Рассмотрим свободные колебания системы без демпфирования и с нелинейной упругой симметричной восстанавливающей силой. Уравнение движения в этом случае имеет вид
\[
m \ddot{x}+F(x)=0
\]

или
\[
\ddot{x}+p^{2} f(x)=0,
\]

где слагаемое $p^{2} f(x)=F(x) / m$ представляет отнесенную к единице массы восстанавливающую силу как функцию перемещения $x$. В уравнении (2.5) ускорение можно представить как производную скорости
\[
\ddot{x}=\frac{d \dot{x}}{d t}=\frac{d \dot{x}}{d x} \frac{d x}{d t}=\frac{d \dot{x}}{d x} \dot{x}=\frac{1}{2} \frac{d(\dot{x})^{2}}{d x} .
\]

Подставляя это представление в уравнение (2.5), получим
\[
\frac{1}{2} \frac{d(\dot{x})^{2}}{d x}+p^{2} f(x)=0 .
\]

Полагая, что восстанавливающая сила $p^{2} f(x)$, отнесенная к единнице массы, задается кривой, показанной на рис. 2.9 , и что скорость, соответствующая координате $x_{\text {м }}$ крайнего положения, равна нулю, можем проинтегрировать уравнение (в) и найти
\[
\frac{1}{2} \dot{x}^{2}=-p^{2} \int_{x_{\mathrm{M}}}^{x} f(\xi) d \xi=p^{2} \int_{x}^{x_{\mathrm{M}}} f(\xi) d \xi .
\]

Таким образом, для любого положения колеблющейся системы ее кинетическая энергия, отнесенная к единице массы, равна потенциальной энергии, представленной площадью заштрихованной области под кривой на рис. 2.9. Максимальное значение кинетическая энергия имеет, разумеется, в крайнем положении, и тогда согласно соотношению (1.13) в п. 1.3 получаем
\[
E_{\text {К } \max }=\frac{1}{2} x_{\mathrm{M}}^{2}=p^{2} \int_{x}^{x_{\mathrm{M}}} f(\xi) d \xi=E_{1 ! \max } \text {. }
\]

Из уравнения (г) находим скорость $\dot{x}$ колеблющейся массы в произвольном положении
\[
\dot{x}=\frac{d x}{d t}= \pm p \sqrt{2 \int_{x}^{x_{\mathrm{M}}} f(\xi) d \xi},
\]

откуда повторным интегрированием можно найти продолжительность любой части цикла. Таким образом, длительность цикла
\[
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{x_{\mathbf{M}}} \frac{d x}{\sqrt{2 \int_{0}^{x_{\mathrm{M}}} f(\xi) d \xi}} .
\]

Следовательно, если аналитическое выражение для восстанавливающей силы задано, период колебания системы можно определить с помощью интеграла (2.7). Кроме того, из соотношения (2.6) можно получить выражение для скорости $\dot{x}_{\text {м }}$ в крайнем положении в зависимости от перемещения $x_{\mathrm{m}}$ в крайнем положении. Это выражение удобно использовать при определении максимальной скорости перемещения в нелинейной системе, в которой было задано начальное смещение, а затем предоставлена возможность колебаться свободно. С другой стороны, это выражение можно использовать для

Рис. 2.10
определения максимального переме́щения при заданной начальной скорости. Такую начальную скорость можно придать массе с помощью импульса, длительность которого мала по сравнению с периодом колебания системы.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев, начав со случая восстанавливающей силы, пропорциональной любой нечетной степени $x$ :
\[
f(x)=\lambda^{2 n-1},
\]

где $n$— положительное целое число, а кривая зависимости нагрузки от перемещения симметрична относительно начала координат. Подставляя представление (е) в соотношение (2.6), найдем
\[
\dot{x}_{\mathrm{M}}= \pm \frac{p x_{\mathrm{M}}^{n}}{\sqrt{n}},
\]

что дает $\dot{x}_{\mathrm{M}}= \pm p x_{\mathrm{M}}$ при $n=1, \dot{x}_{\mathrm{M}}= \pm 0,707 p x_{\mathrm{M}}^{2}$ при $n=2$ и т. д. Подставив затем выражение (ж) в формулу (2.7) и проинтегрировав, получим
\[
\tau=\frac{4 \sqrt{n}}{p} \int_{0}^{x_{\mathrm{M}}} \frac{d x}{\sqrt{x_{\mathrm{M}}^{2 n}-x^{2 n}}} .
\]

В случае линейной восстанавливающей силы ( $n=1$ ) еще одно интегрирование дает
\[
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{x_{\mathrm{M}}} \frac{d x}{\sqrt{x_{\mathrm{M}}^{2}-x^{2}}}=\frac{4}{p} \int_{1}^{1} \frac{d u}{\sqrt{1-u^{2}}}=\left.\frac{4}{p} \arccos u\right|_{1} ^{0}=\frac{2 \pi}{p},
\]

где $u=x / x_{\text {м }}$. Когда $n=2$, восстанавливающая сила пропорциональна $x^{3}$, и тогда формула (2.8a) дает
\[
\tau=\frac{4 \sqrt{2}}{p} \int_{0}^{x_{\mathrm{M}}} \frac{d x}{\sqrt{x_{\mathrm{M}}^{4}-x^{4}}}=\frac{4 \sqrt{2}}{p x_{\mathrm{M}}} \int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{1-u^{4}}} .
\]

Числовое значение последнего интеграла в формуле (и) известно из справочных таблиц интегралов и равно $1,8541 / \sqrt{2}$. Тогда формула для периода собственных колебаний принимает вид
\[
\tau=\frac{7,4164}{p x_{\mathrm{M}}} .
\]

В этом случае период колебаний обратно пропорционален амплитуде. График зависимости (2.86) периода от амплитуды колебаний представлен на рис. 2.10 и относится к показанной на рис. 2.2 , $a$

системе, когда сила $S$ предварительного растяжения троса равна нулю.

Если начальное растяжение троса на рис. $2.2, a$ равно нулю, имеем более общий случай колебания, в котором восстанавливающая сила, отнесенная к единице массы, имеет вид
\[
p^{2} f(x)=p^{2}\left(x+\alpha x^{3}\right),
\]

где $p^{2}=2 S / m l ; \alpha=A E / 2 S l^{2}$. Тогда уравнение (2.6) запишем
\[
\dot{x}_{\mathrm{M}}= \pm p x_{\mathrm{M}} \sqrt{1+\alpha x_{\mathrm{M}}^{2}} / 2
\]

и при $\alpha=0$ оно примет вид $\dot{x}_{\mathrm{M}}= \pm p x_{\mathrm{M}}$. Для того чтобы вычислить период свободных колебаний, подставим представление (к) в формулу (2.7). Тогда получим
\[
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{x_{\mathbf{M}}} \frac{d x}{\sqrt{\left(x_{\mathrm{M}}^{2}-x^{2}\right)+\alpha\left(x_{\mathrm{M}}^{4}-x^{4}\right) / 2}},
\]

или
\[
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{x_{\mathrm{M}}} \frac{d x}{\sqrt{\left(x_{\mathrm{M}}^{2}-x^{2}\right)\left[1+\alpha\left(x_{M}^{2}+x^{2}\right) / 2\right]}} .
\]

Для свєдения эллиптического интеграла в правой части последнего выражения к стандартной форме введем обозначения
\[
u=x / x_{\mathrm{M}} ; \quad v=\alpha x_{\mathrm{M}}^{2},
\]

что дает
\[
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)\left[1+v\left(1+u^{2}\right) / 2\right]}},
\]

или
\[
\tau=\frac{4}{p} \sqrt{\frac{2}{v}} \int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)\left[(2+v) / v+u^{2}\right]}} .
\]

Используя таблицы эллиптических интегралов, найдем
\[
\int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{\left(a^{2}-u^{2}\right)\left(b^{2}+u^{2}\right)}}=\frac{1}{c} F\left(\frac{a}{c}, \varphi\right),
\]

где $F(a / c, \varphi)$ — эллиптический интеграл первого рода. В представлении (о) используются следующие обозначения ${ }^{3}: c^{2}=a^{2}+b^{2}$; $\sin ^{2} \varphi=c^{2} /\left[a^{2}\left(b^{2}+1\right)\right]$.

Сравнивая интегралы (н) и (о), получаем $a^{2}=1 ; b^{2}=(2+v) / v$. Следовательно, имеем $c=\sqrt{2(1+v) / v}, \varphi=\arcsin 1=\pi / 2$. В результате выражение (н) принимает вид
\[
\tau=\frac{4}{p} \frac{1}{\sqrt{1+v}} F\left(\sqrt{\frac{v}{2(1+v)}}, \frac{\pi}{2}\right) .
\]

Если отклонение характеристики пружины от линейного закона очень мало, можно получить $\alpha$ и $v$ равными нулю. Тогда выражение (2.9) сводится к выражению (3), соответствующему случаю линейной восстанавливающей силы. С другой стороны, если коэффициент $\alpha$ и скорость $v$ очень велики, первым членом в выражении (к) можно пренебречь. Следовательно, величина $1+v$ в выражении (2.9) становится примерно равной $v$, откуда приходим к выражению для периода колебаний $\tau$ :
\[
\tau=\frac{7,4164}{p x_{\mathrm{M}} \sqrt{\alpha}} .
\]

Формула (п) совпадает с (2.8б) за исключением появившегося в ней множителя $\sqrt{\alpha}$, что объясняется наличием $p^{2} \alpha x^{3}$ в выражении (к) вместо $p^{2} x^{3}$. Для любого промежуточного случая, находящегося между этими двумя крайними, необходимо вычислять числовые значения величины $\sqrt{v /[2(1+v)]}$ и определить с помощью таблиц соответствующее значение эллиптического интеграла.

В предшествующих выкладках рассматривался случай пружины с увеличивающейся жесткостью [см. выражение (к) ], когда восстанавливающая сила увеличивается с ростом перемещения. Теперь рассмотрим случай пружины с уменьшающейся жесткостью и возьмем следующее выражение для восстанавливающей силы:
\[
p^{2} f(x)=p^{2}\left(x^{2}-\alpha x^{3}\right) .
\]

Проделывая те же выкладки, что и ранее, вместо выражений (л) и (н) получим
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{\mathrm{M}}= \pm p x_{\mathrm{M}} \sqrt{1-\alpha x_{\mathrm{M}}^{2} / 2} \\
\tau=\frac{4}{p} \sqrt{\frac{2}{v}} \int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)\left[(2-v) / v-u^{2}\right]}} .
\end{array}
\]

В таблицах интегралов используется форма
\[
\int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{\left(a^{2}-u^{2}\right)\left(b^{2}-u^{2}\right)}}=\frac{1}{b} F\left(\frac{a}{b}, \varphi\right),
\]

где $\sin \varphi=1 / a$. Сравнивая интегралы ( $\mathrm{T}$ ) и (у), находим $a^{2}=1$, $b^{2}=(2-v) / v, \varphi=\pi / 2$. Следовательно, выражение ( $\mathrm{T}$ ) принимает вид
\[
\tau=\frac{4}{\rho} \sqrt{\frac{2}{2-v}} F\left(\sqrt{\frac{v}{2-v}}, \frac{\pi}{2}\right) .
\]

Қак и выше, для любых значений коэффициента $\alpha$ и скорости $v$ период $\tau$ можно без труда определить с помощью выражения (2.10), используя таблицы эллиптических интегралов.

Путем соответствующего подбора коэффициента $\alpha$ в выражениях (к) и (р) можно получить приближенное описание различных случаев пружин как с возрастающей, так и с уменьшающейся жесткостью. В более общем случае, когда восстанавливающая сила может быть представлена в виде полинома $p^{2} f(x)=p^{2}\left(x+\alpha x^{2}+\right.$ $+\beta x^{3}$ ), задача также может быть решена с помощью эллиптических интегралов *.

Другой пример симметричного вида восстанавливающей силы, для которого может быть получено точное решение, представляет собой маятник (см. рис. 2.3). Здесь уравнение движения [см. уравнение (2.4а) в п. 2.11 имеет вид $\ddot{\varphi}+p^{2} \sin \varphi=0$, где $p^{2}=g / L$. В данном случае угловых колебаний соотношения (2.6) и (2.7) принимают следующую форму:
\[
\begin{array}{c}
E_{\text {к } \max }=\frac{1}{2} \dot{q}_{\mathrm{M}}^{2}=p^{2} \int_{0}^{\varphi_{\mathrm{M}}} f(\psi) d \psi=E_{\text {п max }} ; \\
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{\varphi_{\mathrm{M}}} \frac{d \varphi}{\sqrt{2 \int_{0}^{\varphi_{\mathrm{M}}} f(\psi) d \psi}} .
\end{array}
\]

Для маятника из указанных соотношений получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{\varphi}_{\mathrm{M}}= \pm p V \overline{2\left(1-\cos \varphi_{\mathrm{M}}\right)} ; \\
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{\varphi_{\mathrm{M}}} \frac{d \varphi}{\sqrt{2\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{\mathrm{M}}\right)}}=\frac{2}{p} \int_{0}^{\varphi_{\mathrm{M}}} \frac{d \varphi}{\sqrt{\sin ^{2}\left(\varphi_{\mathrm{M}} / 2\right)-\sin ^{2}(\varphi / 2)}} .
\end{array}
\]

Вводя обозначения $k=\sin \left(\varphi_{\mathrm{M}} / 2\right)$ н новую переменную $\theta$, такую, что
\[
\sin (\Upsilon / 2)=k \sin \theta=\sin \left(\varphi_{\mathrm{M}} / 2\right) \sin \theta,
\]

найдем
\[
d \varphi=\frac{2 k \cos \theta d \theta}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}} .
\]

Подставляя выражения (ц) и (ч) в (х) и учитывая, что согласно соотношению (ц) переменная $\theta$ изменяется от 0 до $\pi / 2$, тогда как угол $\varphi$ изменяется от 0 до $\varphi_{\mathrm{M}}$, получаем следующее выражение периода колебаний:
\[
\tau=\frac{4}{p} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \theta}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{4}{p} F(k, \pi / 2),
\]

которое имеет стандартную форму эллиптического интеграла первого рода. Числовые значения интеграла из выражения (2.12), соответствующие различным значениям $k$, можно получить из таблиц.

Если максимальное угловое перемещение $\varphi_{\text {м }}$ маятника мало, мала и величина $k$ и, следовательно, можно пренебречь слагаемым $k^{2} \sin ^{2} \theta$ в выражении (2.12). При этом интеграл становится равным $\pi / 2$, а период собственных колебаний маятника при малых углах наклона принимает значение $\tau=2 \pi / p$.

Пример 1. Предположим, что контейнер, содержащий закрепленную на пружинах массу $m$, падает с высоты $h$ на цементный пол. Восстанавливающая сила, с которой пружины действуют на массу, в соответствии с экспериментами может быть приближенно представлена в виде
\[
F(x)=\alpha x^{5},
\]

где $x$ — перемещение массы относительно контейнера. Определить максимальное перемещение массы относительно контейнера при условии, что во время падения контейнера на пол происходит неупругий удар.

Peшение. При внезапном ударе упавший контейнер имеет отнесенную к единице массы кинетическую энергию, равную gh. Разделив выражение (ш) на $m$, получим $p^{2} f(x)=\alpha x^{5} / m$; тогда соотношение (2.6) примет вид $E_{\text {к }}$ max $=g h=\alpha x_{\mathrm{M}}^{2} / 6 m=$ $=E_{11 \max }{ }^{5}$. Откуда находим
\[
x_{\mathrm{M}}=\left(\frac{6 m g h}{\alpha}\right)^{\frac{1}{6}} .
\]

Пример 2. Получить выражение для начальной скорости, которая необходима для того, чтобы масса в задаче 2.1.5 (см. п. 2.1) «перескочила» из положения с $\theta<$ $<\pi / 2$ в положение с $\theta>\pi / 2$.

Решение. Воспользовавшись энергетическими представлениями, видим, что начальная скорость должна быть по крайней мере такой, чтобы начальная кинетическая энергия была равна потенциальной энергии, накопленной в пружине, когда она занимает вертикальное положение $(\theta=\pi / 2)$. Изменение длины пружины при отклонении от вертикального положения можно представить в виде $\Delta=l$ ( $1-\sin \theta)$. Тогда потенциальная энергия, накопленная в пружине, $E_{\mathrm{n} \text { max }}=k \Delta^{2} / 2=k l^{2}$ (1- $\sin \theta)^{2} / 2$. Приравнивая это выражение начальной кинетической энергии массы, получим условие «прощелкивания»
\[
\dot{x}_{0} \geqslant l(1-\sin \theta) \sqrt{k / m} .
\]

ЗАДАЧИ

2.2.1. На рис. А.2.2.1 показан буфер, установленный в тупике железнодорожного пути. Буфер имеет пружину с возрастающей жесткостью, которая дает востанавливающую силу вида $F(x)=k\left(x+\alpha x^{3}\right)$, где $k=7,15 \cdot 10^{4} \mathrm{H} / \mathrm{m}$ и $\alpha=3,1 \times$ $\times 10^{3} \mathrm{~m}^{-2}$. Приняв, что вес вагона $W=1,75 \cdot 10^{5} \mathrm{H}$, а его скорость при подходе к тупику составляет $0,254 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, определить максимальное перемещение буфера, максимальное значение восстанавливающей силы, а также время (считая, что удар происходит при $t=0$ ), за которое оно будет достигнуто. Считать, что масса буфера мала по сравнению с массой вагона и что после удара между ними сохраняется контакт.
Omвет: $\boldsymbol{x}_{\mathrm{M}}=5,4 \cdot 10^{-2} \mathrm{M} ; P_{\mathrm{M}}=3,89 \cdot 10^{4} \mathrm{H} ; \tau / 4=0,308$ с.
2.2.2. Предположить, что пружины буфера из задачи 2.2 .1 заменены на систему таких, которые дают посстанавливающую силу в виде функции тангенса, как показано на рис. А.2.2.2. Пусть жесткость $k=7,15 \cdot 10^{4} \mathrm{H} / \mathrm{M}$, а предельное перемещение, при котором восстанавливающая сила становится бесконечно боль-

шой, составляет $x_{1}=0,254$ м. Определить максимальные перемещения $x_{\mathrm{m}}$ и восстанавливающую силу $P_{\mathrm{M}}$.
Ответ: $x_{\mathrm{M}}=0,121 \mathrm{M}, P_{\mathrm{M}}=1,07 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$.
Рис. А.2.2.1
Рис. А.2.2.2
2.2.3. Пружины с увеличивающейся жесткостью, установленные в буфере из задачи 2.2.1, заменены на с́истему пружин с уменьшающейся жесткостью, которые дают восстанавливающую силу в виде функции гиперболического тангенса, как показано на рис. А.2.2.3. Для указанного случая считать, что тангенс угла наклона кривой в начале координат $k=1,79 \cdot 10^{5} \mathrm{H} / \mathrm{m}$ и что предельное значение восстанавливающей силы, которое может обеспечить конструкция буфера, $P_{1}=4,54 \times$ $\times 10^{6} \mathrm{H}$. Определить смещение $x_{\mathrm{M}}$ и силу $P_{\mathrm{M}}$, которые возникают пи столкновении вагона с буфером.
Oтвет: $x_{\mathrm{M}}=8,02 \cdot 10^{-2} \mathrm{M}, P_{\mathrm{M}}=1,44 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$.
2.2.4. Решить задачу 2.2 .3 для случая восстанавливающей силы, описываемой экспоненциальной функцией (рис. А.2.2.4).
Oтвет: $x_{\mathrm{M}}=8,07 \cdot 10^{-2} \mathrm{M}, P_{\mathrm{M}}=1,42 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$.
Рис. А.2.2.3
Рис. А.2.2.4