Импеданс в точке приложения силы и переносный импеданс

Исходя из формулы (5,16), найдем выражение импеданса в точке приложения силы для трубы с присоединенным на конце импедансом

Переносным импедансом называется отношение действующей силы к скорости в точке где стоит импеданс

Так как при малом затухании то

Если т. е. импеданс в начале трубы (например, инерционный импеданс, вызванный массой поршня) отсутствует, то

При

Эта формула определяет только импеданс, добавленный к вследствие того, что к приставлена труба с конечным импедансом При

Величина зависит, очевидно, от импеданса на конце трубы и от длины трубы.

При условии

Это значит, что труба, длина которой полностью передает импеданс в начало трубы. Иначе говоря, труба длиной действует подобно абсолютно жесткому стержню. Трубы, наполненные жидкостью, при соблюдении этого условия могут передавать очень большие переменные силы.

Рассмотрим частный случай трубы с закрытым концом. Так как то при

При низких частотах получим:

Величина , где V — объем трубы, представляет коэффициент упругости объема воздуха V при действии силы давления на всю площадь

Действительно, в статическом случае, согласно закону Гука,

Введя суммарную силу давления получим:

Таким образом, величина

( статическое давление) представляет коэффициент упругости замкнутого объема

Величина согласно (5,45), будет отрицательна и мнима от до Таким образом, в пределах от

нулевой частоты до частоты мы будем иметь отрицательное реактивное сопротивление, и отрезок трубы действует как упругость.

В интервале от до знак меняется на положительный, и отрезок трубы действует как инерционное сопротивление.

При те, т. е. Такой же результат будет получен при где целое число. Следовательно, закрытая (при труба длиной представляет как бы абсолютно твердое, несжимаемое тело. Этот вывод получается, конечно, только как идеализация в предположении отсутствия затухания звука в трубе

Если то при из формул (5,45) после несложных преобразований найдем:

При т. е. а при т. е. Если мало, то в первом случае (вместо нуля, как это дает формула (5,45); во втором случае Закрытая труба при условии (резонанс) имеет, если мало, очень малое сопротивление и может служить в качестве акустического "короткого замыкания" лучше, чем открытое отверстие, которое имеет и активное и реактивное сопротивления.

При больших затуханиях в трубе, например, когда она заполнена пористым материалом (при больших значениях так как при больших стремится к единице. Этот вывод не вполне корректен, так как при выводе формулы (5, 41) предполагалось, что невелико.

В трубе с открытым концом следует считать равным импедансу поршня площади излучающего в открытое пространство. При низких частотах и из соотношения (5, 43) получим:

В короткой трубе

где

Следовательно, короткая (по сравнению с длиной волны) открытая труба дает импеданс инерционного характера, соответствующий движущейся массе равной массе среды в трубе. При более высоких частотах растет и делается равным бесконечности при затем становится отрицательным (упругое реактивное сопротивление) в пределах При открытая труба длиной ппрактически не дает сопротивления для звука (при этом предполагается, что что возможно при ).

Уточняя выражение (5,48) для короткой трубы, следует учесть присоединенную массу на ее конце. Для трубы радиуса с фланцем (по Рэлею) а для трубы без фланца (по Гутину) Если учитывать присоединенную массу на открытом конце трубы, то получим (при ) для импеданса трубы с фланцем:

а для трубы без фланца:

Таким образом, открытая труба без фланца становится как бы длиннее на величину Этот эффект необходимо учитывать при настройке органной трубы на определенный тон.