Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕУравнения гидродинамикиРассмотрим движения бесконечно малого элемента среды
Рис. 1 Предположим, что внутри жидкости существует постоянное давление
Величину называть избыточным или звуковым давлением
Суммарная сила, действующая на элемент жидкости в направлении оси х, будет равна:
Из аналогичных рассуждений получим компоненты сил давления по осям Кроме сил давления, на элемент силы типа гравитационных; При дальнейших выводах примем, что в той области среды, где мы рассматриваем волновое движение, переменные объемные силы, которые, вообще говоря, могут существовать, отсутствуют. Звуковые волны в зависимости от начальных и граничных условий могут быть чрезвычайно разнообразными. При рассмотрении задач возбуждения звука внешние силы войдут в граничные условия; задавая вынужденное движение на некоторой границе, мы учтем действие переменных сил на среду и сможем исследовать процессы излучения звука колеблющимися телами. Таким образом, ограничимся рассмотрением возникших вследствие движения границ колебательных движений, происходящих без непосредственного воздействия внешних сил на среду и распространяющихся в результате передачи движения посредством давления одних частей среды на другие. Решение волновых уравнений путем введения переменных объемных внешних сил, действующих на среду во всем рассматриваемом объеме или в некотором ограниченном объеме, также вполне возможно, но мы не будем рассматривать эту задачу. Таким образом, при выводе волнового уравнения будем предполагать, что движение элемента жидкости происходит в отсутствие внешних сил. При движении элемента В уравнение движения входит ускорение частицы. Скорость частиц в жидкости меняется с течением времени в каждой точке среды. Пусть в точке О скорость равна
В пределе при очень малых назвать местной или локальной производной. Величина
Переносное ускорение будет равно
Название субстанциальная производная указывает, что ускорение относится к движущемуся элементу вещества (субстанции). При установившемся движении
При выводе волнового уравнения предполагаем, что в среде отсутствуют большие постоянные скорости и, следовательно, Скорость и может иметь большой градиент в пространстве
которое сводится, как можно показать, к тому, что скорость и должна быть значительно меньше скорости звука. При соблюдении этого условия можно полную производную по времени от скорости с достаточной точностью приравнять ее частной производной по времени:
Напишем уравнения движения частицы среды
Сокращая на
Уравнения (1,4) представляют компоненты уравнения движения по осям х, у и z. Они являются "укороченной" формой общих нелинейных уравнений гидро- и аэродинамики (уравнений Эйлера). Эти линеаризованные уравнения движения мы применим далее для вывода волнового уравнения. Если условие (1,3) не выполнено, то уравнения движения становятся нелинейными.
|
1 |
Оглавление
|