Всевозможные условия закрепления концов стержня могут иметь промежуточные значения между двумя крайними случаями: отсутствием закрепления и жестким защемлением. Если характер закрепления концов таков, что возникающие в опорах силовые факторы являются линейными относительно смещений илу углов поворотов, связи в опорах можно представить в виде набора пружин, показанных на рис. 5.27. Пусть $k_{1}$ и $k_{2}$ – жесткости пружин, работающих соответственно на растяжение – сжатие и закручивание и установленных на левом конце; $k_{3}$ и $k_{4}$ – то же, для правого конца.
* Если стержень имеет концевые условия, отличные от свободного опирания, формы колебаний должны удовлетворять как уравнению (5.142), так и заданным концевым условиям. В этом случае ни формы, ни собственные частоты колебаний не будут совпадать с теми, что были найдены в п. 5.11.
Рис. 5.27

Для указанного случая концевые условия можно выразить следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
V_{x=0}=E I\left(X^{\prime \prime \prime}\right)_{x=0}=-k_{1}(X)_{x=0} ; \\
M_{x=0}=E I\left(X^{\prime \prime}\right)_{x=0}=k_{2}\left(X^{\prime}\right)_{x=0} \\
V_{x=l}=E I\left(X^{\prime \prime \prime}\right)_{x=l}=k_{3}(X)_{x=l} ; M_{x=l}=E I\left(X^{\prime \prime}\right)_{x=l}=-k_{4}\left(X^{\prime}\right)_{x=l} .
\end{array}
\]

Нормальные функции и их производные по $x$, необходимые для рассмотрения данного случая, имеют [см. выражение (5.85)] вид
\[
\begin{array}{c}
X=C_{1} \sin k x+C_{2} \cos k x+C_{3} \operatorname{sh} k x+C_{4} \operatorname{ch} k x ; \\
X^{\prime}=k\left(C_{1} \cos k x-C_{2} \sin k x+C_{3} \operatorname{ch} k x+C_{4} \operatorname{sh} k x\right) ; \\
X^{\prime \prime}=k^{2}\left(-C_{1} \sin k x-C_{2} \cos k x+C_{3} \operatorname{sh} k x+C_{4} \operatorname{ch} k x\right) ; \\
X^{\prime \prime}=k^{3}\left(-C_{1} \cos k x+C_{2} \sin k x+C_{3} \operatorname{ch} k x+C_{4} \operatorname{sh} k x\right),
\end{array}
\]

где, как и выше, $k=\sqrt{p / a}$. Подставляя выражения (б) в условия (a), получим
\[
\begin{array}{c}
E I k^{3} C_{1}-k_{1} C_{2}-E I k^{3} C_{3}-k_{1} C_{4}=0 \\
-k_{2} C_{1}-E I k C_{2}-k_{2} C_{3}+E I k C_{4}=0 \\
\left(-E I k^{3} \cos k l-k_{3} \sin k l\right) C_{1}+\left(E I k^{3} \sin k l-k_{3} \cos k l\right) C_{2}+ \\
+\left(E I k^{3} \operatorname{ch} k l-k_{3} \operatorname{sh} k l\right) C_{3}+\left(E I k^{3} \operatorname{sh} k l-k_{3} \operatorname{ch} k l\right) C_{4}=0 \\
\left(-E I k \sin k l+k_{4} \cos k l\right) C_{1}+\left(-E I k \cos k l-k_{4} \sin k l\right) C_{2}+ \\
+\left(E I k \sin k l+k_{4} \operatorname{ch} k l\right) C_{3}+ \\
+\left(E I k \operatorname{ch} k l+k_{4} \operatorname{sh} k l\right) C_{4}+0
\end{array}
\]

Эта система четырех однородных алгебраических уравнений будет иметь нетривиальные решения только в том случае, если определитель матрицы, составленный из коэффициентов при $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $C_{4}$, равен нулю. Тогда, разложив этот определитель, можем получить частотное уравнение для стержня с упругим закреплением на концах (см. рис. 5.27). Подставив корни этого характеристического уравнения обратно в уравнения (5.145), можно определить нормальные функции (с точностью до произвольной постоянной).

Полагая жесткости соответствующих пружин равными либо нулю, либо бесконечности, из системы уравнений (5.145) можно получить определители как для стержня с незакрепленными концами, так и для стержня с жестко защемленными концами. Например, для консольного стержня, левый конец которого жестко защемлен, а правый не закреплен, имеем $k_{1}=\infty, k_{2}=\infty, k_{3}=0$ и $k_{4}=0$. В этом случае определитель имеет вид
\[
\left|\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
-\cos k l & \sin k l & \operatorname{ch} k l & \operatorname{sh} k l \\
-\sin k l & -\cos k l & \operatorname{sh} k l & \operatorname{ch} k l
\end{array}\right|=0,
\]

Рис. 5.28
где элементы первой строки были поделены на $-k_{1}$, а второй на $-k_{2}$. Разложение этого определителя приводит к следующему частотному уравнению:
\[
\cos k l \text { ch } k l=-1,
\]

которое совпадает с уравнением (5.109). Выражение для нормальных функций (с точностью до произвольных постоянных $C_{i}$ ) имеет вид
\[
X_{i}=C_{i}\left(\frac{\sin k_{i} x-\operatorname{sh} k_{i} x}{\cos k_{i} l+\operatorname{ch} k_{i} l}-\frac{\cos k_{i} x-\operatorname{ch} k_{i} x}{\sin k_{i} l-\operatorname{sh} k_{i} l}\right) .
\]

Если упругие опоры, препятствующие свободному перемещению в поперечном направлении, распределены непрерывным образом по длине стержня, имеет место задача о стержне на сплошном упругом основании. На рис. 5.28 показан такой стержень, для которого упругое основание представляется в виде большого числа близко расположенных пружин. Будем называть коэффициентом постели $k_{\text {п }}$ отнесенную к единице длины стержня силу, необходимую для создания равного единице прогиба стержня, лежащего на упругом основании. При поперечных колебаниях стержня дифференциальное уравнение динамического равновесия сил, действующих на малый элемент $d x$, можно представить в форме
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(E I \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right) d x=-k_{п} y d x-\rho F d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}},
\]

где первое слагаемое в правой части описывает силу отпора со стороны основания. Для стержня постоянного поперечного сечения это уравнение имеет вид
\[
E I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}+k_{\square} y=-\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Для того чтобы решить это уравнение, возьмем для собственных форм колебаний следующее представление:
\[
y_{i}=X_{i}\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i} \sin p_{i} t\right) .
\]

Подставляя выражение (ж) в уравнение (5.146), получим
\[
E I \frac{d^{4} X_{i}}{d x^{4}}-\left(\rho F p_{i}^{2}-k_{n}\right) X_{i}=0 .
\]

Разделив левую и правую части этого уравнения на $E I$, найдем
\[
\frac{d^{4} X_{i}}{d x^{4}}-\left(\frac{p_{i}^{2}}{a^{2}}-\frac{k_{\mathrm{II}}}{E I}\right) X_{i}=0 .
\]

Для удобства введем обозначение
\[
\frac{p_{i}^{2}}{a^{2}}-\frac{k_{\mathrm{n}}}{E I}=k_{i}^{4} .
\]

Тогда уравнение (и) можно представить в следующей форме:
\[
\frac{d^{4} X_{i}}{d x^{4}}-k_{i}^{4} X_{i}=0 .
\]

Решением этого дифференциального уравнения будет
\[
X_{i}=C_{1 i} \sin k_{i} x+C_{2 \iota} \cos k_{i} x+C_{3 i} \operatorname{sh} k_{i} x+C_{4 i} \operatorname{ch} k_{i} x,
\]

что совпадает с решением задачи о стержне без упругого сплошного основания. Поэтому в рассматриваемом случае могут быть использованы все результаты, полученные выше для стержня с различными концевыми условиями. Единственное отличие состоит в том, что требуется заменить $p_{i}=k_{i}^{2} a$ на величину, определяемую из выражения (к):
\[
p_{i}=k_{i}^{2} a \sqrt{1+k_{\mathrm{n}} /\left(E I k_{i}^{4}\right)} .
\]

Рассматривая простейший случай стержня, концы которого закреплены так, что не могут перемещаться в вертикальном направлении (т. е. случай свободно опертого стержня на упругом основании), найдем, что нормальные функции имеют вид
\[
X_{i}=C_{i} \sin k_{i} x, i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

а круговые частоты
\[
p_{i}=\frac{i^{2} \pi^{2} a}{l^{2}} \sqrt{1+\frac{k_{\Pi} l^{4}}{E I i^{4} \pi^{4}}}=\frac{\pi^{2} a}{l^{2}} \sqrt{i^{4}+\mu},
\]

где $\mu=k_{\Pi} l^{4} / E I \pi^{4}$. За исключением указанного уточнения, выражения для динамических прогибов свободно опертого стержня при различных условиях (см., например, пп. 5.10, 5.13, 5.15 й 5.16) можно применять также и для стержня на сплошном упругом-основании.

Суммируя сказанное, видим, что упругое закрепление на концах стержня (см. рис. 5.27) влияет как на частоты, так и на формы его колебаний, тогда как присутствие упругого основания (см. рис. 5.28) оказывает влияние только на собственные частоты колебаний. Қак и в случае растянутой нити с упругим закреплением на концах, решение задачи о динамическом поведении стержня на упругих опорах или упругом основании будет аналогично тому, что имело место для обсуждавшихся выше более простых случаев.

Пример. Рассмотрим случай, когда изменяющаяся во времени сила $P_{1}(t)=$ $=P \sin \omega t$ приложена на расстоянии $x_{1}$ от левой опоры свободно опертого стержня, лежащего на сплошном упругом основании. Определить динамические прогибы стержня.

Решение. Колебания, возникающие при действии возмущающей силы, описываются выражением (5.127), которое применительно к рассматриваемому случаю можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
y=\frac{2 P l^{3}}{m} \sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{\sin (i \pi x / l) \sin \left(i \pi x_{1} / l\right) \sin \omega t}{\pi^{4} a^{2}\left(i^{4}+\mu\right)-\omega^{2} l^{4}}-\right. \\
\left.-\frac{\omega \sin (i \pi x / l) \sin \left(i \pi x_{1} / l\right) \sin p_{i} t}{l^{4} p_{i}\left(p_{i}^{2}-\omega^{2}\right)}\right] .
\end{array}
\]

В этом выражении первое слагаемое в квадратных скобках описывает поведение при вынужденных колебаниях, а второе относится к свободным колебаниям стержня.

Если переменная во времени сила $P \sin \omega t$ изменяется медленно $(\omega \rightarrow 0)$, часть решения (о), относяцуюся к установившимся колебаниям, можно представить в форме
\[
y=\frac{2 P l^{3}}{E I \pi^{4}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sin \left(i \pi x^{\prime} l\right) \sin \left(i \pi x_{1} / l\right) \sin \omega t}{i^{4}+\mu} .
\]

В случае, когда $x_{1}=l / 2$, из выражения (п) получаем
\[
y=\frac{2 P l^{3}}{E I \pi^{4}}\left[\frac{\sin (\pi x / l)}{1+\mu}-\frac{\sin (3 \pi x / l)}{3^{4}+\mu}+\frac{\sin (5 \pi x / l)}{5^{4}+\mu}-\ldots\right] \sin \omega t .
\]
Сравнивая это выражение с выражением (м) из п. 5.13 , видим, что влияние упругого основания на динамические прогибы учитывается наличием дополнительного слагаемого $\mu$ в знаменателях членов ряда (p).