Q_{2} & -m_{2} \ddot{x}_{2}
\end{array}\right] .
\]

Если для масс и ускорений записать отдельные матрицы, то уравнение (ж) примет развернутую форму
\[
\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\delta_{1} & \delta_{1} \\
\delta_{2} & \delta_{1}+\delta_{2}
\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{l}
Q_{1} \\
Q_{2}
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
m_{1} & 0 \\
0 & m_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2}
\end{array}\right]\right),
\]

краткая запись которой имеет вид
\[
\mathbf{X}=\mathbf{F}(\mathbf{Q}-\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}})
\]

Из этого соотношения следует, что динамические перемещения равны произведению матрицы податливости на усилия, рассматриваемые в задаче. Как внешние приложенные усилия, так и инерционные усилия входят в стоящее в скобках выражение в правой части уравнения.

Для того чтобы сравнить этот метод с тем, что рассматривается в предыдущем параграфе, решим соотношение (3.6) относительно $\mathbf{X}$ :
\[
\mathbf{X}=\mathbf{S}^{-1}(\mathbf{Q}-\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}) .
\]

Выражение (3) получено в предположении, что матрица жесткости $\mathbf{S}$ не особенная, поэтому существует обратная матрица $\mathbf{S}^{-1}$. Сравнивая уравнения (3.12) и (3), получаем соотношение
\[
\mathrm{F}=\mathrm{S}^{-1},
\]

которым можно пользоваться тогда, когда матрицы $\mathbf{F}$ и $\mathbf{S}$ соответствуют одним и тем же координатам одной и той же системы. Напри мер, если взять матрицу, обратную матрице $\mathbf{F}$ из выражения (е), и использовать обозначения (a), то получим матрицу
\[
\mathrm{F}^{-1}=\frac{1}{\delta_{1} \delta_{2}}\left[\begin{array}{cc}
\delta_{1}+\delta_{2} & -\delta_{1} \\
-\delta_{1} & \delta_{1}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\
-k_{2} & k_{2}
\end{array}\right],
\]

являющуюся матрицей жесткости для системы, показанной на рис. 3.1, а [см. выражение (б) в п. 3.2]. Разумеется, если матрица жесткости системы особенная, то соответствующей ей матрицы податливости не суцествует.

Поскольку система, показанная на рис. 3.1 , а, является статически определимой, то для нее матрица податливости получается легко, что, как правило, не так просто получить в случае статически неопределимых систем. Для большинства колеблющихся систем более простым является подход с использованием уравнений движения в усилиях с коэффициентами жесткости, но имеется много случаев, когда удобнее противоположный подход. В следующем примере показано использование коэффициентов влияния податливости.

Пример 1. На рис. 3.7, а показана консольно закрепленная балка с установленными на ней в середине пролета и на незакрепленном конце массами соответственно $m_{1}$ и $m_{2}$. Предполагается, что призматическая балка имеет жесткость $E I$ при изгибе. Рассматривая только малые перемещения, обусловленные изгибными деформациями, возьмем в качестве координат перемещений прогибы $y_{1}$ и $y_{2}$ в направлении оси $y$. В этой задаче требуется получить уравнения движения в перемещениях, используя коэффициенты влияния податливости.

Решение. Для того чтобы найти искомые коэффициенты податливости, прикладываем сначала единичную силу $Q_{1}=1$ (см. рис. 3.7, б), и тогда получим
\[
F_{11}=\frac{l^{3}}{24 E I} ; \quad F_{21}==\frac{5 l^{3}}{48 E I} .
\]
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Затем прикладываем единичную балку $Q_{2}=1$ (см. рис. 3.7, ) и находим
\[
F_{12}=\frac{5 l^{3}}{48 E I} ; \quad F_{22}=\frac{l^{3}}{3 E I} \text {. }
\]

В результате матрица податливости принимает следующий вид:
\[
\mathbf{F}=\frac{l^{3}}{48 E I}\left[\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
5 & 16
\end{array}\right] .
\]

Тогда запишем матричную форму уравнений движения в перемещениях как
\[
\left[\begin{array}{l}
y_{1} \\
y_{2}
\end{array}\right]=\frac{l^{3}}{48 E I}\left[\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
5 & 16
\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{l}
Q_{1} \\
Q_{2}
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
m_{1} & 0 \\
0 & m_{1}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{y}_{1} \\
\ddot{y}_{2}
\end{array}\right]\right) .
\]

Обращение матрицы податливости дает
\[
\mathbf{S}=\mathbf{F}^{-1}=\frac{48 E I}{7 l^{3}}\left[\begin{array}{rr}
16 & -5 \\
-5 & 2
\end{array}\right] .
\]

Эту обращенную матрицу можно получить непосредственно с помощью процесса, показанного на рис. 3.7 , 2 и $\partial$. Однако непосредственное определение жесткостей в подобного типа задачах является более сложным, чем определение податливостей. Следовательно, если требуется найти жесткости, то более просто это сделать с помощью обращения матрицы податливости.

Пример 2. Простейшая схема, показанная на рис. 3.8 , $a$, состоит из двух призматических балок с жесткостями $E I$ при изгибе. К незакрепленному концу рамы присоединена масса $m$, а малые (обусловленные деформациями при изгибе) перемещения $x_{1}$ и $y_{1}$ незакрепленного конца имеют одинаковый порядок величины. Требуется записать уравнения движения в усилиях, используя координаты перемещения $x_{1}$ и $y_{1}$ и не учитывая влияния сил тяжести.

Решение. Так же, как и в предыдущем примере, здесь гораздо легче определять податливости, чем жесткости. На рис. 3.8, б и в показаны перемещения, обусловленные действием единичных нагрузок $Q_{x}=1$ и $Q_{y}=1$ в том случае, когда
Рис. 3.9
прикладывается только одна из этих нагрузок. В результате матрица податливости принимает вид
\[
\mathbf{F}=\frac{l^{3}}{6 E I}\left[\begin{array}{ll}
8 & 3 \\
3 & 2
\end{array}\right] .
\]

Обращая эту матрицу, найдем
\[
\mathbf{S}=\mathbf{F}^{-1}=\frac{6 E I}{7 l^{3}}\left[\begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-3 & 8
\end{array}\right] .
\]

Тогда уравнения движения в усилиях запишем как
\[
\left[\begin{array}{rr}
m & 0 \\
0 & m
\end{array}\right]+\frac{6 E I}{7 l^{3}}\left[\begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-3 & 8
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
Q_{x} \\
Q_{y}
\end{array}\right] .
\]

Пример 3. В качестве третьего примера определения податливостей рассмотрим два абсолютно жестких маятника (рис. $3.9, a$ ), соединенных работающим на кручение стержнем с жесткостью $k_{\mathrm{k}}$ при кручении. Требуется получить уравнения движения в перемещениях при малых поворотах ( $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ ) маятников вокруг оси $x$.

Peшение. Так как для данной системы несложно определить коэффициенты матрицы жесткости (матрицы сил тяжести), запишем их сразу:
\[
\mathbf{S}^{*}=\mathbf{S}+\mathbf{G}=\left[\begin{array}{rr}
k_{\mathrm{K}} & -k_{\mathrm{K}} \\
-k_{\mathrm{K}} & k_{\mathrm{K}}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
m g l & 0 \\
0 & m g l
\end{array}\right] .
\]

Поскольку матрица жесткости $\mathbf{S}$ является особенной, матрицы податливости $\mathbf{F}=$ $=S^{-1}$ не существует. Тем не менее, существует обратная матрице $S^{*}$ матрица вида
\[
\mathbf{F}^{*}=\left(\mathrm{S}^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{m g l\left(2 k_{\mathrm{K}}+m g l\right)}\left[\begin{array}{cc}
k_{\mathrm{K}}+m g l & k_{\mathrm{I}} \\
k_{\mathrm{K}} & k_{\mathrm{K}}+m g l
\end{array}\right] \text {. }
\]

Элементы матрицы $\mathbf{F}^{*}$ нельзя разделить на коэффициенты влияний податливости и сил тяжести, поэтому их следует рассматривать как псевдоподатливости. Их можно определить непосредственно, прикладывая единичные моменты (или дающие тот же результат силы $P_{1}=1 / l$ и $P_{2}=1 / l$ ) так, как показано на рис. $3.9,6$ и 6 . В соответствии с рис. 3.9 , б запищем условие равновесия моментов
\[
m g l F_{11}^{*}+m g l F_{: 1}^{*}=P_{1} l=1
\]

и условие совместности при кручении
\[
F_{11}^{*}-F_{21}^{*}=\frac{m g l F_{21}^{*}}{k_{\mathrm{K}}} .
\]

Решая систему двух уравнений (ф) и (х), найдем выражение элементов матрицы
\[
\begin{array}{l}
F_{11}^{*}=\frac{k_{\mathrm{K}}+m g l}{m g l\left(2 k_{\mathrm{K}}+m g l\right)} ; \\
F_{21}^{*}=\frac{k_{\mathrm{K}}}{m g l\left(2 k_{\mathrm{K}}+m g l\right)},
\end{array}
\]
которые совпадают с выражениями для элементов, стоящих в первом столбце матрицы (у). Аналогично можно определить, используя рис. 3.9 , в, выражения для элементов второго столбца матрицы $F^{*}$. Тогда записанные с использованием матрицы $F^{*}$ уравнения для перемещений в данном примере имеют вид
\[
\left[\begin{array}{l}
\theta_{1} \\
\theta_{2}
\end{array}\right]=\mathbf{F}^{*}\left(\left[\begin{array}{c}
P_{1} l \\
P_{2} l
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
m l^{2} & 0 \\
0 & m l^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{\theta}_{\mathbf{l}} \\
\ddot{\theta}_{2}
\end{array}\right]\right) \cdot
\]

ЗАДАЧИ

3.3.1. Для двухмассовой системы из задачи 3.2 .1 определить коэффициенты податливости, приложив поочередно к массам $m_{1}$ и $m_{2}$ единичные силы. Записать в матричной форме уравнение движения и проверить справедливость соотношения $\mathbf{S}=\mathbf{F}^{-1}$.
3.3.2. К показанной на рис. 3.3 (см. п. 3.1) системе применить метод, основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Получить прямым путем коэффициенты податливости и проверить справедливость\» соотношения $\mathrm{S}=$ $=\mathrm{F}^{-1}$.
3.3.3. Вновь рассмотреть соединенные пружиной и показанные на рис. 3.4 (см. п. 3.1) пару маятников и определить матрицу $F^{*}$ псевдоподатливостей? путем обращения матрицы S*. Кроме того, \»определить элементы матрицы $\mathbf{F}^{*}$ непосредственно, приложив единичные усилия, соответствующие координатам перемещения $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$.
3.3.4. Для двухэтажной рамы, рассматриваемой в задаче 3.2 .5 , определить податливости путем приложения единичных сил. Записать в матричной форме уравнения движения в перемещения и проверить справедливость соотношения $\mathrm{S}=$ $=\mathrm{F}^{-1}$.
3.3.5. Построить матрицу податливости $\mathrm{F}_{C}$ для рассматриваемой в задаче 3.2 .6 системы без учета сил тяжести. Получить матрицу $\mathbf{S}_{C}$ путем обращения матрицы $\mathbf{F}_{C}$, затем путем суммирования с матрицей $\mathrm{G}_{C}$ получить матрицу $\mathbf{S}_{C}^{*}$, после чего об ращением матрицы $\mathbf{S}_{C}^{*}$ получить матрицу $\mathbf{F}_{C}^{*}$.
3.3.6. Свободно опертая балка (рис. А.3.3.6) имеет установленные в точках, отстоящих от концов и друг от друга на треть длины балки, сосредоточенные массы $m_{1}$ и $m_{2}$. Предполагается, что призматическая балка имеет при изгибе жесткость $E I$. Используя $y_{1}$ и $y_{2}$ в качестве координат перемещения, определить коэффициенты податливости и записать в матричной форме уравнения движения в перемещениях.
Рис. А.3.3.6
3.3.7. На рис. А.3.3.7 показана свободно опертая балка с одним свешивающимся концом (жесткость при изгибе равна $E I$ ) и с двумя массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Определить матрицу $\mathbf{F}$ податливости, обратить ее для получения матрицы жесткости $\mathbf{S}=\mathbf{F}^{-1}$ и записать в матричной форме уравнения движения в условиях.
Рис. А.3.3.7
3.3.8. Каждый элемент горизонтальной рамы (рис. А.3.3.8) имеет поперечное сечение прямоугольной формы с жесткостями $E I$ при изгибе и $G J$ при кручении. Определить матрицу податливости для перемещений $y_{1}$ и $y_{2}$ в вертикальном направлении, обратить ее и записать в матричной форме уравнения движения в усилиях.
Рис. А.3.3.8