Преломление волн на плоской границе двух сред

Пусть границей раздела двух сред является плоскость (рис. 8) и на эту границу раздела падает под углом плоская волна. В первой среде возникает плоская, отраженная под углом волна; во второй среде возникает преломленная под углом волна. Удельное акустическое сопротивление первой среды обозначим через второй Напишем отдельно волновые уравнения для каждой среды:

Рис. 8

Давления и нормальные компоненты скорости на границе раздела с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому граничные условия могут быть записаны так:

Потенциалы скоростей в I и II средах можно представить в виде:

где

Легко показать, что Действительно, скорости движения следа волны вдоль оси у в I и II средах, равные соответственно и должны быть равны. В самом деле, если вдоль границы с левой стороны движется максимум или минимум давления, то в силу непрерывности давления с правой стороны, параллельно ему, также должен двигаться максимум

или минимум давления, равный по величине и с той же скоростью. Таким образом,

откуда

Мы получили закон Снеллиуса, который соблюдается не только для звука, но и для любых волновых процессов. Подставляя в граничные условия (3, 13) выражения (3, 14), получим:

Из этой системы уравнений можно определить отношения амплитуд:

Из этих формул при одинаковых плотностях двух сред после некоторых преобразований найдем:

В случае одинаковых упругостей

Формулы (3,18) и (3,19) совпадают с формулами Френеля для коэффициента отражения света, поляризованного соответственно параллельно или перпендикулярно плоскости падения.

Подставляя в уравнение (3,17) и используя закон преломления, получим:

Коэффициент отражения и коэффициент проникновения волны давления найдем, учитывая, что

Принимая во внимание, что на основании (3,14) амплитуды потенциалов скоростей связаны с соответствующими амплитудами скорости частиц соотношениями определим коэффициент отражения и коэффициент проникновения волны скорости частиц:

Из формулы (3,17) следует, что отраженной волны не будет при условии:

Учитывая закон преломления, получим:

Если то будет положителен и может быть найден некоторый угол в пределах от до 90°, при котором отсутствует отражение звука на границе двух сред. Например, для этилового спирта и для хлороформа Для этих сред из уравнения (3,21) следует, что

Если скорость звука во второй среде гораздо меньше, чем в первой то Таким образом, вторая среда может пропускать волны только в направлении нормали к границе раздела. Таким свойством обладает, например, модель, состоящая из тонких капилляров, перпендикулярных к границе раздела (модель Рэлея). При этих условиях

Вообще говоря, в этих случаях удельное сопротивление второй среды может быть комплексным и характеризоваться некоторым нормальным импедансом (таким свойством

обладают, например, многие пористые звукопоглощающие материалы применяемые в архитектурной акустике). Если среду, на которую падает звук, можно характеризовать нормальным импедансом то коэффициент отражения