Главная > Колебания в инженерном деле" (С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В качестве первого частного случая поперечных колебаний стержня исследуем свободно опертый призматический стержень, показанный на рис. 5.14. Концевые условия для этого случая имеют вид
(X)x=0=0;(d2Xdx2)x=0=0;(X)x=l=0;(d2Xdx2)x=l=0

и означают, что перемещение и изгибающий момент равны нулю на каждом конце.

Здесь полезно записать общее выражение для нормальной функции [см. выражение (5:85)] в следующей эквивалентной форме:
X=C1(coskx+chkx)+C2(coskxchkx)++C3(sinkx+shkx)+C4(sinkxshkx).

Из первых двух условий (а) следует, что постоянные C1 и C2 в выражении (5.99) должны быть равны нулю. Из третьего и четвертого условий следует, что C3=C4,
sinkl=0,

причем последнее равенство является частотным уравнением для рассматриваемого случая. Не равные нулю положительные корни этого уравнения kil=iπ при i=1,2,3,,. Отсюда следует
ki=iπ/l,i=1,2,3,,.

Круговую частоту, соответствующую этим значениям ki, получаем из формулы
pi=ki2a=i2π2al2=i2π2l2EIρF.

Тогда период колебаний находим из выражения
τi=1fi=2πpi=2l2i2πρFEI.

Рис. 5.14

Как видно, период колебаний для произвольной формы колебаний пропорционален квадрату длины и обратно пропорционален радиусу инерции поперечного сечения. Таким образом, для геометрически подобных стержней, изготовленных из одного материала, периоды собственных колебаний прямо пропорциональны геометрическим размерам.

Формы кривых, описывающих прогибы при ¡колебаниях, задаются нормальной функцией [см. выражение (5.99)] при
C1=C2=0 и C3=C4=D/2,

а именно:
Xi=Disink1x=Disin(iπx/l),i=1,2,3,,.

Таким образом, формы колебаний имеют вид синусоид, первая из которых показана штриховыми линиями на рис. 5.14. Нормальные функции для свободно опертого стержня, как видно из сказанного, совпадают с нормальными функциями для колеблющейся предварительно растянутой нити с неподвижно закрепленными концами (см. рис. 5.10, в, д). Для того чтобы удовлетворить условиям (5.97) нормированности, надо положить Di=2/l.
Определим теперь динамические перемещения при поперечных колебаниях свободно опертого стержня, обусловленных начальными условиями, заданными в виде перемещений и скоростей. Қак и в случае колебаний растянутой нити, представим распределение начальных поперечных перемещений в произвольном сечении стержня в момент времени t=0 в виде функции y0=f1(x), а распределение начальных скоростей — в виде функции y˙0=f2(x). Общая форма решения задается выражением (5.86), полученным в предыдущем параграфе, и она аналогична решению (5.25), полученному методом нормальных форм в п. 5.4. Если нормированные функции (5.104) подставить в выражения (5.23) и (5.24), в результате получим
φ0i=0lf1(x)Xidx=2l0lf1(x)siniπxldx;φ˙0i=0lf2(x)Xidx=2l0lf2(x)siniπxldx.

Подставляя эти выражения в решение (5.25) и заменив u на y, получим
y=2li=1siniπxl[cospit0lf1(x)siniπxldx++lpisinpit0lf2(x)siniπxldx].

Сравнивая это выражение с выражением (5.86), видим, что постоянные
Ai=2l0lf1(x)siniπxldx;Bi=2lpi0lf2(x)siniπxldx.

В качестве примера задачи о поперечном ударе предположим, что на коротком участке стержня длиной δ, расположенном на расстоянии x1 от левой опоры, задана начальная скорость v. В этом случае f1(x)=0, а функция f2(x) равна нулю во всех точках, кроме точки x=x1, где f2(x1)=v. Подставляя эти условия в выражения (г) и (д), получим
Ai=0;Bi=2vδlpisiniπx1l,

тогда суммарное динамическое перемещение определяется выражением
y=2vδli=11pisiniπxlsiniπx1lsinpit.

Если удар производится в середину пролета (т. е. в точку x1=l/2 ), имеем
y=2vδl(1p1sinπxlsinp1t1p3sin3πxlsinp3t++1p5sin5πxlsinp5t)=2vδlaπ2(sinπxlsinp1t19sin3πxlsinp3t+125sin5πxlsinp5t).

Видно, что в этом случае возникают только симметричные формы колебаний, при этом величины амплитуд, входящих в выражение (ж) форм колебаний с последовательно возрастающими номерами, убывают по закону 1/i2.

ЗАДАЧИ

5.10.1. Определить собственные частоты fi колебаний двутавровой балки, колеблющейся в плоскости ее стенки, если дано, что l=9,14 m,E=2,111011 Па, I=1,26103 m4, іогонный вес составляет 1,489103H/m.
Oтвет: fi=24,8i2c1.
5.10.2. Свободно опертый стержень прогнулся под действием силы P, приложенной в середине пролета. Определить поперечные динамические перемещения стержня при колебаниях, возникающих при внезапном снятии силы P.
 Omeem: y=2Pl3π4EIi(1)i1/2i4siniπxlcospit,i=1,3,5,,.
5.10.3. Решить предыдущую задачу, предполагая, что сила P приложена в точке x=x1.
Omвem: y=2Pl3π4EIi1i4siniπxlsiniπx1lcospit,i=1,2,3,,.
5.10.4. К свободно опертому стержню приложена равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью w. Определить поперечные динамические перемещения стержня при колебаниях, возникающих при внезапном снятии нагрузки:
Omeem: y=4wl4π5EIi1i5siniπxlcospit,i=1,3,5,,.
5.10.5. Определить поперечные динамические перемещения свободно опертого стержня, для которого задано, что в момент времени t=0 все точки стержня, за исключением концевых точек, внезапно приобретают скорость v.
Ombem: y=4vπi=01ipisiniπxlsinpit,i=1,3,5,,.

1
Оглавление
email@scask.ru