Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН В ТРУБЕКолебания внутри прямоугольного параллелепипедаРассмотрим прежде всего как более простой случай распространение волн в трубе прямоугольного сечения. В целях уяснения метода решения вначале рассмотрим распространение волн внутри объема, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами
Рис. 30 Волновое уравнение для синусоидальных колебаний имеет вид (см. гл. 1):
На жестких гранях должны удовлетворяться условия равенства нулю нормальных скоростей:
Выражение для потенциала скоростей
где
Обозначим:
Функция Подставив выражение (6,2) в уравнение (6,1), получим выражение волнового числа
Ввиду такой структуры формулы для
Очевидно, что все три члена этого выражения должны быть меньше единицы, или один из них может быть равен единице, но тогда другие равны нулю. Введем обозначения:
Тогда вместо уравнения (6,4) имеем:
Из соотношения (6,5) следует, что величины Каждым трем числам
Конец каждого волнового вектора Нетрудно подсчитать (приближенно), какое число собственных частот лежит в пределе от Каждой собственной частоте соответствует вершина одного из этих параллелепипедов. Таким образом, число собственных частот в интервале от нуля до
Число собственных частот в интервале от
Для примера подсчитаем число собственных частот помещения объемом Наименьшее значение собственной частоты будет соответствовать волнам, распространяющимся параллельно наибольшему ребру. Если то при
что соответствует плоской стоячей волне по направлению грани Точно так же при Покажем, что и в общем случае, при некотором собственном значении Так как
Амплитуда может быть комплексная:
есть длина вектора, направленного по нормали к фронту некоторой плоской волны и равного по абсолютной величине расстоянию от начала координат до плоскости фронта волны. Из соотношения (6,7) видно, что при каждом собственном значении соответственно восьми различным сочетаниям знаков в выражении для Каждую из плоских волн, на которые мы разбивали собственное колебание моды Равенство путей, проходимых любым из "лучей", поясняет физический смысл собственных значений параметра Общее решение для собственных колебаний любого вида можно представить выражением:
|
1 |
Оглавление
|