В гл. 1 и 2 рассматривались только системы, имеющие одну степень свободы. В данной и следующей главах будут обсуждены системы, имеющие несколько степеней свободы, простейшими из которых являются системы с двумя степенями свободы. Конфигурация такой системы полностью определяется двумя координатами (или перемещениями), а для того чтобы описать ее движение, требуется два дифференциальных уравнения.

На рис. 3.1, а показаны две массы $m_1$ и $m_2$, соединенные со стенкой и друг с другом пружинами, имеющими коэффициенты жесткости соответственно $k_1$ и $k_2$. Предполагается, что массы могут двигаться только в направлении оси $x$ и что в системе отсутствует как трение, как и другие виды сопротивления. В качестве координат, определяющих движение системы, возьмем перемещения $x_1$ и $x_2$ масс от их положений статического равновесия, при которых отсутствуют деформации в пружинах. На рис. $3.1,a$ присутствуют также и возмущающие силы, описываемые функциями $Q_1=F_1(t)$ и $Q_2=$ $=F_2(t)$ и приложенные соответственно к массам $m_1$ и $m_2$. Силы, действующие на массы со стороны пружин при перемещениях во время движения, показаны на рис. 3.1, б. Используя второй закон Ньютона, получим уравнения движения для масс $m_1$ и $m_2$ в виде
$$\begin{array}{c}{m}_1{\ddot{x}}_1=-k_1{x}_1+k_2(x_2-x_1)+Q_1;\\ m_2{\ddot{x}}_2=-k_2(x_2-x_1)+Q_2.\end{array}$$

При $x_1>x_2$ эти уравнения не изменяются, потому что в этом случае сжимающая сила $k_2(x_1-x_2)$, с которой пружина действует на каждую массу, будет иметь знак минус в уравнении (а) и знак плюсв уравнении (б). Подставив входящие в эти уравнения члены, запишем
$$\begin{array}{c}{m}_1{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=Q_1;\\ m_2{\ddot{x}}_2-k_2{x}_1+k_2{x}_2=Q_2.\end{array}$$

Таким образом, получена система двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для исследования свободных колебаний этой системы положим $Q_1$ и $Q_2$ равными нулю, тогда получим однородные уравнения
$$\begin{array}{c}{m}_1{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0;\\ m_2{\ddot{x}}_2-k_2{x}_1+k_2{x}_2=0.\end{array}$$
Рис. 3.1

Как и выше для системы с одной степенью свободы, будем искать решения в следующей форме:
$$\begin{array}{l}{x}_1=A\sin (pt+\phi );\\ x_2=B\sin (pt+\phi ).\end{array}$$

Эти выражения показывают, что собственные формы колебаний обеих масс описываются одной и той же гармонической функцией с круговой частотой $p$ и фазовым углом $\phi$. Буквами $A$ и $B$ обозначены максимальные значения перемещений, или амплитуды, при колебательных движениях. Подставляя представления (д) и (е) в уравнения (в) и (г), получим следующую систему алгебраических уравнений:
$$\begin{array}{c}(k_1+k_2-p^2{m}_1)A-k_{2}B=0;\\ -k_{2}A+(k_2-p^2{m}_2)B=0.\end{array}$$

Одно из возможных решений этих уравнений имеет вид $A=B=0$, что соответствует нахождению системы в положении равновесия и не дает информации о колебаниях. Эти уравнения могут иметь ненулевые решения только в том случае, когда определитель матрицы, составленной из коэффициентов при $A$ и $B$, равен нулю:
$$\left|\begin{array}{cc}{k}_1+k_2-p^2{m}_1& -k_2\\ -k_2& (k_2-p^2{m}_2)\end{array}\right|=0.$$

Разложение определителя имеет вид

или
$$(k_1+k_2-p^2{m}_1)(k_2-p^2{m}_2)-k_2^2=0$$
$$m_1{m}_2{p}^4-[m_1{k}_2+m_2(k_1+k_2)]p^2+k_1{k}_2=0.$$

Это выражение, квадратичное относительно $p^2$, представляет собой частотное (или характеристическое) уравнение системы. Оно имеет два корня (называемых характеристическими значениями), которые можно записать как решения квадратного уравнения
$$p_{1,2}^2=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$

где
$$\begin{array}{c}a=m_1{m}_2;b=-[m_1{k}_2+m_2(k_1+k_2)];\\ c=k_1{k}_2.\end{array}$$

Поскольку выражение, стоящее под знаком корня, всегда положительно, то оба корня $p_1^2$ и $p_2^2$ являются цействительными. Очевидно также, что значение квадратного корня меньше, чем $-b$, и, следовательно, оба корня положительны. Кроме того, решения (м) записаны так, что имеет место $p_1<p_2$. Таким образом, характеристическое уравнение дает два значения собственных колебаний, которые зависят только от физических постоянных, определяющих эту систему.

Подставив характеристические значения $p_1^2$ и $p_2^2$ в однородные алгебраические уравнения (ж) и (3), обнаружим, что нельзя получить действительных значений для $A$ и $B$. Однако эти уравнения можно использовать для получения отношений $r_1=A_1/B_1$ и $r_2=$ $=A_2/B_2$, соответствующих $p_1^2$ и $p_2^2$ :
$$\begin{array}{l}{r}_1=\frac{A_1}{B_1}=\frac{k_2}{k_1+k_2-p_1^2{m}_1}=\frac{k_2-p_1^2{m}_2}{k_2};\\ r_2=\frac{A_2}{B_2}=\frac{k_2}{k_1+k_2-p_2^2{m}_1}=\frac{k_2-p_5^2{m}_2}{k_2}.\end{array}$$

Эти отношения амплитуд характеризуют формы двух собственных частот колебаний (они также называются главными формами колебаний) системы. Они двойственным образом определяются из уравнения (к), и их величина зависит только от физических постоянных $m_1$, $m_2,k_1$ и $k_2$.

Обозначив меньшую частоту через $p_1$, а соответствующее ей отношение амплитуд через $r_1$, представления (д) и (е) запишем в виде
$$\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=r_1{B}_1\sin (p_{1}t+{\phi }_1);\\ x_2^{\prime \prime }=B_1\sin (p_{1}t+{\phi }_1).\end{array}$$

Эти выражения полностью определяют первую форму колебания, которая иногда называется основной формой колебания. Она представляет гармоническое движение обеих масс с круговой частотой $p_1$ и фазовым углом ${\phi }_1$. При этом движении в любой момент времени отношение перемещений $x_1^{\prime }/x_2^{\prime }$ равно отношению амплитуд $r_1$. В каждом цикле колебаний обе массы дважды проходят через положения равновесия и одновременно достигают своих крайних положений. Здесь

не накладывается никаких ограничений на фазовые углы, но в соответствии с выбранными представлениями (д) и (е) они должны быть одинаковыми для обеих масс.

Подстановка большей круговой частоты $p_2$ и соответствующего отношения амплитуд $r_2$ в представления (д) и (е) дает выражения
$$\begin{array}{c}{x}_1^{\prime \prime }=r_2{B}_2\sin (p_{2}t+{\phi }_2);\\ x_2^{\prime \prime }=B_2\sin (p_{2}t+{\phi }_2),\end{array}$$

описывающие вторую форму колебания. Это простое гармоническое движение обеих масс происходит с круговой частотой $p_2$ и общим для них фазовым углом ${\phi }_2$. В этом случае отношение перемещений всегда $x_1^{\prime \prime }/x_2^{\prime \prime }=r_2$.

Общее решение уравнений (в) и (г) представляет собой сумму решений (р), (c), (т) и (у) для главных форм колебаний:
$$\begin{array}{c}{x}_1=x_1^{\prime }+x_1^{\prime \prime }=r_1{B}_1\sin (p_{1}t+{\phi }_1)+r_2{B}_2\sin (p_{2}t+{\phi }_2);\\ x_2=x_2^{\prime }+x_2^{\prime \prime }=B_1\sin (p_{1}t+{\phi }_1)+B_2\sin (p_{2}t+{\phi }_2).\end{array}$$

Эти выражения содержат четыре произвольных постоянных интегрирования ( $B_1,B_2,{\phi }_1$ и ${\phi }_2$ ), которые можно найти, рассмотрев четыре начальных условия для перемещений и скоростей обеих масс в момент времени $t=0$. Выражения (ф) и (х) описывают довольно сложные по характеру движения, которые не являются периодическими до тех пор, пока собственные частоты $p_1$ и $p_2$ не станут соизмеримыми. Система совершает чисто гармоническое движение только в том случае, если с достаточной точностью удается начать его по одной из ее главных форм колебаний.

Для произвольной системы с двумя степенями свободы всегда можно определить ее частоты и формы колебаний так, как было показано выше для системы, изображенной на рис. 3.1, a. Поскольку уравнения движения любых систем со многими степенями свободы имеют одинаковую форму с точки зрения математики, получением дальнейших решений пока заниматься не будем. Это будет сделано систематическим образом матричными методами ниже в этой главе, а также в гл. 4.

В качестве второго примера системы с двумя степенями свободы рассмотрим закрепленную на пружинах массу (рис. $3.2,a$ ). Все три пружины, показанные на рисунке, лежат в одной плоскости и имеют коэффициенты жесткости $k_1,k_2$ и $k_3$. Предполагается, что масса закреплена таким образом, что может перемещаться только в плоскости пружин (т. е. в плоскости $xy$ ), и тогда ее движение можно описать с помощью проекций на оси $x$ и $y$ перемещения относительно положения равновесия. На рис. 3.2 , а показаны также возмущающие силы $Q_x$ и $Q_y$, направленные по осям соответственно $x$ и $y$. Если рассматривать только малые перемещения, то можно считать, что восстанавливающие силы $R_1,R_2$ и $R_3$ (рис. 3.2 , б), с которыми пружины действуют на массу, имеют те же направления, что и пружины
Рис. 3.2
в положении равновесия. С учетом этого допущения уравнения дви жения массы можно записать в следующем виде:
$$\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1=\sum _{i=1}^3{R}_i\cos {\alpha }_i+Q_x,\\ m{\ddot{y}}_1=\sum _{i=1}^3{R}_i\sin {\alpha }_i+Q_{\underset{―}{y}},\end{array}$$

где
$$R_i=-k_i(x_1\cos {\alpha }_i+y_1\sin {\alpha }_i).$$

Подставив выражение (ш) в уравнения (ц) и (ч), после приведения подобных членов получим
$$\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1+\sum _{i=1}^3{k}_i(x_i{\cos }^2{\alpha }_i+y_1{\sin }^2{\alpha }_i\cos {\alpha }_i)=Q_x;\\ m{\ddot{y}}_1+\sum _{i=1}^3{k}_i(x_1\cos {\alpha }_i\cos {\alpha }_i+y_1{\sin }^2{\alpha }_i)=Q_y.\end{array}$$

На рис. 3.3 показан третий пример системы с двумя степенями свободы в форме двух дисков, установленных на валу, который
Рис. 3.3

закреплен в точках $A$ и $B$, а в точках $C$ и $D$ имеет опоры, препятствующие боковому перемещению в этих точках. Три участка вала имеют коэффициенты жесткости при кручении, равные $k_{\mathrm{K}1}$, $k_{\mathrm{K}2}$ и $k_{\mathrm{I}3}$. На рисунке также показаны степени свободы при углах поворота ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ дисков, моменты инерции из масс $I_1$ и $I_2$, приложенные к ним крутящие моменты $T_1$ и $T_2$. В этом случае уравнения угловых движений имеют вид
$$\begin{array}{l}{I}_1{\ddot{\phi }}_1=-k_{\mathrm{k}1}{\phi }_1+k_{\mathrm{k}2}({\phi }_2-{\phi }_1)+T_1;\\ I_2{\ddot{\phi }}_2=-k_{\mathrm{k}2}({\phi }_2-{\phi }_1)-k_{\mathrm{r}3}{\phi }_2+T_2.\end{array}$$

Рис. 3.4
(э)

Эти уравнения можно переписать в иной форме:
$$\begin{array}{l}{I}_1{\ddot{\phi }}_1+(k_{\mathrm{K}1}+k_{\mathrm{K}2}){\phi }_1-k_{\mathrm{K}2}{\mathrm{{\rm Y}}}_2=T_1;\\ I_2{\ddot{\phi }}_2-k_{\mathrm{K}2}{\phi }_1+(k_{\mathrm{K}2}+k_{\mathrm{K}3}){\phi }_2=T_2.\end{array}$$

В качестве последнего примера рассмотрим пару простых маятников, соединенных пружиной (рис. 3.4). Они имеют одинаковые длину $l$ и массу $m$, а шарниры $A$ и $B$ позволяют им свободно колебаться только в плоскости рисунка. Конфигурация системы при движении определяется углами ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$; при этом возбуждающие колебания силы $P_1$ и $P_2$ действуют в горизонтальном направлении. В предположении малых перемещений системы запишем уравнение движения
$$\begin{array}{c}m{l}^2{\ddot{\theta }}_1=-mgl{\theta }_1+k{h}^2({\theta }_2-{\theta }_1)+P_{1}l;\\ m{l}^2{\ddot{\theta }}_2=-mgl{\theta }_2-k{h}^2({\theta }_2-{\theta }_1)+P_{2}l.\end{array}$$

Эту систему можно переписать в следующем виде:
$$\begin{array}{l}m{l}^2{\ddot{\theta }}_1+(k{h}^2+mgl){\theta }_1-k{h}^2{\theta }_2=P_{1}l;\\ m{l}^2{\ddot{\theta }}_2-k{h}^2{\theta }_1+(k{h}^2+mgl){\theta }_2=P_{2}l.\end{array}$$

Видно, что в каждом из приведенных примеров уравнения движения имеют одинаковую форму. Это свойство уравнений будет использовано в следующем параграфе.