ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН В ТРУБЕ

Колебания внутри прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим прежде всего как более простой случай распространение волн в трубе прямоугольного сечения. В целях уяснения метода решения вначале рассмотрим распространение волн внутри объема, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами по осям х, у, z (рис. 30).

Рис. 30

Волновое уравнение для синусоидальных колебаний имеет вид (см. гл. 1):

На жестких гранях должны удовлетворяться условия равенства нулю нормальных скоростей:

Выражение для потенциала скоростей удовлетворяющее этим граничным условиям, легко найдем расщеплением функции на произведение трех функций только от х, у и z. Частные решения будут иметь вид:

где

Обозначим:

Функция называется фундаментальной, или характеристической, функцией. Для замкнутых объемов иного вида, чем прямоугольный параллелепипед, фундаментальные функции будут иметь другое математическое выражение, форма которого зависит от вида ограничивающих поверхностей и граничных условий на этих поверхностях.

Подставив выражение (6,2) в уравнение (6,1), получим выражение волнового числа через

Ввиду такой структуры формулы для будем далее обозначать через Разделив обе части уравнения на получим:

Очевидно, что все три члена этого выражения должны быть меньше единицы, или один из них может быть равен единице, но тогда другие равны нулю. Введем обозначения:

Тогда вместо уравнения (6,4) имеем:

Из соотношения (6,5) следует, что величины могут быть представлены геометрически, как компоненты некоторого волнового вектора составляющего углы с осями координат; абсолютная величина вектора дает волновое число.

Каждым трем числам соответствует, таким образом, некоторое число называемое собственным значением параметра для данной задачи; через определяются все возможные собственные частоты объема а которые выражаются формулой:

Конец каждого волнового вектора с компонентами по осям координат, характеризующего собственную частоту представляет точку в трехмерном пространстве, ограниченном условиями (октант). Колебания, определяемые собственными значениями волнового числа будем называть модой

Нетрудно подсчитать (приближенно), какое число собственных частот лежит в пределе от до частоты В пространстве частот каждой из них соответствует вектор с компонентами пространство частот можно представить разбитым на прямоугольные объемы, составленные из элементарных параллелепипедов с ребрами

Каждой собственной частоте соответствует вершина одного из этих параллелепипедов. Таким образом, число собственных частот в интервале от нуля до равно числу элементарных параллелепипедов с объемом

объем параллелепипеда, собственные частоты которого исследуются. Все собственные частоты в пределе от до лежат в объеме октанта пространства частот Число собственных частот при больших будет приблизительно равно:

Число собственных частот в интервале от

Для примера подсчитаем число собственных частот помещения объемом в интервале от 1000 до 1001 гц. Это число оказывается очень большим:

Наименьшее значение собственной частоты будет соответствовать волнам, распространяющимся параллельно наибольшему ребру. Если то при получим:

что соответствует плоской стоячей волне по направлению грани с частотой основного тона закрытой трубы длины

Точно так же при когда и при образуются плоские стоячие волны вдоль граней а или Для этих трех случаев соответственно имеем: или т. е. углы и имеют значения или . В данном случае

Покажем, что и в общем случае, при некотором собственном значении (при любых ), имеется комбинация плоских волн, направление которых определяется различными сочетаниями компонент волнового вектора

Так как написав соответственные выражения для легко получить после преобразования для потенциала скоростей фтпр сумму восьми выражений вида:

Амплитуда может быть комплексная: т. е. каждая составляющая Фтпр имеет свою фазу . В выражении (6,7) величина

есть длина вектора, направленного по нормали к фронту некоторой плоской волны и равного по абсолютной величине расстоянию от начала координат до плоскости фронта волны.

Из соотношения (6,7) видно, что при каждом собственном значении возможно восемь различных плоских волн

соответственно восьми различным сочетаниям знаков в выражении для . Каждой из этих восьми волн соответствует другая, имеющая прямо противоположное направление. Таким образом, всего имеется четыре различных направления стоячих волн внутри объема

Каждую из плоских волн, на которые мы разбивали собственное колебание моды можно для краткости назвать "лучом" (название "луч" в данном случае не соответствует понятию луча, как оно определяется в оптике). Звуковой "луч" с направляющими косинусами (6,5), начинающийся в какой-либо точке грани, после ряда отражений от граней, описав некоторый неплоский многоугольник, возвращается вновь в ту же точку и начинает описывать тот же путь, причем длина этого пути одинакова, из какой бы точки ни начинался путь "лучаи, и равна целому числу длин волн. Отдельные отрезки этих лучевых многоугольников составляются из "лучейа, уравнения которых определяются выражениями вида (6,7) с различными комбинациями знаков.

Равенство путей, проходимых любым из "лучей", поясняет физический смысл собственных значений параметра Они соответствуют определенным дискретным значениям частоты — "собственным частотам" объема. Действительно, при одинаковых длинах каждый "луч", выходящий из любой точки объема под углом, удовлетворяющим условиям (6,5), распространяясь со скоростью вернется в исходную точку через один и тот же промежуток времени . Этот промежуток будет равен целому числу периодов собственного колебания с частотой и периодом очевидно,

Общее решение для собственных колебаний любого вида можно представить выражением: