Для того чтобы выявить определенные внутренние связи между главными формами колебаний, рассмотрим $i$-ю и $j$-ю формы в задаче на собственные значения для уравнений движения в усилиях [см. уравнение (4.17)]
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S X}_{M i}=p_{i}^{2} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M i} \\
\mathbf{S X}_{M j}=p_{j}^{2} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M j}
\end{array}
\]

Умножением слева первого из этих уравнений на матрицу $\mathbf{x}_{\text {м } j}^{\text {т }}$ и умножением справа на $\mathbf{X}_{\text {мі }}$ транспонированного второго уравнения получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} S \mathbf{X}_{M j}=p_{i}^{2} \mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M i} ; \\
\mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M j}=p_{i}^{2} \mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M i} .
\end{array}
\]

Поскольку левые части уравнений (в) и (г) равны, то вычитанием второго уравнения из первого придем к соотношению
\[
\left(p_{i}^{2}-p_{j}^{2}\right) \mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{M X}_{M i}=0 .
\]

С другой стороны, если обе части уравнения (в) разделить на $p_{i}^{2}$ и обе части уравнения (г) на $p_{j}^{2}$, то получим, что правые части этих уравнений равны. Вычитая одно уравнение из другого, найдем
\[
\left(\frac{1}{p_{i}^{2}}-\frac{1}{p_{j}^{2}}\right) \mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} S \mathbf{M}_{M i}=\mathbf{0} .
\]

Для того чтобы удовлетворялись соотношения (д) и (е) при $i
eq j$ и различных собственных значениях ( $p_{i}^{2}
eq p_{j}^{2}$ ), должны выполняться следующие условия:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M i} & =\mathbf{X}_{M i}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M j}=\mathbf{0} ; \\
\mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M i} & =\mathbf{X}_{M i}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M j}=\mathbf{0} .
\end{aligned}
\]

Эти равенства выражают условия ортогональности главных форм колебаний. Из соотношения (4.23) видно, что собственные векторы

ортогональны с матрицей $\boldsymbol{M}$, а соотношение (4.24) показывает, что они ортогональны с матрицей $\mathbf{S}$.
В случае, когда $i=j$, из соотношений (д) и (е) следует
\[
\begin{aligned}
\mathbf{X}_{M i}^{\mathrm{T}} \mathbf{M X}_{M i} & =M_{\Gamma i} ; \\
\mathbf{X}_{M i}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M i} & =S_{\Gamma i},
\end{aligned}
\]

где $M_{\Gamma i}$ и $S_{\Gamma i}$ — постоянные, зависящие от того, как нормирован собственный вектор $\mathbf{X}_{\text {мi }}$. Для удобства представления, расположим все собственные векторы в виде столбцов матрицы $n \times n$ форм колебаний вида
\[
\mathbf{X}_{M}=\left[\begin{array}{llll}
\mathbf{X}_{M 1} \mathbf{X}_{M 2} & \mathbf{X}_{M 3} & \ldots & \mathbf{X}_{M n}
\end{array}\right]
\]

Затем уравнения (4.23) и (4.25) можно объединить общим выражением вида
\[
\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} S \mathbf{X}_{\mathrm{M}}=\mathbf{M}_{\mathrm{r}},
\]

где $M_{\Gamma}$ — диагональная матрица, которую будем рассматривать как главную матрицу масс. Аналогично уравнения (4.24) и (4.26) можно объединить и представить в виде
\[
\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M}=\mathbf{S}_{\Gamma},
\]

где $S_{\Gamma}$ — диагональная, отличная от $\boldsymbol{M}_{\Gamma}$ матрица, которую будем называть главной матрицей податливостей. Преобразования (4.28) и (4.29) описывают процесс диагонализации матриц $\mathbf{M}$ и $\mathbf{S}$. Если окажется, что одна из них имеет диагональное строение, то преобразование (4.28) или (4.29) приводит к простому умножению всех диагональных элементов на одно и то же число.

Для того чтобы продемонстрировать преимущества процесса диагонализации, рассмотрим уравнения движения в усилиях для свободных колебаний без демпфирования системы со многими степенями свободы:
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S X}=\mathbf{0} .
\]

Умножая уравнение (4.30) слева на $\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}}$ и подставляя единичную матрицу $\mathbf{I}=\mathbf{X}_{M} \mathbf{X}_{M}^{-1}$ перед $\ddot{\mathbf{X}}$ и $\mathbf{X}$, получим
\[
\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M} \mathbf{X}_{M}^{-1} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M} \mathbf{X}_{M}^{-1} \mathbf{X}=0,
\]

что можно переписать в виде
\[
\mathbf{M}_{\Gamma} \ddot{\mathbf{x}}_{\Gamma}+\mathrm{s}_{\Gamma} \mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{0} .
\]

В этом уравнении векторы перемещения и ускорения
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{M}^{-1} \mathbf{X} ; \\
\ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{M}^{-1} \ddot{\mathbf{X}} .
\end{array}
\]

Благодаря выражениям (4.28) и (4.29) обе матрицы обобщенных масс и обобщенных жесткостей, стоящие в уравнении (4.31), являются диагоналными, Обобщенные перемещения $\mathbf{X}_{\Gamma}$, определяемые вы-

ражением (4.32), называются главными координатами, для которых уравнение движения (4.31) не имеет ни инерционного, ни упругого взаимодействия. Из выражения (4.32) находим, что исходные координаты связаны с главными координатами преобразованием
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{M} \mathbf{X}_{\Gamma} .
\]

Кроме того, из выражения (4.33) получаем
\[
\ddot{\mathbf{X}}=\mathbf{X}_{M} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma} \text {. }
\]

Учитывая данное выше определение (4.27) матрицы форм колебаний, видим, что обобщенные перемещения $\mathbf{X}_{\Gamma}$ в выражении (4.34) фигурируют как масштабные коэффициенты перед столбцами форм колебаний в матрице $\mathbf{X}_{M}$, которые вводятся для получения значений действительных перемещений $\mathbf{X}$. Таким образом, главные координаты системы со многими степенями свободы являются собственными формами колебаний.

Задачу на собственные значения (а) можно переформулировать в более ясной форме, заменив $\mathbf{X}_{\text {Mi }}$ на $\mathbf{X}_{M}$ [см. выражение (4.27)]:
\[
S \mathbf{X}_{M}=\mathbf{M} \mathbf{X}_{M} \mathbf{p}^{2} .
\]

В уравнении (ж) $\mathbf{p}^{2}$ — диагональная матрица со следующими значениями $p_{i}^{2}$ на диагонали:
\[
\mathbf{p}^{2}=\left[\begin{array}{ccccc}
p_{1}^{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & p_{2}^{2} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & p_{3}^{2} & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & p_{n}^{2}
\end{array}\right] .
\]

Эта матрица, иногда называемая спектральной, будет рассматриваться как матрица собственных значений или матрица характеристических значений. Матрица $\mathbf{X}_{M}$ в уравнении (ж) умножается справа на матрицу $\mathbf{X}_{\text {мi }}$, поэтому произвольный столбец, определяющий соответствующую форму колебаний, масштабируется соответствующим собственным значением $p_{i}^{2}$. Умножая уравнение (ж) слева на матрицу $\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}}$ и используя выражения (4.28) и (4.29), получим
\[
\mathbf{S}_{\Gamma}=\mathbf{M}_{\Gamma} \mathbf{p}^{2},
\]

откуда найдем
\[
S_{\Gamma i}=M_{\Gamma i} p_{i}^{2} .
\]

Таким образом, в главных координатах $i$-я главная жесткость равна $i$-й главной массе, умноженной на $i$-е собственное значение.

Поскольку векторы, компоненты которых определяют форму колебаний, можно умножать на произвольное постоянное число, то главные координаты не определяются единственным образом. В действительности имеется бесконечное число систем таких обобщенных перемещений, но наиболее часто выбирается такая, при которой

матрица масс преобразуется в единичную матрицу. Формулируя это условие, покажем, что постоянная $M_{\Gamma i}$ в соотношении (4.25) должна равняться единице, а именно:
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{\mathrm{H} i}=\mathbf{M}_{\Gamma i}=1,
\]

где
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}=\mathbf{X}_{M^{i} i} / C_{i} .
\]

При этом условии масштабированный собственный вектор $\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}$ называется нормированным по отношению к матрице масс. Скалярную величину $C_{i}$ из выражения (к) ‘определяем по формуле
\[
C_{i}= \pm \sqrt{\mathbf{X}_{M i}^{\mathrm{T}} \mathbf{M X}_{M i}}= \pm \sqrt{\sum_{j=1}^{n} X_{M j i}\left(\sum_{k=1}^{n} M_{j k} X_{M k i}\right)} .
\]

Если матрица масс диагональная, эта формула упрощается до
\[
C_{i}= \pm \sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(M_{j} X_{M j i}^{2}\right)} .
\]

Когда все векторы, составляющие матрицу форм колебаний, будут указанным образом пронормированы, индекс $M$ изменим на $\mathrm{H}$ и введем обозначение $\mathbf{X}_{H}$ вместо $\mathbf{X}_{M}$. Тогда главная матрица масс, определяемая выражением (4.28), примет вид
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{M X}_{\mathbf{H}}=\boldsymbol{M}_{\mathbf{r}}=\mathbf{I} .
\]

С учетом выражений (4.29) и (4.37) для главной матрицы жесткостей можно записать
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{\mathrm{H}}=\mathrm{S}_{\Gamma}=\mathbf{p}^{2} .
\]

Для $i$-й формы колебаний это выражение принимает следующую форму:
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{\mathrm{H} i}=S_{\Gamma i}=p_{i}^{2} .
\]

Таким образом, когда собственные векторы нормируются по отношению к матрице $\mathbf{M}$, жесткости в главных координатах равны собственным значениям. Эта частная система главных координат называется нормальными координатами.

Для иллюстрации использования нормальных координат в уравнениях, записанных через усилия, рассмотрим три массы, закрепленные на растянутом тросе (см. рис. 4.2,a). Собственные векторы этой системы, полученные в примере 2 предыдущего параграфа, являются столбцами матрицы форм колебаний
\[
\mathbf{X}_{M}=\left[\begin{array}{crc}
1 & 1 & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -V \overline{2} \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right] .
\]

Для того чтобы пронормировать эту матрицу по отношению к матрице $m \mathbf{I}$, из выражений (4.39) найдем
\[
\begin{array}{c}
C_{1}=\sqrt{m(1)^{2}+m(V \overline{2})^{2}+m(1)^{2}}=2 \sqrt{m} ; \\
C_{2}=\sqrt{m(1)^{2}+m(0)^{2}+m(-1)^{2}}=\sqrt{2 m} ; \\
C_{3}=\sqrt{m(1)^{2}+m(-V \overline{2})^{2}+m(1)^{2}}=2 \sqrt{m} .
\end{array}
\]

Разделив столбцы матрицы $\mathbf{X}_{M}$ на эти значения, получим
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}=\frac{1}{2 \sqrt{m}}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -V \overline{2} \\
1 & -V \overline{2} & 1
\end{array}\right] .
\]

Матрица жесткости для этой системы имеет вид
\[
\mathbf{S}=\frac{T}{l}\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right] .
\]

Подставляя выражения (н) и (о) в (4.41), получаем матрицу
\[
\mathrm{S}_{\Gamma}=\frac{T}{m l}\left[\begin{array}{ccc}
2-\sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2+\sqrt{2}
\end{array}\right],
\]

у которой на диагонали располагаются значения $p_{1}^{2}, p_{2}^{2}$ и $p_{3}^{2}$ (см. ответы к задаче А.4.2.1). Разумеется, собственные значения, фигурирующие в выражении (г), были уже получены выше, поэтому преимущества преобразования матрицы жесткости к нормальным координатам здесь не очевидны. Эти преимущества станут видны при определении поведения систем, описанных в последующих параграфах.

Вместо того чтобы пользоваться уравнениями движения в форме (4.30), умножим их слева на матрицу $\boldsymbol{M}^{-1}$ и тем самым приведем их к виду уравнений, записанных через ускорения:
\[
\ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{M}^{-1} \mathbf{S X}=0 .
\]

Это уравнение можно преобразовать к главным координатам, подставив выражения (4.34) для $\mathbf{X}$ и (4.35) для $\ddot{\mathbf{X}}$. Тогда, умножив слева на матрицу $\mathbf{X}_{M}^{-1}$, получим
\[
\ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{X}_{M}^{-1} \boldsymbol{M}^{-1} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M} \mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{0} .
\]

Если в матрице коэффициентов уравнения (p) поместить перед $\mathbf{S}$ единичную матрицу $\mathbf{I}=\left(\mathbf{X}_{M}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}}$, то придем к соотношению
\[
\mathbf{X}_{M}^{-1} \boldsymbol{M}^{-1}\left(\mathbf{X}_{M}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M}=\boldsymbol{M}_{\Gamma}^{-1} \mathbf{S}_{\Gamma}=\mathbf{p}^{2} .
\]

Отсюда следует записанное в главных координатах матричное уравнение для ускорений
\[
\ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{p}^{2} \mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{0},
\]

которое можно получить также, умножив слева уравнение (4.31) на матрицу $\boldsymbol{M}_{\Gamma}^{-1}$. Поскольку один и тот же результат получается с помощью различных подходов, можно обойтись без уравнения (4.42), которое требует построения матрицы $M^{-1}$. Разумеется, обращение матрицы $\mathbf{M}$ не представляет труда в том случае, когда она диагональная, однако если она заполненная, то нахождение матрицы $\mathbf{M}^{-1}$ значительно усложняется.

С другой стороны, матрица $\boldsymbol{M}_{\Gamma}$ всегда является диагональной, поэтому обращение ее выполняется просто. Это обстоятельство важно при обращении матрицы форм колебаний. Формулу такого обращения получаем умножением уравнения (4.28) справа на матрицу $\mathbf{X}_{M}^{-1}$ и умножением слева на матрицу $\mathbf{X}_{M}^{-1}$ :
\[
\mathbf{X}_{M}^{-1}=\mathbf{M}_{\Gamma}^{-1} \mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} .
\]

Если собственные векторы нормируются по отношению к матрице $\boldsymbol{M}$, все главные массы будут равны единице и в результате получим
\[
\mathbf{X}_{M}^{-1}=\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} .
\]

Формулы, аналогичные (4.44а) и (4.44б), можно получить из уравнения (4.29), записанного с использованием матриц жесткостей, в том числе и главных. Однако, если собственные векторы не нормируются по отношению к матрице $S$, предпочтительнее использовать выражения (4.44а) и (4.44б).

Если вместо уравнений движения в усилиях использовать уравнения в перемәщениях, вместо уравнения (4.30) надо взять
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}=\mathbf{0} .
\]

Взяв влражения (4.34) для $\mathbf{X}$ и (4.35) для $\ddot{\mathbf{X}}$, можно записать это уравнение в главных координатах, для чего умножим его справа на мттрицу $\mathbf{X}_{M}^{-1}$, откуда получим
\[
\mathbf{X}_{M}^{-1} \mathbf{F} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{0} .
\]

Если перед матрицей $\boldsymbol{M}$ подставить единичную матрицу $\mathbf{I}=$ $=\left(\mathbf{X}_{M}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}}$, матрица коэффициентов в уравнении (т) примет вид
\[
\mathbf{X}_{M}^{-1} \mathbf{F}\left(\mathbf{X}_{M}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{\mathrm{M}}=\mathbf{F}_{\Gamma} \boldsymbol{M}_{\Gamma} .
\]

В уравнении (у) соответствующая матрице $S_{\Gamma}$ главная матрица податливостей
\[
\mathbf{F}_{\Gamma}:=\mathbf{X}_{M}^{-1} \mathbf{F}\left(\mathbf{X}_{M}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\mathrm{S}_{\Gamma}^{-1} .
\]

Естественно, такое представление возможно только в том случае, если матрица $\mathbf{S}$ (а отсюда и $\mathrm{S}_{\Gamma}$ ) является положительно определен-

ной. Таким образом, уравнения движения в главных координатах можно записать так:
\[
\mathbf{F}_{\Gamma} \mathbf{M}_{\Gamma} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{0} .
\]

Далее, равернутую форму (ж) задачи на собственные значения заменим на следующую:
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M}=\mathbf{X}_{\mathrm{M}} \lambda .
\]

В уравнении (ф) матрица $\lambda$ собственных значений имеет диагональный вид, при котором на диагонали располагаются собственные значения $\lambda_{i}$ :
\[
\lambda=\left|\begin{array}{ccccc}
\lambda_{1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3} & \ldots & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\
0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
\end{array}\right|=\left(\mathbf{p}^{2}\right)^{-1} .
\]

Умножая уравнение (ф) слева на матрицу $\mathbf{X}_{M}^{-1}$ с учетом соотношения ( $\mathrm{y})$, найдем
\[
\mathbf{F}_{\mathrm{r}} \mathbf{M}_{\mathrm{r}}=\boldsymbol{\lambda} .
\]

Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице масс, главная матрица податливостей в соответствии с выражениями (4.46) и (4.49) принимает вид
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \mathbf{F}\left(\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\mathbf{F}_{\Gamma}=\lambda=\left(\mathrm{p}^{2}\right)^{-1} .
\]

Таким образом, матрица податливостей в нормальных координатах превращается в матрицу собственных значений $\lambda$, которая также равна $\left(p^{2}\right)^{-1}$. Отсюда заключаем, что уравнение (4.43) принимает форму уравнений движения в нормальных координатах, независимо от способа получения уравнения в исходных координатах. В качестве примера использования нормальных координат в уравнениях, записанных через перемещения, вновь рассмотрим задачу о трех массах, закрепленных на предварительно растянутой нити (см. рис. $4.2, a$ ). Для этой системы матрица податливостей имеет вид
\[
\mathbf{F}=\frac{l}{4 T}\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right] \text {. }
\]

Обращая матрицу $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}$ [см. матрицу (н)] в соответствии с выражением (4.44б) и подставляя результат вместе с матрицей (х) в соотношение (4.50), получим матрицу
\[
\mathbf{F}_{\Gamma}=\frac{\operatorname{lm}}{2 T}\left[\begin{array}{ccc}
2+\sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2-\sqrt{2}
\end{array}\right],
\]

диагональными элементами которой являются $\lambda_{1}=1 / p_{1}^{2}, \quad \lambda_{2}=$ $=1 / p_{2}^{2}$ и $\lambda_{3}=1 / p_{3}^{2}$ (см. пример 2 в п. 4.2).

Қак уже говорилось в конце предыдущего параграфа, задачу на собственные значения часто решают после преобразования ее к стандартной форме с симметричной матрицей коэффициентов. При использовании такого подхода собственные векторы обычно нормируют, чтобы их длина равнялась единице. Введя обозначение $\mathbf{V}_{i}$ для такого нормированного собственного вектора, получим
\[
\mathbf{V}_{i}^{\mathrm{T}} \mathbf{V}_{i}=1 .
\]

Собственный вектор, соответствующий стандартной форме [см. уравнение (4.12a) ], масштабируется для того, чтобы получить вектop $\mathbf{V}_{i}$ :
\[
\mathbf{v}_{i}=\frac{\mathbf{x}_{U i}}{D_{i}},
\]

где скалярная величина
\[
D_{i}= \pm \sqrt{\mathbf{X}_{U i}^{\mathrm{T}} \mathbf{X}_{U i}}= \pm \sqrt{\sum_{j=1}^{n} X_{U j i}^{2}} .
\]

При таком способе нормированная матрица $\mathbf{V}$ форм колебаний обладает следующим свойством:
\[
\mathbf{V}^{\mathbf{T}} \mathbf{V}=\mathbf{I}, \quad \mathbf{V}^{-\mathbf{1}}=\mathbf{V}^{\mathbf{T}}
\]

и обычно называется просто ортогональная матрица. Преобразуя эту матрицу форм колебаний вновь к исходным координатам [см. выражение (4.12б) в п. 4.2 ], получим
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}=\mathbf{U}^{-1} \mathbf{V} \text {. }
\]

Чтобы доказать, что в результате такой операции получаем $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}$, подставим выражение (4.53) и представлением $\boldsymbol{M}=\mathbf{U}^{\mathrm{T}} \mathbf{U}$ в уравнение (4.40), откуда следует
\[
\mathbf{V}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{U}^{\mathrm{T}} \mathbf{U} \mathbf{U}^{-1} \mathbf{V}=\mathbf{I} .
\]

Таким образом видим, что собственные векторы в исходных координатах являются нормированными по отношению к матрице $\boldsymbol{M}$.