Стержни с незакрепленными концами. В этом случае имеем следующие концевые условия:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=0}=0 ; \quad\left(\frac{d^{3} X}{d x^{3}}\right)_{x=0}=0 \\
\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=l}=0 ; \quad\left(\frac{d^{3} X}{d x^{3}}\right)_{x=l}=0 .
\end{array}
\]

Для того чтобы удовлетворить первым двум из указанных условий, в общем выражении (5.99) для решения надо положить $C_{2}=C_{4}=0$, тогда получим
\[
X=C_{1}(\cos k x+\operatorname{ch} k x)+C_{3}(\sin k x+\operatorname{sh} k x) .
\]

Из третьего и четвертого условий следует
\[
\begin{array}{c}
C_{1}(-\cos k l+\operatorname{ch} k l)+C_{3}(-\sin k l+\operatorname{sh} k l)=0 ; \\
C_{1}(\sin k l+\operatorname{sh} k l)+C_{3}(-\cos k l+\operatorname{ch} k l)=0 .
\end{array}
\]

Отличные от нуля решения для постоянных $C_{1}$ и $C_{3}$ можно получить в том случае, когда равен нулю определитель матрицы, составленный из коэффициентов уравнений (б) и (в). Из этого условия получаем частотное уравнение
\[
(-\cos k l+\operatorname{ch} k l)^{2}-\left(\operatorname{sh}^{2} k l-\sin ^{2} k l\right)=0,
\]

откуда, учитывая соотношения $\operatorname{ch}^{2} k l-\operatorname{sh}^{2} k l=1, \cos ^{2} k l+$ $+\sin ^{2} k l=1$, для уравнения (г) получаем следующую форму:
\[
\cos k l \text { ch } k l=1 \text {. }
\]

Несколько наименьших корней этого уравнения, расположенных в порядке возрастания номеров, приведены ниже, где первое значе-
ние принадлежит двум равным корням, относящимся к двум формам движения как абсолютно жесткого тела:
\begin{tabular}{cccccc}
$k_{0} l$ & $k_{1} l$ & $k_{2} l$ & $k_{3} l$ & $k_{4} l$ & $k_{\mathbf{8}} l$ \\
0 & 4,730 & 7,853 & 10,996 & 14,137 & 17,279
\end{tabular}

Ненулевые значения корней можно приближенно определить по формуле $k_{i} l \approx(1 / 2+i) / \pi$. Для рассматриваемого стержня частоты его колебаний можно определить, используя формулу $f_{i}=p_{i} / 2 \pi=$ $=k_{i}^{2} a / 2 \pi$, откуда находим
\[
f_{0}=0 ; \quad f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{k_{1}^{2} a}{2 \pi} ; \quad f_{2}=\frac{p_{2}}{2 \pi}=\frac{k_{2}^{2} a}{2 \pi}, \ldots
\]

Подставляя корни уравнения (5.107) в порядке возрастания их номеров в уравнения (б) и (в), определим отношение $C_{1} / C_{3}$ для каждой формы колебаний. Тогда из выражения (5.106) можно найти форму прогибов стержня при колебаниях. Первые три формы колебаний, соответствующие частотам $f_{1}, f_{2}$ и $f_{3}$, показаны соответственно на рис. $5.15, a-6$. K перемещениям, обусловленным колебаниями стержня, можно прибавить колебания его как абсолютно жесткого тела. Комбинированное движение как абсолютно жесткого тела можно описать функцией
\[
X=C_{1}+C_{2} x .
\]

Эта функция описывает движение как переносом, так и вращением, и ее можно прибавить к функции, описывающей перемещения при свободных колебаниях стержня.

Стержни с жестко защемленными концами. Концевые условия в этом случае имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
(X)_{x=0}=0 ; & \left(\frac{d X}{d x}\right)_{x=0}=0 ; \\
(X)_{x=l}=0 ; & \left(\frac{d X}{d x}\right)_{x=l}=0 .
\end{array}
\]

Первым двум из этих условий можно удовлетворить, если в общем решении (5.99) положим $C_{1}=C_{2}=0$. В результате получим
\[
X=C_{2}(\cos k x-\operatorname{ch} k x)+C_{4}(\sin k x-\operatorname{sh} k x) .
\]

Рис. 5.15
Рис. 5.16

Удовлетворяя двум другим условиям, приходим к следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{c}
C_{2}(\cos k l-\operatorname{ch} k l)+C_{4}(\sin k l-\operatorname{sh} k l)=0 ; \\
C_{2}(\sin k l+\operatorname{sh} k l)+C_{4}(-\cos k l+\operatorname{ch} k l)=0,
\end{array}
\]

из которых следует такое же частотное уравнение, что и уравнение (5.107), найденное в предыдущем случае. Из сказанного вытекает, что для стержня с жестко защемленными концами последовательный ряд ненулевых частот колебаний будет таким же, как и для стержня со свободными концами. На рис. 5.16, $a$-в показаны первые три формы колебаний для данного случая.

Стержень с одним жестко защемленным концом. Если принять, что левый конец (при $x=0$ ) жестко защемлен, то концевые условия будут иметь вид
\[
\begin{array}{c}
(X)_{x=0}=0 ; \quad\left(\frac{d X}{d x}\right)_{x=0}=0 \\
\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=l}=0 ; \quad\left(\frac{d^{3} X}{d x^{3}}\right)_{x=l}=0 .
\end{array}
\]

Из первых двух условий получаем, что в решении (5.99) $C_{1}=C_{3}=0$, поэтому общим решением, описывающим формы колебаний, снова будет выражение (5.108). Из остальных двух условий вытекает следующее частотное уравнение:
\[
\cos k l \text { ch } k l=-1 \text {. }
\]

Последовательный ряд корней этого уравнения приведен ниже:
\begin{tabular}{cccccc}
$k_{1} l$ & $k_{2} l$ & $k_{8} l$ & $k_{4} l$ & $k_{8} l$ & $k_{8} l$ \\
1,875 & 4,694 & 7,855 & 10,996 & 14,137 & 17,279
\end{tabular}

Приближенные значения этих корней можно определить по формуле $k_{i} l \approx(i-1 / 2) \pi$.

C увеличением частоты корни уравнения (5.109) становятся близкими к корням уравнения (5.107), полученного выше для стержня с незакрепленными концами.
Частота колебаний по произвольной форме
\[
f_{i}=\frac{p_{i}}{2 \pi}=\frac{a k_{i}^{2}}{2 \pi} .
\]

Взяв, например, основную форму колебаний, получим
\[
f_{1}=\frac{a}{2 \pi}\left(\frac{1,875}{l}\right)^{2} .
\]

Соответствующий период колебаний
\[
\tau_{1}=\frac{1}{f_{1}}=\frac{2 \pi}{a} \frac{l^{2}}{(1,875)^{2}}=\frac{2 \pi}{3,515} \sqrt{\frac{\overline{\rho F l^{4}}}{E I}} .
\]

Первые три формы колебаний, относящиеся к данному случаю, изображены на рис. 5.17, $a$-в.
Рис. 5.17
Рис. 5.18

Стержень с одним концом жестко защемленным, а другим свободно опертым. В этом случае частотное уравнение имеет вид
\[
\operatorname{tg} k l=\text { th } k l \text {. }
\]

Последовательный ряд корней этого уравнения приведен ниже:
\begin{tabular}{ccccc}
$k_{1} l$ & $k_{2} l$ & $k_{3} l$ & $k_{4} l$ & $k_{3} l$ \\
3,927 & 7,069 & 10,210 & 13,352 & 16,493
\end{tabular}

Приближенные значения этих корней можно найти с достаточной точностью по формуле
\[
k_{i} l \approx\left(i+\frac{1}{4}\right) \pi .
\]

На рис. 5.18, $a$-в показаны относящиеся к данному случаю три первые формы колебаний.

Для всех рассмотренных выше концевых условий составлены таблицы нормальных функций и их производные.* Пользуясь этими таблицами, можно значительно упростить решение задач о поперечных колебаниях стержней. Покажем теперь, как данные из подобных таблиц могут быть использованы при исследовании динамического поведения стержней при заданных начальных условиях. Аналогичный подход для исследования динамического поведения, обусловленного действием изменяющихся во времени нагрузок, будет рассмотрен в следующем параграфе.

Метод, использовавшийся выше для исследования динамического поведения упругого тела, обусловленного заданными начальными условиями, включал вычисления интегралов вида
\[
\int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{i} d x ; \int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{i} d x .
\]

Непосредственно интегрировать подобные выражения трудно, если нормальные функции $x_{i}$ имеют сложный вид. Среди изученных выше типов стержней только свободно опертые стержни имели

простые формы колебаний. Решения для стержней с иными концевыми условиями содержат гиперболические функции, для которых обычно требуется численное интегрирование. Поэтому, как будет показано ниже, более удобен иной подход, особенно в тех случаях, когда начальные условия определяются сосредоточенными силой или моментом. Ниже обсужден случай, когда начальное перемещение $y_{0}=f_{1}(x)$ создается сосредоточенной силой $P_{0}$, внезапно удаляемой в момент времени $t=0$; аналогичным образом можно рассмотреть и случай с сосредоточенным моментом.

Функцию $y_{0}=f_{1}(x)$, описывающую начальные перемещения стержня, можно представить в виде ряда по нормальным функциям $X_{i}$ :
\[
y_{0}=b_{1} X_{1}+b_{2} X_{2}+b_{3} X_{3}+\ldots=\sum_{i=1}^{\infty} b_{i} X_{i},
\]

где постоянные $b_{i}$ являются неизвестными, которые необходимо определить. Энергию деформации призматического стержня в изогнутом состоянии можно определить из выражения
\[
U=\frac{E I}{2} \int_{0}^{l}\left(y_{0}\right)^{2} d x .
\]

Подставляя в выражение (о) вторую производную функции $y_{0}$ [см. представление (о) ] по $x$, получим
\[
U=\frac{E I}{2} \sum_{i=1}^{\infty} b_{i}^{2} \int_{0}^{t}\left(X_{i}^{\prime \prime}\right)^{2} d x
\]

Из соотношений (5.91) и (5.92) следует
\[
\int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime \prime}\right)^{2} d x=k_{i}^{4} \int_{0}^{l} X_{i}^{9} d x .
\]

Используя эти равенства, из выражения (р) находим
\[
U=\frac{E I}{2} \sum_{i=1}^{\infty} b_{i}^{2} k_{i}^{4} \int_{0}^{t} X_{i}^{2} d x .
\]

Предположим, что начальные перемещения $y_{0}$, описываемые представлением (о), создаются сосредоточенной силой $P_{0}$, приложенной в точке $x=x_{1}$ и направленной параллельно оси $y$. Для определения входящих в представление (о) постоянных $b_{i}$ применительно к рассматриваемой задаче воспользуемся принципом возможных работ. Рассмотрим возможное перемещение $\delta b_{i} X_{i}$ и приравняем возможную работу приложенной силы приращению энергии деформации
\[
P_{0} \delta b_{i} X_{i 1}=\frac{\partial U}{\partial b_{i}} \delta b_{i}=E I b_{i} k_{i}^{4} \delta b_{i} \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x,
\]

где через $X_{i 1}$ обозначено значение функции $X_{i}$ в точке $x=x_{1}$. Решая равенство (у) относительно $b_{i}$, получим
\[
b_{i}=\frac{P_{0} X_{i 1}}{E 1 k_{i}^{4} \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x} .
\]

Подставляя это выражение для $b_{i}$ в представление (о), найдем
\[
y_{0}=\frac{P_{0}}{E I} \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{X_{i} X_{i 1}}{k_{i}^{4} \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x}\right) .
\]

Здесь можно видеть, что способ нормирования функций не влияет на величину $y_{0}$. В упомянутых выше таблицах процедура нормирования задается соотношением
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=l .
\]

С учетом этого соотношения коэффициенты (ф) можно представить в форме
\[
b_{i}=\frac{P_{0} l^{3} X_{l 1}}{E I\left(k_{i} l\right)^{4}},
\]

тогда выражение (x) для искомого решения принимает окончательный вид
\[
y_{0}=\frac{P_{0} l^{3}}{E I} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{\left(k_{i} l\right)^{4}}
\]

и может быть использовано при статическом анализе для определения формы линии прогибов стержня.

Учитывая, что динамические перемещения упругого стержня при свободных поперечных колебаниях, вызванных начальным перемещением $b_{i} X_{i}$, равны
\[
y_{i}=b_{i} X_{i} \cos p_{i} t
\]

можно определить суммарное динамическое поперечное перемещение, если начальное перемещение задано в виде функции $y_{0}$ :
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} b_{i} X_{i} \cos p_{i} t .
\]

Подставляя в. (ш) выражение (5.111) для $b_{i}$, найдем
\[
y=\frac{P_{0} l^{3}}{E I} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{\left(k_{i} l\right)^{4}} \cos p_{i} t .
\]

Проводя числовые расчеты с помощью этого выражения, из таблиц находят столько значений $X_{i 1}$, сколько форм колебаний собираются учесть в этом выражении.

Точно так же, как и для сосредоточенных сил, этот метод может быть использован в случае распределенных нагрузок, однако с практической точки зрения так поступать не особенно удобно. Определение возможной работы, совершаемой распределенной нагрузкой [см. выражение (у) ], приводит к необходимости вычислять интегралы от произведения интенсивности нагрузки на каждую нормальную функцию по длине стержня. Эти интегралы с функцией нагрузки аналогичны тем интегралам с функцией перемещения, для которых выше указывалось на нежелательность интегрирования. Однако в большинстве случаев более просто вычислить интеграл с функцией нагрузки, чем с функцией перемещения.

Пример. Стержень с жестко защемленными концами нагружен поперечной силой $P_{0}$, приложенной в середине пролета. Определить поперечное динамическое перемещение в середине пролета стержня при его колебаниях, возникающих, когда в момент времени $t=0$ сила внезапно удаляется.

Решение. Нормальные функции для стержня с жестко защемленными концами [см. выражение (5.108)] можно представить в виде
\[
X_{i}=\operatorname{ch} k_{i} x-\cos k_{i} x-\alpha_{i}\left(\operatorname{sh} k_{i} x-\sin k_{i} x\right),
\]

где
\[
\alpha_{i}=\frac{\operatorname{ch} k_{i} l-\cos k_{i} l}{\operatorname{sh} k_{i} l-\sin k_{i} l} .
\]

Здесь имеем $\alpha_{1}=0,9825 ; \alpha_{2}=1,0008 ; \alpha_{3} \approx 1 ; \alpha_{4} \approx 1$ и т. д. С помощью упомянутых выше таблиц для нечетных форм колебаний стержня с жестко защемленными концами находим
\[
\left(X_{1}\right)_{x=l / 2}=1,588 ; \quad\left(X_{3}\right)_{x=l / 2}=1,406 ; \quad\left(X_{5}\right)_{x=l / 2}=1,415 ; \ldots
\]

Подставляя в выражение (5.113) эти значения, а также значения $k_{i} l$, приведенные для уравнения (5.107), получим следующее выражение для изменяющегося во времени прогиба в середине пролета стержня:
\[
\begin{array}{c}
(y)_{x=l / 2}=\frac{P_{0} l^{3}}{E I}\left[\frac{1,558^{2}}{4,730^{4}} \cos p_{1} t+\frac{1,406^{2}}{10,996^{4}} \cos p_{3} t+\frac{1,415^{2}}{17,279^{4}} \cos p_{5} t+\ldots\right]= \\
=\frac{P_{0} l^{3}}{E I}\left(5038 \cos p_{1} t+135 \cos p_{3} t+22 \cos p_{5} t+\ldots\right) 10^{-6} .
\end{array}
\]

Отсюда видно, что в рассматриваемом случае ряд, представляющий искомое решение, сходится быстро.

ЗАДАЧИ

5.11.1. Численно определить нормальные функции для стержня с одним жестко защемленным концом и свободно опертым другим и построить графики линий прогибов, соответствующих первой и второй формам колебаний.
Omвет: Нормальные функции [см. выражения (б), (в) и (5.106)] имеют вид
\[
\begin{array}{c}
X_{i}=\operatorname{ch} k_{i} x-\cos k_{i} x-\alpha_{i}\left(\operatorname{sh} k_{i} x-\sin k_{i} x\right), \\
\text { где } \alpha_{i}=\frac{\operatorname{ch} k_{i} l-\cos k_{i} l}{\operatorname{sh} k_{i} l-\sin k_{i} l} .
\end{array}
\]

Используя значения корней частотного уравнения, относящегося к данному случаю, получим
\[
k_{1} l=3,927 ; k_{2} l=7,069 ; \alpha_{1}=1,0008 ; \alpha_{2}=1,0000 .
\]

Используя полученные числовые данные, можно построить искомые кривые.
5.11.2. Решить предыдущую задачу, приняв, что конец $x=0$ стержня жестко защемлен, а конец $x=l$ не закреплен.

Omвет: В данном случае нормальные функции имеют вид
\[
\begin{array}{c}
X_{i}=\operatorname{ch} k_{i} x-\cos k_{i} x-\alpha_{i}\left(\operatorname{sh} \beta_{i} x-\sin \beta_{i} x\right), \\
\text { где } \alpha=\frac{\operatorname{ch} k_{i} l+\cos k_{i} l}{\operatorname{sh} k_{i} l+\sin k_{i} l} .
\end{array}
\]

Зная корни соответствующего характеристического уравнения, для данного стержня получаем
\[
k_{1} l=1,875 ; k_{2} l=4,694 ; \alpha_{1}=0,7341 ; \alpha_{2}=1,0185 .
\]
5.11.3. Показать пригодность частотного уравнения (5.110) для задачи о консоли с дополнительной опорой и найти выражение для нормальных функций.
5.11.4. Определить выражение для поперечных динамических перемещений стержня с жестко защемленными концами, если он изгибается под действием сосредоточенной силы $P_{0}$, приложенной в точке $x=l / 4$, а затем начинает колебаться при внезапном удалении этой силы в момент времени $t=0$.
5.11.5. Решить предыдущую задачу для стержня, один конец которого жестко защемлен, а другой не закреплен. Начальный прогиб создается силой $P_{0}$, приложенной к незакрепленному концу стержня.