Фрикционные элементы звукопроводов

При наличии внутреннего трения в газе или жидкости течение по трубе при малых скоростях происходит ламинарно в форме цилиндрических слоев, движущихся с различными скоростями в зависимости от расстояния до стенки. Пограничный слой стенки остается неподвижным, а осевой движется с максимальной скоростью. За счет трения между слоями, движущимися с различными скоростями, при распространении звука создаются дополнительные потери и дополнительное

инерционное сопротивление. Выясним влияние вязкости на колебательное движение плоского слоя. Пусть бесконечная плоскость колеблется параллельно самой себе, соприкасаясь с жидкостью. Силы вязкости передают движение от одного слоя к другому и в жидкости возникают своеобразные поперечные волны, распространяющиеся по направлению нормали к плоскости XV. Скорость колебаний жидкости направлении оси х убывает с ростом z по некоторому закону:

Рассмотрим движение плоского элемента с площадью, равной единице, и толщиной нормаль к которому совпадает с нормалью к движущейся плоскости (рис. 49).

Рис. 49

Сила трения, действующая на элемент, с нижней стороны будет равна , где — коэффициент вязкости. На верхнюю сторону действует сила Общая сила, вызванная вязкими воздействиями, действующая на элемент с площадью в будет равна

и направлена по оси Масса элемента равна Уравнение движения запишется следующим образом:

Предполагая решение этого уравнения в виде

и подставляя его в уравнение движения, найдем:

тогда

Таким образом, получаем своеобразную волну, в которой коэффициент затухания численно равен волновому числу. Решение имеет форму затухающих в направлении z вязких волн поперечного типа. На длине волна затухнет по амплитуде в раз.

С другой стороны, длина вязкой волны

скорость этих волн

Уже на длине вязкая волна затухнет в раз. Принимая (для воздуха) получим при 500 гц Очевидно, что при звуковых частотах в воздухе область, в которой существуют вязкие волны, представляет очень тонкий слой у поверхности движущегося тела. В воде длина стоксовых вязких волн будет еще меньше: при 500 гц

Сила трения на площади будет равна

и имеет, как мы видим, не только активную, но и инерционную компоненту.

Для входного усредненного по сечению импеданса на единицу сечения круглой трубы радиуса и длины I при наличии внутреннего трения Крендалл нашел:

Здесь

— длина вязкой стоксовой волны, символы бесселевых функций нулевого и первого порядков. Импеданс для трубки сечения будет равен

Если т. е. когда что выполняется для воздуха, при приближенно получается:

Выражение соответствует закону Пуазейля для сопротивления при ламинарном течении вязкой жидкости по узкой трубке. Для узких трубок активное сопротивление в равенстве (7,22) превышает реактивное, и полное сопротивление не зависит от частоты.

Рис. 50

Величина представляет эффективную массу, участвующую в колебаниях, которая на 1/3 больше фактической массы среды в трубке сечением в т. е. здесь возникает присоединенная масса за счет вязкости. С увеличением величины которое происходит при увеличении радиуса или частоты при заданных приближенная формула (7,22) теряет силу. Расчет по точной формуле представлен графиком на рис. 50, на котором даны значения у — отношения величины

для воздуха к пуазейлевской величине функции от частоты для четырех значений диаметра: По оси абсцисс отложены две шкалы частот в зависимости от значение соответствует полной теплоизоляции стенок, а соответствует очень большой теплопроводности стенок (металл). Для трубок с диаметром меньше 0,02 см величина сопротивления во всем звуковом диапазоне практически не отличается от пуазейлевской и от частоты не зависит.

При больших значениях можно использовать приближенные выражения для функций Бесселя тогда выражение для будет:

Величина активного удельного сопротивления сильно зависит от частоты. Это выражение для сопротивления найдено Гельмгольцем.

Для бесконечно длинных щелей толщины и глубины I аналогично соотношению (7,21), удельный импеданс,

где

Величина соответствует пуазейлевскому значению для круглых трубок. На рис. 51 даны значения величины

ычисленные в функции от частоты при различных для двух шкал так же, как и на рис. 50.

Для ряда параллельных трубок с площадью , причем одна трубка приходится на площадь получим на 1 см импеданс:

где число отверстий на единицу площади. По этой формуле можно приближенно рассчитать сопротивление для металлических сеток, принимая ее ячейки (площади ) за круглые трубки с радиусом с длиной каналов, равной приблизительно двойному диаметру проволок, из которых сплетена сетка.

Рис. 51

Капиллярные трубки, а также системы трубок и щелей могут быть использованы как эталоны сопротивления, так как величина их сопротивления не зависит от частоты в широком диапазоне и может быть приближенно предвычислена.

Для ткани, ваты и других волокнистых и пористых веществ с каналами неправильной формы вычисление сопротивления не

представляется возможным и его величину приходится измерять на опыте. Для этой цели применяется метод продувания постоянным потоком, причем измеряется падение (перепад) давления на данном образце и скорость и протекающего газа. Удельное сопротивление будет равно:

Оно измеряется в механических омах на и имеет размерность Реактивное сопротивление тонких фрикционных слоев с мелкими порами (ткани, сетки) практически ничтожно; для толстых же слоев пористого материала реактивная компонента импеданса должна обязательно учитываться.

При увеличении скорости потока и становится заметным не только перепад давления, возникающий в результате трения, но и гидродинамический перепад, возникающий при расширении или сужении потока. На входе из большого объема в узкую трубку создается перепад давления который, очевидно, прибавляется к перепаду обусловленному трением в узкой части трубки. Общий перепад давления будет:

Сопротивление, которое измеряется на опыте, равно:

зависит от скорости потока и. На опыте действительно обнаружена зависимость сопротивления от скорости, аналогичная уравнению (7,23).

В табл. 5 приведены значения удельных сопротивлений для различных пористых материалов.

Сопротивление нескольких слоев пористого материала, грубо говоря, равно сумме сопротивлений отдельных слоев.

В сводной табл. 6 даны величины импеданса различных акустических систем, их схематическое изображение и эквивалентные электрические схемы.

Таблица 5 (см. скан)