Давление звуковой волны на неподвижную жесткую сферу

Запишем выражение (9,14 а) для давления звука на поверхности сферы в развернутом виде:

Подставляя значения для малых , учитывая, что и отбрасывая члены, содержащие выше 4-й степени, получим:

Компонента давления вдоль оси х равна а полная сила давления

Отличную от нуля величину полного давления дадут только члены, содержащие с нечетным индексом.

В первом приближении из выражения (9, 17) получим:

Заметим, что падающая волна дает давление:

Таким образом, реакция рассеянной волны прибавляет к давлению половину величины, даваемой падающей волной. После интегрирования получим в первом приближении:

т. е. при малых сила давления возрастает прямо пропорционально

Величина среднего давления на сферический сегмент с углом

где

Вычисление по формуле (9,19) дает для амплитуды давления при малых величины порядка При увеличении амплитуда растет и приближается к как у твердых преград в случае плоской волны; при получается величина давления еще примерно на 10% меньше Учитывая члены,

содержащие нечетные полиномы Лежандра, из соотношений (9, 16) и (9, 18) найдем полную силу давления:

где

Интегралы, входящие в это выражение, равны:

Следовательно,

Величина при малых пропорциональна При она достигает максимума, равного единице, и затем начинает спадать по закону (рис. 80).

Рис. 80

Разница давлений на двух полюсах сферы. Для физиологической акустики представляет интерес, какова будет при падении звуковой волны точно сбоку разница по амплитуде и фазе давления в двух ушах. Этот вопрос можно разрешить приблизительно, если принять голову за шар с диаметром 18 см и вычислить давление на поверхности по формуле (9,14) в точках Используя выражение (9,17) и учитывая, что

для амплитуды давления при получим:

Амплитуда давления при

Обозначая и ограничиваясь малыми величинами до найдем для абсолютной величины давлений:

Учитывая, что и что получим для относительной разности давлений на полюсах сферы:

Рэлей вычислил, исходя из теоремы взаимности, относительную разность интенсивностей на поверхности сферы в точках которая при составляет величину Понятие интенсивности звука на поверхности сферй, строго говоря, неприменимо, поскольку компонента скорости и потока энергии нет. За интенсивность в данном случае следует принять величину Относительная разность интенсивностей будет равна:

Относительная разность амплитуд при частотах 100 и 200 гц имеет для головы человека следующие величины:

Слух едва способен воспринять разницу звуковых давлений в 10%. Таким образом, на низких частотах, бинауральный эффект не может быть объяснен разницей интенсивности звука в двух ушах.

Разность фаз звука в точках легко может быть рассчитана, исходя из формул (9,20) и (9,21). С точностью до членов тангенс угла разности фазы А (по отношению к фазе падающей волны в центре сферы) в точках равен:

Разность фаз в точках будет

Следовательно, при разность фаз в двух полюсах сферы в 1,5 раза больше, чем набег фазы по прямому пути между этими точками. Этот вывод представляет интерес для оценки разности фаз звука в двух ушах, когда звуковая волна приходит под углом 90° к фронтальному направлению, а также для некоторых технических задач, связанных с пеленгацией источников звука.