В качестве первого частного случая поперечных колебаний стержня исследуем свободно опертый призматический стержень, показанный на рис. 5.14. Концевые условия для этого случая имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
(X)_{x=0}=0 ; & \left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=0}=0 ; \\
(X)_{x=l}=0 ; & \left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=l}=0
\end{array}
\]

и означают, что перемещение и изгибающий момент равны нулю на каждом конце.

Здесь полезно записать общее выражение для нормальной функции [см. выражение (5:85)] в следующей эквивалентной форме:
\[
\begin{array}{l}
X=C_{1}(\cos k x+\operatorname{ch} k x)+C_{2}(\cos k x-\operatorname{ch} k x)+ \\
+C_{3}(\sin k x+\operatorname{sh} k x)+C_{4}(\sin k x-\operatorname{sh} k x) .
\end{array}
\]

Из первых двух условий (а) следует, что постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$ в выражении (5.99) должны быть равны нулю. Из третьего и четвертого условий следует, что $C_{3}=C_{4}$,
\[
\sin k l=0,
\]

причем последнее равенство является частотным уравнением для рассматриваемого случая. Не равные нулю положительные корни этого уравнения $k_{i} l=i \pi$ при $i=1,2,3, \ldots, \infty$. Отсюда следует
\[
k_{i}=i \pi / l, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Круговую частоту, соответствующую этим значениям $k_{i}$, получаем из формулы
\[
p_{i}=k_{i}^{2} a=\frac{i^{2} \pi^{2} a}{l^{2}}=\frac{i^{2} \pi^{2}}{l^{2}} \sqrt{\frac{E I}{\rho F}} .
\]

Тогда период колебаний находим из выражения
\[
\tau_{i}=\frac{1}{f_{i}}=\frac{2 \pi}{p_{i}}=\frac{2 l^{2}}{i^{2} \pi} \sqrt{\frac{\rho F}{E I}} .
\]

Рис. 5.14

Как видно, период колебаний для произвольной формы колебаний пропорционален квадрату длины и обратно пропорционален радиусу инерции поперечного сечения. Таким образом, для геометрически подобных стержней, изготовленных из одного материала, периоды собственных колебаний прямо пропорциональны геометрическим размерам.

Формы кривых, описывающих прогибы при ¡колебаниях, задаются нормальной функцией [см. выражение (5.99)] при
\[
C_{1}=C_{2}=0 \text { и } C_{3}=C_{4}=D / 2,
\]

а именно:
\[
X_{i}=D_{i} \sin k_{1} x=D_{i} \sin (i \pi x / l), \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Таким образом, формы колебаний имеют вид синусоид, первая из которых показана штриховыми линиями на рис. 5.14. Нормальные функции для свободно опертого стержня, как видно из сказанного, совпадают с нормальными функциями для колеблющейся предварительно растянутой нити с неподвижно закрепленными концами (см. рис. 5.10, в, д). Для того чтобы удовлетворить условиям (5.97) нормированности, надо положить $D_{i}=\sqrt{2 / l}$.
Определим теперь динамические перемещения при поперечных колебаниях свободно опертого стержня, обусловленных начальными условиями, заданными в виде перемещений и скоростей. Қак и в случае колебаний растянутой нити, представим распределение начальных поперечных перемещений в произвольном сечении стержня в момент времени $t=0$ в виде функции $y_{0}=f_{1}(x)$, а распределение начальных скоростей – в виде функции $\dot{y}_{0}=f_{2}(x)$. Общая форма решения задается выражением (5.86), полученным в предыдущем параграфе, и она аналогична решению (5.25), полученному методом нормальных форм в п. 5.4. Если нормированные функции (5.104) подставить в выражения (5.23) и (5.24), в результате получим
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{i} d x=\sqrt{\frac{2}{l}} \int_{0}^{l} f_{1}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x ; \\
\dot{\varphi}_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{i} d x=\sqrt{\frac{2}{l}} \int_{0}^{l} f_{2}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в решение (5.25) и заменив $u$ на $y$, получим
\[
\begin{array}{c}
y=\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \sin \frac{i \pi x}{l}\left[\cos p_{i} t \int_{0}^{l} f_{1}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x+\right. \\
\left.+\frac{l}{p_{i}} \sin p_{i} t \int_{0}^{l} f_{2}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x\right] .
\end{array}
\]

Сравнивая это выражение с выражением (5.86), видим, что постоянные
\[
\begin{aligned}
A_{i} & =\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f_{1}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x ; \\
B_{i} & =\frac{2}{l p_{i}} \int_{0}^{l} f_{2}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x .
\end{aligned}
\]

В качестве примера задачи о поперечном ударе предположим, что на коротком участке стержня длиной $\delta$, расположенном на расстоянии $x_{1}$ от левой опоры, задана начальная скорость $v$. В этом случае $f_{1}(x)=0$, а функция $f_{2}(x)$ равна нулю во всех точках, кроме точки $x=x_{1}$, где $f_{2}\left(x_{1}\right)=v$. Подставляя эти условия в выражения (г) и (д), получим
\[
A_{i}=0 ; \quad B_{i}=\frac{2 v \delta}{l p_{i}} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l},
\]

тогда суммарное динамическое перемещение определяется выражением
\[
y=\frac{2 v \delta}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \sin p_{i} t .
\]

Если удар производится в середину пролета (т. е. в точку $x_{1}=l / 2$ ), имеем
\[
\begin{array}{c}
y=\frac{2 v \delta}{l}\left(\frac{1}{p_{1}} \sin \frac{\pi x}{l} \sin p_{1} t-\frac{1}{p_{3}} \sin \frac{3 \pi x}{l} \sin p_{3} t+\right. \\
\left.+\frac{1}{p_{5}} \sin \frac{5 \pi x}{l} \sin p_{5} t-\ldots\right)=\frac{2 v \delta l}{a \pi^{2}}\left(\sin \frac{\pi x}{l} \sin p_{1} t-\right. \\
\left.-\frac{1}{9} \sin \frac{3 \pi x}{l} \sin p_{3} t+\frac{1}{25} \sin \frac{5 \pi x}{l} \sin p_{5} t-\ldots\right) .
\end{array}
\]

Видно, что в этом случае возникают только симметричные формы колебаний, при этом величины амплитуд, входящих в выражение (ж) форм колебаний с последовательно возрастающими номерами, убывают по закону $1 / i^{2}$.

ЗАДАЧИ

5.10.1. Определить собственные частоты $f_{i}$ колебаний двутавровой балки, колеблющейся в плоскости ее стенки, если дано, что $l=9,14 \mathrm{~m}, E=2,11 \cdot 10^{11}$ Па, $I=1,26 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{4}$, іогонный вес составляет $1,489 \cdot 10^{3} \mathrm{H} / \mathrm{m}$.
Oтвет: $f_{i}=24,8 i^{2} \mathrm{c}^{-1}$.
5.10.2. Свободно опертый стержень прогнулся под действием силы $P$, приложенной в середине пролета. Определить поперечные динамические перемещения стержня при колебаниях, возникающих при внезапном снятии силы $P$.
\[
\text { Omeem: } y=\frac{2 P l^{3}}{\pi^{4} E I} \sum_{i} \frac{(-1)^{i-1 / 2}}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l} \cos p_{i} t, \quad i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]
5.10.3. Решить предыдущую задачу, предполагая, что сила $P$ приложена в точке $x=x_{1}$.
Omвem: $y=\frac{2 P l^{3}}{\pi^{4} E I} \sum_{i} \frac{1}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \cos p_{i} t, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty$.
5.10.4. К свободно опертому стержню приложена равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью $w$. Определить поперечные динамические перемещения стержня при колебаниях, возникающих при внезапном снятии нагрузки:
Omeem: $y=\frac{4 w l^{4}}{\pi^{5} E I} \sum_{i} \frac{1}{i^{5}} \sin \frac{i \pi x}{l} \cos p_{i} t, \quad i=1,3,5, \ldots, \infty$.
5.10.5. Определить поперечные динамические перемещения свободно опертого стержня, для которого задано, что в момент времени $t=0$ все точки стержня, за исключением концевых точек, внезапно приобретают скорость $v$.
Ombem: $y=\frac{4 v}{\pi} \sum_{i=0} \frac{1}{i p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin p_{i} t, \quad i=1,3,5, \ldots, \infty$.