Как уже отмечалось в начале п. 1.8, различные виды демпфирования могут быть заменены некоторым эквивалентным влзким демпфированием *, что в результате приводит к линейномуддифференциаль-
ному уравнению для гармонического движения. Наиболее важное влияние демпфирования в задаче о вынужденных колебаниях проявляется при резонансе либо вблизи резонанса. Поэтому рассмотрим работу, совершаемую возмущающей силой в течение одного цикла при установившемся поведении системы, которая рассматривалась в предыдущем параграфе. В этом случае работа, совершаемая силой $Q \cos \omega t$ за один цикл:
\[
U_{Q}=\int_{0}^{T} Q(\cos \omega t) \dot{x} d t .
\]

Скорость $\dot{x}$ можно получить, продифференцировав выражение (1.45) по времени:
\[
\dot{x}=-A \omega \sin (\omega t-\theta) .
\]

Подставляя это выражение в соотношение (а) и используя формулы тригонометрии, найдем
\[
U_{Q}=-Q A \omega \int_{0}^{T}(\cos \omega t)(\sin \omega t \cos \theta-\cos \omega t \sin \theta) d t .
\]

В результате интегрирования получим
\[
U_{Q}=\pi Q A \sin \theta .
\]

Аналогично определяем рассеиваемую за один цикл работу демпфигующей силы $c \dot{x}$ :
\[
U_{c}=\int_{0}^{T} c \dot{x} \dot{x} d t
\]

Подставляя выражение (б) в соотношение (г), найдем
\[
U_{c}=c A^{2} \omega^{2} \int_{0}^{T} \sin ^{2}(\omega t-\theta) d t,
\]

что после интегрирования дает
\[
U_{c}=\pi c A^{2}() .
\]

Таким образом вносимая энергия $U_{Q}$ увеличивается в зависимости от амплитуды $A$ по линейному закону, тогда как рассеиваемая энергия $U_{c}$ возрастает пропорционально квадрату амплитуды. Они будут равны только в точке пересечения кривых функций для обоих видов энергии (рис. 1.36). Отсюда, приравняв выражения (в) и (д), можно определить амплитуду при установившемся состоянии
\[
A=\frac{Q \sin \theta}{c \omega} .
\]

При резонансе ( $\omega=p$ ) фазовый угол [см. выражение (1.48) ] равен $\pi / 2$, а амплитуда $A$ достигает максимального (при $c \ll c_{\text {кр }}$ ) значения
\[
A_{\max }=\frac{Q}{c \omega} .
\]

Рис. 1.36
Рис. 1.37

Это выражение совпадает с аналогичным выражением (и), полученным в п. 1.9 иным способом.

Соотношение (д) выражает энергию, рассеиваемую за счет вязкого демпфирования за один цикл при вынужденных колебаниях. Это выражение для энергии можно приравнять тому выражению, которое соответствует некоторому иному типу демпфирования, и в результате определить эквивалентный коэффициент влзкого демпфирования $c_{\text {эк }}$. Рассмотрим, например, конструкционное демпфирование, которое происходит за счет внутреннего трения в конструкционных материалах (например, сталь или алюминиевые сплавы), которые не являются идеально упругими. Энергия, рассеиваемая в единице объема материала, на рис. 1.37 представлена заштрихованной областью внутри петли гистерезиса. Петля образована кривыми зависимостей напряжения от деформации при увеличении (или при «нагружении») и уменьшении (или при «разгрузке») величин напряжения и деформации. На рис. 1.37 показано, как происходит полное изменение направления на обратное для напряжения и деформации при одном цикле колебания. При таком механизме демпфирования энергия рассеивается почти пропорционально квадрату амплитуды деформации *, а форма петли гистерезиса практически не зависит от амплитуды и скорости деформации.

Поскольку амплитуда колебания пропорциональна амплитуде деформации, то работу, рассеиваемую за один цикл при конструкционном демпфировании, можно представить в виде
\[
U_{\mathrm{k}}=s A^{2},
\]

где $s$ – коэффициент пропорциональности. Приравнивая соотношения (д) и (з), найдем эквивалентное значение коэффициентов вязкого демпфирования
\[
c_{\text {экв }}=\frac{S}{\pi \omega}=\frac{\eta k}{\omega} .
\]
Рис. 1.38
Множитель $s / \pi$ имеет размерность коэффициента $k$ и обычно представляется, как в отношении (1.49), в виде $\eta k$, где $\eta$-безразмерная величина:
\[
\eta=\frac{s}{\pi k},
\]

которая называется коэффициентом конструкционного демпфирования.
Эту величину можно связать с величиной эквивалентного значенил коэффициента влзкого демпфирования $\gamma_{\text {әкв }}$, обусловленного жесткостью среды, разделив представление (1.49) на величину $c_{\text {кр }}=2 p m$ [см. выражение (о) в п. 1.8] и воспользовавшись обозначением $k=p^{2} m$ [см. выражение (б) в п. 1.9], что дает
\[
\gamma_{\text {эк }}=\frac{c_{\text {экв }}}{c_{\mathrm{Kp}}}=\frac{p}{2 \omega} \eta .
\]

Если это представление для $\gamma_{\text {экв }}$ подставить в выражение (1.47), коэффициент усиления при установившемся поведении системы примет вид
\[
\beta_{\mathrm{ycr}}=1 / \sqrt{\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right)^{2}+\eta^{2}} .
\]

Наконец, при резонансе имеем $\gamma_{\text {рез }}=\eta / 2, \beta_{\text {рез }}=1 / \eta$. Тогда из представления (1.49) и выражения (ж) получим
\[
A_{\text {max }}=\frac{Q}{k \eta} \text {. }
\]

В качестве второго примера определения эквивалентного значения коэффициента вязкого демпфирования рассмотрим рис. 1.38, где тело, прикрепленное к пружине, скользит по поверхности, которая создает сопротивление движению за счет трения. В случае сухого трения обычно используют закон Кулона *, согласно которому сила трения $F$ пропорциональна нормальной силе $N$, с которой обе поверхности действуют друг на друга
\[
F=\mu N,
\]

где $\mu$-коэффициент трения. Из экспериментов следует, что коэффициент трения при движении со сравнительно небольшими скоростями является практически постоянной (и меньшей, чем в состоянии покоя) величиной. Более того, случаи, где имеется трение качения, а не скольжения, также могут рассматриваться с помощью закона (м).

Сила трения $F$ (см. рис. 1.38) всегда действует в направлении, противоположном направлению скорости движения тела, что имеет место и в гидравлическом амортизаторе. Однако сопротивление, обусловленное трением, будем считать постоянным, независящим от скорости. Подобный механизм демпфирования носит название кулоновского трения, причем в этом случае получение строгого решения *, описывающего поведение системы при действии возмущающей силы в виде гармонической функции, является более сложным делом, чем в случае вязкого демпфирования. Для определения эквивалентного значения постоянной вязкого демпфирования, которое требуется подставить вместо сопротивления, обусловленного трением, подсчитаем работу $U_{\text {тр }}$ силы трения $F$, рассеиваемую за один цикл:
\[
U_{\mathrm{rl}}=4 A F .
\]

Приравнивая это соотношение к выражению (д), получим
\[
c_{\text {эке }}=\frac{4 F}{\pi A \omega} .
\]

В этом случае величина коэффициента $c_{\text {экв }}$ зависит не только от силы $F$ и частоты $\omega$, но также и от амплитуды $A$ колебания. Разделив выражение (1.51) на величину $c_{\text {кр }}=2 p m$ и введя обозначения $k=p^{2} m$, для эквивалентного значения коэффициента вязкого демпфирования получим
\[
\gamma_{
i \mathrm{KB}}=\frac{c_{\text {эКВ }}}{c_{\mathrm{H} p}}=\frac{2 F p}{\pi A k \omega} .
\]

С использованием полученного выражения для $\gamma_{\text {әвв }}$ амплитуда установившихся вынужденных колебаний с эквивалентным вязким демпфированием
\[
A=\frac{Q / k}{\sqrt{\left(1–\omega^{2} / p^{2}\right)^{2}+[4 F /(\pi A k)]^{2}}} .
\]

Решая это уравнение относительно $A$, находим
\[
A= \pm \frac{Q}{k} \frac{\sqrt{1-(4 F / \pi Q)^{2}}}{1-\omega^{2} / p^{2}} .
\]

Первый сомножитель в правой части этого выражения определяет перемещение при статическом приложении нагрузки, второй является коэффициентом усиления. Видно, что этот коэффициент является действительным числом только при
\[
F / Q<\pi / 4 \text {. }
\]

В практических приложениях, когда, как правило, имеют место небольшие силы трения, данное условие выполняется. Однако, кроме этого, следует отметить, что в тех случаях, когда условие (п) выполняется, коэффициент усиления становится бесконечно большим при резонансе $(\omega=p)$. Это обстоятельство можно объяснить, сравнив
Рис. 1.39
рассеиваемую энергию $U_{\text {тр }}$ с работой $U_{Q}$, совершаемой возмущающей силой при резонансе. Решив неравенство (п) относительно силы $F$ и подставив результат в выражение (н), получим
\[
U_{F}<\pi Q A .
\]

Но из неравенства (п) следует, что работа $U_{Q}$ при резонансе равна $\pi Q A$, отсюда неравенство
\[
U_{\Gamma}<U_{Q} \text {. }
\]

Таким образом, величина рассеиваемой за один цикл энергии меньше энергии, подводимой извне. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 1.36, где штриховая линия, описываемая уравнением (н), имеет меньший угол наклона, чем сплошная линия, соответствующая выражению (в), если выполняется условие (п).

В качестве третьего примера, иллюстрирующего концепцию эквивалентного вязкого демпфирования, возьмем случай колебания тела, погруженного в среду с малой вязкостью типа воздуха. Если масса тела мала, а объем велик, демпфирующее влияние сопротивления среды может оказаться значительным. На рис. 1.39 представлена легкая полая сфера, совершающая вынужденные колебания в воздухе, где силу сопротивления среды можно приближенно представить в следующем виде *:
\[
P=\frac{1}{2} \rho \dot{x}^{2} C_{D} A_{P} .
\]

В выражении (т) через $\rho$ обозначена удельная плотность среды; $C_{D}$ – коэффициент лобового сопротивления; $A_{P}$ – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (см. рис. 1.39). В этом случае сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости и всегда имеет противоположное направление. Работа силы $P$, рассеиваемая за один цикл:
\[
U_{P}=4 \int_{0}^{T / 4} P \dot{x} d t .
\]

Подставляя выражения (т) и (б) в соотношение (у), с учетом равенства $C_{P}=(1 / 2) \rho C_{D} A_{P}$ получим
\[
U_{P}=4 C_{P} A^{3} \omega^{3} \int_{0}^{T / 4} \sin ^{3}(\omega t-\theta) d t .
\]

Выполняя интегрирование, найдем
\[
U_{P}=\frac{8}{3} C_{P} A^{3} \omega^{3} .
\]

Приравниванием этого выражения выражению (д) получим
\[
c_{\text {экв }}=\frac{8 C_{P} A \omega}{3 \pi} .
\]

Таким образом, эквивалентное значение постоянной вязкого демпфирования в данном случае прямо пропорционально величинам $C_{P}$, $A$ и $ю$. Как и выше, разделим выражение (1.54) на $c_{\text {кр }}=2 p m$ и введем обозначение $k=p^{2} m$, что для эквивалентного значения коэффициента вязкого демпфирования дает
\[
\gamma_{\partial \mathrm{Kв}}=\frac{c_{\text {экв }}}{c_{\mathrm{Iг}}}=\frac{4 C_{p} A \omega p}{3 \pi k},
\]

при этом амплитуда установившихся вынужденных колебаний
\[
A=\frac{Q / k}{\sqrt{\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right)^{2}+\left(8 C_{P} A \omega^{2} / 3 \pi k\right)^{2}}} .
\]

Возведя в квадрат левую и правую части равенства (x) и выполнив необходимые преобразования, получим следующее биквадратное уравнение:
\[
\left(\frac{8 C_{P} \omega^{2}}{3 \pi}\right)^{2} A^{4}+k^{2}\left(1-\frac{\omega^{2}}{p^{2}}\right) A^{2}-Q^{2}=0,
\]

которое можно решить по известной формуле относительно $A^{2}$. Затем вычисляем амплитуду колебаний $A=\sqrt{A^{2}}$.

Подводя итог сказанному, отметим, что эквивалентное значение постоянной вязкого демпфирования можно всегда определить для произвольного вида механизма демпфирования, приравняв работы гипотетического вязкого демпфера и реальной конструкции. В выражении для работы используем выражение (б) для скорости системы при установившемся движении и гармонической функции возбуждающей силы, при этом эквивалентное значение постоянной вязкого демпфирования определяем соотношением
\[
c_{\text {әКВ }}=\frac{1}{\pi A^{2} \omega} \int_{0}^{T} R \dot{x} d t=\frac{U_{\tilde{R}}}{\pi A^{2} \omega},
\]

где $R$ – сила сопротивления. Затем можно провести упрощенный динамический анализ системы, используя полученное таким образом значение $c_{\text {энв }}$. Более того, при этом можно рассматривать одновременно несколько типов демпфирования. Например, для комбинации кулоновского и вязкого трения из выражения (1.57) получаем
\[
c_{\text {экв }}=\frac{4 F}{\pi A \omega}+c .
\]
Поступая с полученным выражением для $c_{\text {экв }}$ так, как это было сделано выше, при определении амплитуды $A$ вынужденных колебаний имеем следующее алгебраическое уравнение:
\[
\left[\left(1-\frac{\omega^{2}}{p^{2}}\right)^{2}+\left(2 \gamma \frac{\omega}{p}\right)^{2}\right] A^{2}+\frac{16 F \gamma \omega}{\pi k p} A+\left(\frac{4 F}{\pi k}\right)^{2}-\frac{Q^{2}}{k^{2}}=0,
\]

которое можно решить по известной формуле.