Импеданс круглой поршневой диафрагмы

Формула (11,8) позволяет вычислить потенциал скоростей на самой поверхности поршневой диафрагмы. Давление в некоторой точке на поверхности диафрагмы определится суммой воздействий отдельных элементов диафрагмы Очевидно, что распределение давления будет симметрично относительно центра диафрагмы и зависит только от расстояния и данного элемента от центра (рис. 88). Обозначая расстояния данной точки от других элементов диафрагмы через поручим:

где

Рис. 88

Сила давления на элемент равна а суммарная сила давления на всю диафрагму вычислится интегрированием по всей поверхности диафрагмы:

Вычисление интеграла

характеризующего распределение давления по поверхности поршня, представляет сложную вычислительную задачу. Эти вычисления для некоторых значений выполнены Мак-Лакленом и Штенцелем.

Рис. 89

На рис. 89 приведены кривые распределения относительной амплитуды давления по поверхности поршневой диафрагмы при различных значениях Часть интегралу которая распространяется на площадь круга с радиусом и, вычисляется сравнительно просто; вычисление же той части, которая распространяется на кольцо с внутренним радиусом и внешним радиусом гораздо сложнее. Как показал Рэлей, для вычисления суммарной силы можно обойтись интегрированием только по площади внутреннего круга радиуса .

Предположим, что обеспечен такой порядок интегрирования в интеграле V (обозначим его теперь V), что в нем каждый

элемент войдет лишь один раз. Для этого достаточно вынести элемент за пределы окружности радиуса и (рис. 88) и распространить интегрирование только на внутренние элементы этой окружности. При таком порядке интегрирования каждый элемент сопрягается только с элементами, лежащими ближе к центру, чем он сам, и, значит, каждая пара элементов будет сочетаться только один раз. Если теперь выполнить в (11,11) интегрирование функции V только по площади круга радиуса то мы получим неправильный результат, так как каждая пара элементов должна была войти при суммировании не один, а два раза (каждый элемент должен входить один раз как излучатель и второй — как приемник). Однако правильное значение полной силы давления мы получим, просто удвоив результат, т. е. положив

Вычислим интеграл V по внутреннему кругу, учитывая, что Согласно (рис. 88), найдем:

Преобразуем интеграл:

где Из теории бесселевых функций известно, что

где бесселева функция нулевого порядка. Второй интеграл выразится через цилиндрическую функцию особого рода

(не являющуюся интегралом уравнения Бесселя), носящую название функции Струве:

Используя соотношения (11,13) и (11,14), получим:

Заметим, что звуковое давление в точке, соответствующей элементу не может быть вычислено из выражения так как интеграл V распространяется только на внутреннюю окружность (радиуса и) и не учитывает влияния внешнего кольца. Подставляя в формулу (11,11) выражение для V и принимая за элемент площади кольцо с внутренним радиусом и шириной который равен

определим суммарную силу давления на поршень:

где

Интегралы от функций Бесселя и Струве нулевого порядка выражаются через функции первого порядка, а функции и выражаются рядами:

Эти ряды пригодны для вычислений при небольших При выражения в скобках можно считать равными единице. Выражение для запишется после интегрирования так:

Импеданс поршневой диафрагмы будет равен:

Для компонент импеданса получим:

Величины представляют безразмерный импеданс поршневой диафрагмы. Безразмерный импеданс зависит только от параметра:

Ряды, выражающие достаточно удобны для вычисления импеданса до значений для больших значений следует пользоваться таблицами функций. В предельном случае длинных волн получим:

величина представляет присоединенную массу поршня

Пульсирующая сфера при имеет сопротивление излучения а полусфера (в экране) сопротивление Таким образом, звукобая мощность, излучаемая половиной пульсирующей сферы и поршнем равной площади колеблющимися в безграничном экране (при равных амплитудах скорости будет одинакова. Этот вывод имеет общее значение. Излучатели любой формы при длинных волнах обладают одинаковым сопротивлением излучения, и излучаемая ими мощность определяется квадратом суммарной объемной скорости независимо от формы излучателя.

Для присоединенной массы получим иной результат. Половина пульсирующей сферы равной с поршнем площади (, т. е. при ), имеет при присоединенную массу

Следовательно,

т. е. добавочная масса для поршневой диафрагмы равной с полусферой площади на 20% больше.

Для коротких волн ряды (11,17) и (11,18) непригодны, и для вычислений приходится применить асимптотические представления функций и

Рис. 90

Рис. 91

Из расчетов, проведенных Рэлеем, следует, что

В пределе при больших получим:

Из рис. 90 и 91 видно, что функции при больших приближаются к пределу, совершая колебания постепенно уменьшающиеся по амплитуде. Таким образом, на коротких волнах поршневая диафрагма имеет импеданс, соответствующий сопротивлению излучения для плоской волны, т. е. на единицу площади.