На рис. 5.39, a показана пластина постоянной толщины $h$, причем толщина ее полагается малой по сравнению с другими размерами. Возьмем в качестве срединной плоскости пластины плоскость $x y$ и предположим, что прогибы малы по сравнению с толщиной $h$. Кроме того, нормали к срединной плоскости пластины остаются нормалями к деформированной срединной поверхности, образующейся за счет прогибов при колебаниях.

Рассмотрим деформации тонкого слоя малого элемента, показанного в виде заштрихованной площади, расположенной на расстоя-
Рис. 5.39

нии $z$ от срединной поверхности (рис. 5.39, б). Эти деформации можно представить следующими соотношениями *:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{x}=-z \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}, \quad \varepsilon_{y}=-z \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}, \\
\gamma_{x y}=-2 z \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y} .
\end{array}
\]

В этих выражениях $v$ обозначает прогибы (перемещения в направлении оси $z$ ) пластины; $\varepsilon_{x}$, $\varepsilon_{y}$ и $\gamma_{x y}$ – нормальные и касательная деформации тонкого слоя. Напряжения, соответствующие этим деформациям, определяются соотношениями **
\[
\begin{array}{c}
\sigma_{x}=\frac{E}{1-v^{2}}\left(\varepsilon_{x}+v \varepsilon_{y}\right)=-\frac{E z}{1-v^{2}}\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+v \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}\right) ; \\
\sigma_{y}=\frac{1 E}{1-v^{2}}\left(\varepsilon_{y}+v \varepsilon_{x}\right)=-\frac{E z}{1-v^{2}}\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+v \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}\right) ; \\
\tau_{x_{y}}=G \gamma_{x y}=-\frac{E z}{1+v} \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y},
\end{array}
\]

где $v$ – коэффициент Пуассона.
Потенциальная энергия, накопленная в заштрихованном слое малого элемента при деформации:
\[
d U=\left(\frac{\varepsilon_{x} \sigma_{x}}{2}+\frac{\varepsilon_{y} \sigma_{y}}{2}+\frac{\gamma_{x y} \tau_{x y}}{2}\right) d x d y d z .
\]
* Предполагается, что срединная поверхность пластины не деформируется в своей плоскости.

Подставляя сюда выражения (а) и (б), получим
\[
\begin{array}{c}
d U=\frac{E z^{2}}{2\left(1-v^{2}\right)}\left\{\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}\right)^{2}+\right. \\
\left.+2 v \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+2(1-v)\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}\right)^{2}\right\} d x d y d z
\end{array}
\]

Интегрируя выражение (в) по объему пластины, получим потенциальную энергию изгиба
\[
\begin{array}{l}
U=\iiint d U=\frac{D}{2} \iint\left\{\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}\right)^{2}+\right. \\
\left.+2 v \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+2(1-v)\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}\right)^{2}\right\} d x d y,
\end{array}
\]

где $D=E h^{3} /\left[12\left(1-v^{2}\right)\right]$ – жесткость пластины при изгибе.
Кинетическая энергия поперечных колебаний пластины
\[
T=\frac{\rho h}{2} \iint \dot{v}^{2} d x d y,
\]

где $\rho h$ – масса, приходящаяся на единицу поверхности пластины. Полученные выражения для потенциальной $U$ и кинетической $T$ энергий будут использованы при исследовании конкретного вида пластин.

Прямоугольные пластины. В случае прямоугольной пластины (см. рис. 5.39, a) со свободно опертыми краями можно поступить так, как и при прямоугольной мембране. Тогда возьмем выражение для прогибов пластины при колебаниях в виде двойного ряда
\[
v=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_{m n} \sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b}
\]

по нормальным функциям, соответствующим рассматриваемому случаю. Легко проверить, что каждый член этого ряда удовлетворяет условиям на краях вида $v=\partial^{2} v / \partial x^{2}=0$ при $x=0$ и $x=a$; при $y=0$ и $y=b$ имеем $v=\partial^{2} v / \partial y^{2}=0$. Если представление (г) подставить в выражение (5.174), для потенциальной энергии получим
\[
U=\frac{\pi^{4} a b}{8} D \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_{n}^{2} n\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right)^{2} .
\]

При этом для кинетической энергии (5.175) имеем
\[
T=\frac{\mathrm{phab}}{8} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{m n}^{2} .
\]

Сила инерции, действующая на малый элемент пластины, равна – $\rho h \ddot{u} d x d y$.

Поступая аналогично вышеизложенному и взяв для возможного перемещения выражение
\[
\delta v_{m n}=\delta \varphi_{m n} \sin (m \pi x / a) \sin (n \pi y / b) .
\]

получим дифференциальное уравнение движения при свободных колебаниях в главных координатах
\[
\rho \ddot{\varphi}_{m n}+\pi^{4} D \varphi_{m n}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=0 .
\]

Решение этого уравнения имеет вид

где
\[
\varphi_{m n}=C_{1} \cos p t+C_{2} \sin p t,
\]
\[
p=\pi^{2} \sqrt{\frac{\bar{D}}{\rho h}}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right) .
\]

По этой формуле легко можно подсчитать частоты колебаний пластины. Например, в случае квадратной пластины для частоты низшей формы колебаний имеем
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{\pi}{a^{2}} \sqrt{\frac{D}{\rho h}} .
\]

Рассматривая высшие формы колебаний и соответствующие им узловые линии, видим, что приведенные выше обсуждения квадратных мембран (см. рис. 5.36) в равной степени применимы и к квадратным пластинам. Кроме того, без особого труда может быть решена задача о вынужденных колебаниях прямоугольной пластины со свободно опертыми краями. Отметим также, что не встречаются особые математические трудности при исследовании колебаний прямоугольной пластины, две противоположные стороны которой свободно оперты, а две другие либо не закреплены, либо жестко защемлены *.

Однако гораздо более сложными являются задачи исследования колебаний пластин, все стороны которых не закреплены или жестко защемлены. Как обнаружилось, очень удобен при решении таких задач метод Релея-Ритца ${ }^{\mathbf{1 4}}$, **. Для того чтобы воспользоваться этим методом, положим
\[
v=Z \cos (p t-\alpha),
\]

где $Z$ – функция $x$ и $y$, приближенно описывающая форму колебаний. Подставляя представление (д) в выражения (5.174) и (5.175),

получим следующие выражения для максимальных значений потенциальной и кинетической энергий при колебаниях:
\[
\begin{array}{c}
U_{\max }=\frac{D}{2} \iint\left\{\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial x^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial y^{2}}\right)^{2}+2 v \frac{\partial^{2} Z}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} Z}{\partial y^{2}}+\right. \\
\left.+2(1-v)\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial x \partial y}\right)^{2}\right\} d x d y \\
T=\frac{\rho h p^{2}}{2} \iint Z^{2} d x d y
\end{array}
\]

Приравнивая эти выражения друг другу, для частоты $p^{2}$ найдем выражение
\[
p^{2}=\frac{2}{\rho h} \frac{U_{\max }}{\iint Z^{2} d x d y} .
\]

Возьмем теперь функцию $Z$ в виде следующего ряда:
\[
\begin{aligned}
Z= & a_{1} \Phi_{1}(x, y)+a_{2} \Phi_{2}(x, y)+ \\
& +a_{3} \Phi_{3}(x, y)+\ldots,
\end{aligned}
\]

каждый член которого удовлетворяет условиям на границе пластины. Далее необходимо определить такие значения коэффициентов $a_{1}$, $a_{2}, a_{3}, \ldots$, которым соответствовало бы минимальное значение квадрата частоты (5.180). Таким путем приходим к системе уравнений типа
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \iint\left\{\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial x^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial y^{2}}\right)^{2}+2 v+\frac{\partial^{2} Z}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} Z}{\partial y^{2}}+\right. \\
\left.+2(1-v)\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial x \partial y}\right)^{2}-\frac{p^{2} \rho h}{D} Z^{2}\right\} d x d y=0,
\end{array}
\]

линейных относительно постоянных $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ Приравнивая нулю определитель этих уравнений, найдем частотное уравнение для пластины.
В. Ритц применил этот метод к исследованию колебаний квадратной пластины с незакрепленными краями *. Ряд (е) в этом случае был взят в виде
\[
Z=\sum_{m} \sum_{n} a_{m n} X_{m}(x) Y_{n}(y)
\]

где $X_{m}(x)$ и $Y_{n}(y)$ – нормальные функции задачи о поперечных колебаниях призматического стержня с незакрепленными кон-

Рис. 5.40

цами (см. п. 5.11). Частоты различных форм колебаний можно определить по формуле
\[
p=\frac{\alpha}{a^{2}} \sqrt{\frac{D}{\rho h}},
\]

где $\alpha$ – постоянная, зависящая от формы колебаний. Для трех низших форм эта постоянная имеет следующие значения *: $\alpha_{1}=$ $=14,10 ; \alpha_{2}=20,56 ; \alpha_{3}=23,91$. Узловые линии для соответствующих форм колебаний ${ }^{15}$ показаны на рис. $5.40, a-в$.

Круговые пластины. Задача колебания круговой пластины была решена Г. Кирхгофом **, который определил частоты нескольких форм колебаний пластин с незакрепленным контуром. Точное решение этой задачи выражается через функции Бесселя. Ниже излагается приближенное решение, получаемое методом Релея–Ритца, который для низших форм колебаний обычно дает достаточную для практики точность. Применяя этот метод, удобнее преобразовать выражения (5.174) и (5.175) соответственно для потенциальной и кинетической энергий к полярной системе координат.

Из треугольника $A B C$, изображенного на рис. 5.41, видно, что малое приращение $d x$ координаты $x$ соответствует следующим приращениям полярных координат:
\[
d r=d x \cos \theta, d \theta=-d x \sin \theta / r .
\]

Тогда, рассматривая прогиб $v$ как функцию от $r$ и $\theta$, получаем
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r} \cos \theta-\frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\sin \theta}{r} .
\]
* Коэффициёнт Пуассона полагался равным 0,225 .

Рис. 5.41
Аналогичным образом находим
\[
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial r} \sin \theta+\frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\cos \theta}{r} .
\]

Повторное дифференцирование дает
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}=\left(\frac{\partial}{\partial r} \cos \theta-\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\sin \theta}{r}\right) \times \\
\times\left(\frac{\partial v}{\partial r} \cos \theta-\frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\sin \theta}{r}\right)=
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
=\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}} \cos ^{2} \theta-2 \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta \partial r} \frac{\sin \theta \cos \theta}{r}+\frac{\partial v}{\partial r} \frac{\sin ^{2} \theta}{r}+2 \frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^{2}}+ \\
+\frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}} \frac{\sin ^{2} \theta}{r^{2}} \\
\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}} \sin ^{2} \theta+2 \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta \partial r} \frac{\sin \theta \cos \theta}{r}+ \\
+\frac{\partial v}{\partial r} \frac{\cos ^{2} \theta}{r}-2 \frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}} \frac{\cos ^{2} \theta}{r^{2}} \\
\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}} \sin \theta \cos \theta+\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y} \frac{\cos 2 \theta}{r}-\frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\cos 2 \theta}{r^{2}}- \\
-\frac{\partial v}{\partial r} \frac{\sin \theta \cos \theta}{r}-\frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}} \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^{2}}
\end{array}
\]

откуда следует
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}} \\
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}\right)^{2}=\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}}\right)-\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}\right)\right\}^{2} .
\end{array}
\]

Подставляя выражения (к) и (л) в выражение (5.174) и помещая начало координат в центр пластины, получим
\[
\begin{aligned}
U= & \frac{D}{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{a}\left[\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}}\right)^{2}-\right. \\
& -2(1-v) \frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}}\right)+ \\
& \left.+2(1-v)\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}\right)\right\}^{2}\right] r d \theta d r
\end{aligned}
\]

где $a$-радиус пластины. Если форма прогибов пластины симметрична относительно цеңтра пластины, v будет функцией только радиуса $r$. Тогда выражение (5.183) принимает вид
\[
U=\pi D \int_{0}^{a}\left\{\left(\frac{d^{2} v}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d v}{d r}\right)^{2}-2(1-v) \frac{d^{2} v}{d r^{2}} \frac{1}{r} \frac{d v}{d r}\right\} r d r .
\]

В случае пластины, жестко защемленной на крае, интеграл
\[
\iint\left[\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial
u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \cdot}{\partial r^{2}}\right)-\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}\right)\right\}^{2}\right] r d \theta d r
\]

обращается в нуль. Тогда из выражения (5.183) получаем
\[
U=\frac{D}{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{a}\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}}\right)^{2} r d \theta d r .
\]

Если прогибы рассматриваемой пластины симметричны относительно еє центра, имеем
\[
U=\pi D \int_{0}^{a}\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}\right)^{2} r d r .
\]

Кинетическая энергия круговой пластины в полярной системе координат принимает вид
\[
T=\frac{\rho h}{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{a} \dot{v}^{2} r d \theta d r
\]

или в случае центральной симметрии
\[
T=\pi \rho h \int_{0}^{a} \dot{v}^{2} r d r .
\]

Используя эти выражения для потенциальной и кинетической энергий, можно найти частоты собственных форм колебаний круговой пластины при различных граничных условиях *.

Круговая пластина, жестко защемленная по контуру. Задача о круговой пластине, жестко защемленной по контуру, представляет собой интерес в связи с приложением к расчету телефонных мембран и другим аналогичным случаям. Используя метод РелеяРитца, предположим, что искомое решение имеет вид (е), но $Z$ является функцией как $r$, так и $\theta$. При колебаниях по низшей форме конфигурация прогибов колеблющейся пластины симметрична относительно центра пластины, поэтому $Z$ будет функцией только $r$. Если функцию $Z$ задавать в виде ряда
\[
Z=a_{1}\left(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right)^{2}+a_{2}\left(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right)^{3}+\cdots,
\]

условие симметрии прогибов будет выполнено. Условия на контуре будут также выполняться, поскольку каждый член ряда (м),

а также их первые производные по $r$ при $r=a$ будут обращаться в нуль.

Условие минимума, соответствующее равенству (5.181), в рассматриваемом случае имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{a}\left\{\left(\frac{d^{2} Z}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d Z}{d r}\right)^{2}-\frac{p^{2} \rho h}{D} Z^{2}\right\} r d r=0 .
\]

Удержав только один член ряда (м) и подставив его в равенство (5.189), получим
\[
\frac{96}{9 a^{2}}-\frac{p^{2} \rho h}{D} \frac{a^{2}}{10}=0,
\]

откуда
\[
p==\left(10,33 / a^{2}\right) V \overline{D /(\rho h)} .
\]

Для того чтобы получить более близкое к точному значение для частоты колебаний, удержим в ряде (м) два первых члена. В результате получим
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{a}\left(\frac{d^{2} Z}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d Z}{d r}\right) r d r=\frac{96}{9 a^{2}}\left(a_{1}^{2}+\frac{3}{2} a_{1} a_{2}+\frac{9}{10} a_{2}^{2}\right) ; \\
\int_{0}^{a} Z^{2} r d r=\frac{a^{2}}{10}\left(a_{1}^{2}+\frac{5}{3} a_{1} a_{2}+\frac{5}{7} a_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Из условия (5.189) находим
\[
\begin{array}{l}
a_{1}\left(\frac{192}{5}-\frac{\lambda}{5}\right)+a_{2}\left(\frac{144}{9}-\frac{\lambda}{6}\right)=0 ; \\
a_{1}\left(\frac{144}{9}-\frac{\lambda}{6}\right)+a_{2}\left(\frac{96}{5}-\frac{\lambda}{7}\right)=0,
\end{array}
\]

где
\[
\lambda=a^{4} p^{2} \rho h / D .
\]

Приравнивая нулю определитель системы (н), получим
\[
\lambda^{2}-\frac{204 \cdot 48}{5} \lambda+768 \cdot 36 \cdot 7=0,
\]

откуда имеем
\[
\lambda_{1}=104,3 ; \lambda_{2}=1854 .
\]

Подстановка этих значений в (о) дает
\[
p_{1}=\frac{10,21}{a^{2}} \sqrt{\frac{\bar{D}}{\rho h}}, p^{2}=\frac{43,06}{a^{2}} \sqrt{\frac{\bar{D}}{\rho h}} .
\]

Таким образом, видим, что $p_{1}$ является уточненным значением частоты низшей формы колебаний круговой пластины, а $p_{2}$ представляет грубое приближение для частоты второй формы колебаний, когда колеблющаяся пластина имеет одну узловую окружность. С помощью

указанного подхода могут быть исследованы также и формы колебаний с узловыми диаметрами.

Во всех рассмотренных выше случаях частоту колебаний можно определить по формуле
\[
p=\frac{\alpha}{a^{2}} \sqrt{\frac{\bar{D}}{\rho h}} .
\]

Некоторые значения постоянной $\alpha$ (для заданного числа $s$ узловых диаметров и заданного числа $n$ узловых окружностей) приведены в табл. 5.2.
5.2. Значения $\alpha$ для круговой пластины
5.3. Значения $\alpha$ для круговой пластины с незакрепленным контуром
Если пластину погрузить в воду, частоты ее собственных колебаний могут значительно измениться. Для того чтобы учесть влияние массы жидкости на частоту основной формы колебаний, вместо формулы (5.192) возьмем следу- 5.4. Значения $\alpha$ для круговой ющую *:
\[
p_{1}=\frac{10,21}{a^{2} \sqrt{1+\eta}} \sqrt{\frac{D}{\rho h}},
\]

где $\eta=0,6689\left(\rho_{1} / \rho\right)(a / h) ; \rho_{1} / \rho-$ – отношение плотности жидкости к плотности материала пластины. Рассмотрим, например, пластины, жестко защемленной в центре

круговую стальную пластину, жестко защемленную по контуру и погруженную в воду. Если $a=8,9 \cdot 10^{-2} \mathrm{M}, h=3,2 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}$, то величина $\eta$ принимает значение
\[
\eta=0,6689\left(\frac{1}{7,8}\right)\left(\frac{8 \cdot 9 \cdot 10^{-2}}{3 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}\right)=2,40 .
\]

Тогда имеем $1 / \sqrt{1+\eta}=0,542$, а это означает, что частота низшей формы колебаний будет меньше в 0,542 раза по отношению к исходной.

Круговая пластина при других граничных условиях. Во всех случаях частоты колебаний круговой пластины можно определить

по формуле (5.192), подобрав соответствующее значение постоянной $\alpha$. Для круговой пластины с незакрепленным контуром, при колебаниях которой образуются $n$ узловых диаметров и $s$ узловых окружностей, постоянная $\alpha$ принимает значения *, приведенные в табл. 5.3.

Для круговой пластины, жестко защемленной в центре и образующей при колебаниях $s$ узловых окружностей, значения ** $\alpha$ приведены в табл. 5.4. Частоты форм колебаний, имеющих узловые диаметры, будут совпадать с частотами пластины с незакрепленным контуром ${ }^{16}$.
* Коэффициент Пуассона при этом полагался равным $1 / 3$.