В гл. 1 и 2 рассматривались только системы, имеющие одну степень свободы. В данной и следующей главах будут обсуждены системы, имеющие несколько степеней свободы, простейшими из которых являются системы с двумя степенями свободы. Конфигурация такой системы полностью определяется двумя координатами (или перемещениями), а для того чтобы описать ее движение, требуется два дифференциальных уравнения.

На рис. 3.1, а показаны две массы $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные со стенкой и друг с другом пружинами, имеющими коэффициенты жесткости соответственно $k_{1}$ и $k_{2}$. Предполагается, что массы могут двигаться только в направлении оси $x$ и что в системе отсутствует как трение, как и другие виды сопротивления. В качестве координат, определяющих движение системы, возьмем перемещения $x_{1}$ и $x_{2}$ масс от их положений статического равновесия, при которых отсутствуют деформации в пружинах. На рис. $3.1, a$ присутствуют также и возмущающие силы, описываемые функциями $Q_{1}=F_{1}(t)$ и $Q_{2}=$ $=F_{2}(t)$ и приложенные соответственно к массам $m_{1}$ и $m_{2}$. Силы, действующие на массы со стороны пружин при перемещениях во время движения, показаны на рис. 3.1, б. Используя второй закон Ньютона, получим уравнения движения для масс $m_{1}$ и $m_{2}$ в виде
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)+Q_{1} ; \\
m_{2} \ddot{x}_{2}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)+Q_{2} .
\end{array}
\]

При $x_{1}>x_{2}$ эти уравнения не изменяются, потому что в этом случае сжимающая сила $k_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)$, с которой пружина действует на каждую массу, будет иметь знак минус в уравнении (а) и знак плюсв уравнении (б). Подставив входящие в эти уравнения члены, запишем
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}+\left(k_{1}+k_{2}\right) x_{1}-k_{2} x_{2}=Q_{1} ; \\
m_{2} \ddot{x}_{2}-k_{2} x_{1}+k_{2} x_{2}=Q_{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, получена система двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для исследования свободных колебаний этой системы положим $Q_{1}$ и $Q_{2}$ равными нулю, тогда получим однородные уравнения
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}+\left(k_{1}+k_{2}\right) x_{1}-k_{2} x_{2}=0 ; \\
m_{2} \ddot{x}_{2}-k_{2} x_{1}+k_{2} x_{2}=0 .
\end{array}
\]
Рис. 3.1

Как и выше для системы с одной степенью свободы, будем искать решения в следующей форме:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A \sin (p t+\varphi) ; \\
x_{2}=B \sin (p t+\varphi) .
\end{array}
\]

Эти выражения показывают, что собственные формы колебаний обеих масс описываются одной и той же гармонической функцией с круговой частотой $p$ и фазовым углом $\varphi$. Буквами $A$ и $B$ обозначены максимальные значения перемещений, или амплитуды, при колебательных движениях. Подставляя представления (д) и (е) в уравнения (в) и (г), получим следующую систему алгебраических уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\left(k_{1}+k_{2}-p^{2} m_{1}\right) A-k_{2} B=0 ; \\
-k_{2} A+\left(k_{2}-p^{2} m_{2}\right) B=0 .
\end{array}
\]

Одно из возможных решений этих уравнений имеет вид $A=B=0$, что соответствует нахождению системы в положении равновесия и не дает информации о колебаниях. Эти уравнения могут иметь ненулевые решения только в том случае, когда определитель матрицы, составленной из коэффициентов при $A$ и $B$, равен нулю:
\[
\left|\begin{array}{cc}
k_{1}+k_{2}-p^{2} m_{1} & -k_{2} \\
-k_{2} & \left(k_{2}-p^{2} m_{2}\right)
\end{array}\right|=0 .
\]

Разложение определителя имеет вид

или
\[
\left(k_{1}+k_{2}-p^{2} m_{1}\right)\left(k_{2}-p^{2} m_{2}\right)-k_{2}^{2}=0
\]
\[
m_{1} m_{2} p^{4}-\left[m_{1} k_{2}+m_{2}\left(k_{1}+k_{2}\right)\right] p^{2}+k_{1} k_{2}=0 .
\]

Это выражение, квадратичное относительно $p^{2}$, представляет собой частотное (или характеристическое) уравнение системы. Оно имеет два корня (называемых характеристическими значениями), которые можно записать как решения квадратного уравнения
\[
p_{1,2}^{2}=\frac{-b \mp \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
a=m_{1} m_{2} ; b=-\left[m_{1} k_{2}+m_{2}\left(k_{1}+k_{2}\right)\right] ; \\
c=k_{1} k_{2} .
\end{array}
\]

Поскольку выражение, стоящее под знаком корня, всегда положительно, то оба корня $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$ являются цействительными. Очевидно также, что значение квадратного корня меньше, чем $-b$, и, следовательно, оба корня положительны. Кроме того, решения (м) записаны так, что имеет место $p_{1}<p_{2}$. Таким образом, характеристическое уравнение дает два значения собственных колебаний, которые зависят только от физических постоянных, определяющих эту систему.

Подставив характеристические значения $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$ в однородные алгебраические уравнения (ж) и (3), обнаружим, что нельзя получить действительных значений для $A$ и $B$. Однако эти уравнения можно использовать для получения отношений $r_{1}=A_{1} / B_{1}$ и $r_{2}=$ $=A_{2} / B_{2}$, соответствующих $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=\frac{A_{1}}{B_{1}}=\frac{k_{2}}{k_{1}+k_{2}-p_{1}^{2} m_{1}}=\frac{k_{2}-p_{1}^{2} m_{2}}{k_{2}} ; \\
r_{2}=\frac{A_{2}}{B_{2}}=\frac{k_{2}}{k_{1}+k_{2}-p_{2}^{2} m_{1}}=\frac{k_{2}-p_{5}^{2} m_{2}}{k_{2}} .
\end{array}
\]

Эти отношения амплитуд характеризуют формы двух собственных частот колебаний (они также называются главными формами колебаний) системы. Они двойственным образом определяются из уравнения (к), и их величина зависит только от физических постоянных $m_{1}$, $m_{2}, k_{1}$ и $k_{2}$.

Обозначив меньшую частоту через $p_{1}$, а соответствующее ей отношение амплитуд через $r_{1}$, представления (д) и (е) запишем в виде
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=r_{1} B_{1} \sin \left(p_{1} t+\varphi_{1}\right) ; \\
x_{2}^{\prime \prime}=B_{1} \sin \left(p_{1} t+\varphi_{1}\right) .
\end{array}
\]

Эти выражения полностью определяют первую форму колебания, которая иногда называется основной формой колебания. Она представляет гармоническое движение обеих масс с круговой частотой $p_{1}$ и фазовым углом $\varphi_{1}$. При этом движении в любой момент времени отношение перемещений $x_{1}^{\prime} / x_{2}^{\prime}$ равно отношению амплитуд $r_{1}$. В каждом цикле колебаний обе массы дважды проходят через положения равновесия и одновременно достигают своих крайних положений. Здесь

не накладывается никаких ограничений на фазовые углы, но в соответствии с выбранными представлениями (д) и (е) они должны быть одинаковыми для обеих масс.

Подстановка большей круговой частоты $p_{2}$ и соответствующего отношения амплитуд $r_{2}$ в представления (д) и (е) дает выражения
\[
\begin{array}{c}
x_{1}^{\prime \prime}=r_{2} B_{2} \sin \left(p_{2} t+\varphi_{2}\right) ; \\
x_{2}^{\prime \prime}=B_{2} \sin \left(p_{2} t+\varphi_{2}\right),
\end{array}
\]

описывающие вторую форму колебания. Это простое гармоническое движение обеих масс происходит с круговой частотой $p_{2}$ и общим для них фазовым углом $\varphi_{2}$. В этом случае отношение перемещений всегда $x_{1}^{\prime \prime} / x_{2}^{\prime \prime}=r_{2}$.

Общее решение уравнений (в) и (г) представляет собой сумму решений (р), (c), (т) и (у) для главных форм колебаний:
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=x_{1}^{\prime}+x_{1}^{\prime \prime}=r_{1} B_{1} \sin \left(p_{1} t+\varphi_{1}\right)+r_{2} B_{2} \sin \left(p_{2} t+\varphi_{2}\right) ; \\
x_{2}=x_{2}^{\prime}+x_{2}^{\prime \prime}=B_{1} \sin \left(p_{1} t+\varphi_{1}\right)+B_{2} \sin \left(p_{2} t+\varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Эти выражения содержат четыре произвольных постоянных интегрирования ( $B_{1}, B_{2}, \varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ ), которые можно найти, рассмотрев четыре начальных условия для перемещений и скоростей обеих масс в момент времени $t=0$. Выражения (ф) и (х) описывают довольно сложные по характеру движения, которые не являются периодическими до тех пор, пока собственные частоты $p_{1}$ и $p_{2}$ не станут соизмеримыми. Система совершает чисто гармоническое движение только в том случае, если с достаточной точностью удается начать его по одной из ее главных форм колебаний.

Для произвольной системы с двумя степенями свободы всегда можно определить ее частоты и формы колебаний так, как было показано выше для системы, изображенной на рис. 3.1, a. Поскольку уравнения движения любых систем со многими степенями свободы имеют одинаковую форму с точки зрения математики, получением дальнейших решений пока заниматься не будем. Это будет сделано систематическим образом матричными методами ниже в этой главе, а также в гл. 4.

В качестве второго примера системы с двумя степенями свободы рассмотрим закрепленную на пружинах массу (рис. $3.2, a$ ). Все три пружины, показанные на рисунке, лежат в одной плоскости и имеют коэффициенты жесткости $k_{1}, k_{2}$ и $k_{3}$. Предполагается, что масса закреплена таким образом, что может перемещаться только в плоскости пружин (т. е. в плоскости $x y$ ), и тогда ее движение можно описать с помощью проекций на оси $x$ и $y$ перемещения относительно положения равновесия. На рис. 3.2 , а показаны также возмущающие силы $Q_{x}$ и $Q_{y}$, направленные по осям соответственно $x$ и $y$. Если рассматривать только малые перемещения, то можно считать, что восстанавливающие силы $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}$ (рис. 3.2 , б), с которыми пружины действуют на массу, имеют те же направления, что и пружины
Рис. 3.2
в положении равновесия. С учетом этого допущения уравнения дви жения массы можно записать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}_{1}=\sum_{i=1}^{3} R_{i} \cos \alpha_{i}+Q_{x}, \\
m \ddot{y}_{1}=\sum_{i=1}^{3} R_{i} \sin \alpha_{i}+Q_{\underline{y}},
\end{array}
\]

где
\[
R_{i}=-k_{i}\left(x_{1} \cos \alpha_{i}+y_{1} \sin \alpha_{i}\right) .
\]

Подставив выражение (ш) в уравнения (ц) и (ч), после приведения подобных членов получим
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}_{1}+\sum_{i=1}^{3} k_{i}\left(x_{i} \cos ^{2} \alpha_{i}+y_{1} \sin ^{2} \alpha_{i} \cos \alpha_{i}\right)=Q_{x} ; \\
m \ddot{y}_{1}+\sum_{i=1}^{3} k_{i}\left(x_{1} \cos \alpha_{i} \cos \alpha_{i}+y_{1} \sin ^{2} \alpha_{i}\right)=Q_{y} .
\end{array}
\]

На рис. 3.3 показан третий пример системы с двумя степенями свободы в форме двух дисков, установленных на валу, который
Рис. 3.3

закреплен в точках $A$ и $B$, а в точках $C$ и $D$ имеет опоры, препятствующие боковому перемещению в этих точках. Три участка вала имеют коэффициенты жесткости при кручении, равные $k_{\mathrm{K} 1}$, $k_{\mathrm{K} 2}$ и $k_{\mathrm{I} 3}$. На рисунке также показаны степени свободы при углах поворота $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ дисков, моменты инерции из масс $I_{1}$ и $I_{2}$, приложенные к ним крутящие моменты $T_{1}$ и $T_{2}$. В этом случае уравнения угловых движений имеют вид
\[
\begin{array}{l}
I_{1} \ddot{\varphi}_{1}=-k_{\mathrm{k} 1} \varphi_{1}+k_{\mathrm{k} 2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)+T_{1} ; \\
I_{2} \ddot{\varphi}_{2}=-k_{\mathrm{k} 2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)-k_{\mathrm{r} 3} \varphi_{2}+T_{2} .
\end{array}
\]

Рис. 3.4
(э)

Эти уравнения можно переписать в иной форме:
\[
\begin{array}{l}
I_{1} \ddot{\varphi}_{1}+\left(k_{\mathrm{K} 1}+k_{\mathrm{K} 2}\right) \varphi_{1}-k_{\mathrm{K} 2} \Upsilon_{2}=T_{1} ; \\
I_{2} \ddot{\varphi}_{2}-k_{\mathrm{K} 2} \varphi_{1}+\left(k_{\mathrm{K} 2}+k_{\mathrm{K} 3}\right) \varphi_{2}=T_{2} .
\end{array}
\]

В качестве последнего примера рассмотрим пару простых маятников, соединенных пружиной (рис. 3.4). Они имеют одинаковые длину $l$ и массу $m$, а шарниры $A$ и $B$ позволяют им свободно колебаться только в плоскости рисунка. Конфигурация системы при движении определяется углами $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$; при этом возбуждающие колебания силы $P_{1}$ и $P_{2}$ действуют в горизонтальном направлении. В предположении малых перемещений системы запишем уравнение движения
\[
\begin{array}{c}
m l^{2} \ddot{\theta}_{1}=-m g l \theta_{1}+k h^{2}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)+P_{1} l ; \\
m l^{2} \ddot{\theta}_{2}=-m g l \theta_{2}-k h^{2}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)+P_{2} l .
\end{array}
\]

Эту систему можно переписать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
m l^{2} \ddot{\theta}_{1}+\left(k h^{2}+m g l\right) \theta_{1}-k h^{2} \theta_{2}=P_{1} l ; \\
m l^{2} \ddot{\theta}_{2}-k h^{2} \theta_{1}+\left(k h^{2}+m g l\right) \theta_{2}=P_{2} l .
\end{array}
\]

Видно, что в каждом из приведенных примеров уравнения движения имеют одинаковую форму. Это свойство уравнений будет использовано в следующем параграфе.