Теорема взаимности
Гельмгольц в 1860 г. доказал важную теорему, носящую название теоремы взаимности: "Если в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающимися на конечное расстояние Неподвижными телами, частично же неограниченном, в какой-либо точке А возбуждаются некоторым источником звуковые волны, то создаваемый ими в какой-либо другой точке В потенциал скоростей и по величине и по фазе совпадает с тем, который получился бы в точке 
если бы в В находился тот же источник звука".
Из теоремы взаимности следует, в частности, что точечный источник, помещенный в полюсе сферы (рис. 77), создаст на некотором расстоянии 
от центра сферы (в точке 
такое же звуковое давление, что и источник с той же объемной скоростью в точке на поверхности сферы на угловом расстоянии 
от радиуса, проведенного из точки 
к центру сферы. Это позволяет найти распределение давления на поверхности жесткой, неподвижной сферы, исходя из решения задачи о звуковом поле точечного источника, помещенного на полюсе сферы. Такая задача была решена в гл. 8. Звуковое давление в удаленной точке с координатой 
определяется выражением (8,76);
где 
производительность источника.
Из теории излучателя 0-го порядка известно 
что бесконечно удаленный источник с производительностью 
расположенный на положительной оси на расстоянии х, дает в точке 
звуковое давление 
Эту величину
нужно подставить в формулу (9,6), если предполагать, что давление 
создается удаленным источником.
Подсчитаем суммарное звуковое давление на поверхности сферы. Из равенств (9,3) и (9,6) следует:
Используя соотношения (8,26), получим:
Преобразуем выражение в квадратных скобках, входящее .в сумму (9,14):
Используя формулы 
для производных 
получим:
Так как согласно (8,21)
то
После всех этих преобразований приведем выражение в скобках формулы (9,14) к виду:
Тогда
Откуда, подставляя 
найдем:
Учитывая, что направление отсчета фазы в формуле (9,13) обратно направлению ее отсчета в формуле (9,15), заключаем, что обе формулы дают величины давления, совпадающие как по амплитуде, так и по фазе, что соответствует требованию теоремы взаимности. Распределение интенсивности звука по поверхности сферы в функции от угла 
дано на рис. 79 при различных значениях параметра 
По оси ординат отложены величины 
в логарифмическом масштабе. Эти величины вычисляются по формуле для интенсивности звука точечного источника, расположенного на полюсе 
сферы (8,75). На рисунке отложены значения функции 
Рис. 79
