ГЛАВА I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнения гидродинамики

Рассмотрим движения бесконечно малого элемента среды (рис. 1), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами

Рис. 1

Предположим, что внутри жидкости существует постоянное давление на которое налагаются некоторые изменения давления являющиеся функцией времени и координат Общее давление

Величину которая в звуковых процессах в газах обычно мала по сравнению с будем обозначать далее через и

называть избыточным или звуковым давлением На элемент среды действуют силы давления со стороны окружающей среды: на грань элемента сила давления направленная по положительной оси х, где Р(х, у, z, t) - средняя величина давления в области площадки на грань сила в направлении отрицательной оси где средняя величина давления в области площадки Ввиду малости можно считать, что

Суммарная сила, действующая на элемент жидкости в направлении оси х, будет равна:

Из аналогичных рассуждений получим компоненты сил давления по осям

Кроме сил давления, на элемент могут действовать некоторые постоянные силы, пропорциональные массе элемента, — массовые силы — часто называемые также объемными силами. К таким силам относятся, например, сила тяжести, электрические силы в ионизированном газе, магнитные силы и т. п.. Прежде всего нужно считаться с постоянной во времени силой тяжести. В реальных условиях в акустике мы имеем дело, в простейшем случае (при отсутствии ветра), с покоящейся в целом средой, ограниченной некоторым объемом или простирающейся достаточно далеко, в которой происходят некоторые местные движения колебательного характера. Так как действие силы тяжести компенсировано градиентом давления, существующим в покоящейся среде, то она не вызывает никаких движений. Ее действие сводится лишь к тому, что величина постоянного давления является функцией координаты z. По направлению действия силы тяжести постоянно увеличивается, а вместе с ней увеличивается и плотность среды Поскольку изменение с расстоянием происходит медленно, можно в некотором ограниченном объеме считать величину (а также и плотность среды) постоянной. Рассматривая колебательные процессы (звук), можно, таким образом, в уравнении движения отбросить постоянные массовые

силы типа гравитационных; При дальнейших выводах примем, что в той области среды, где мы рассматриваем волновое движение, переменные объемные силы, которые, вообще говоря, могут существовать, отсутствуют. Звуковые волны в зависимости от начальных и граничных условий могут быть чрезвычайно разнообразными. При рассмотрении задач возбуждения звука внешние силы войдут в граничные условия; задавая вынужденное движение на некоторой границе, мы учтем действие переменных сил на среду и сможем исследовать процессы излучения звука колеблющимися телами. Таким образом, ограничимся рассмотрением возникших вследствие движения границ колебательных движений, происходящих без непосредственного воздействия внешних сил на среду и распространяющихся в результате передачи движения посредством давления одних частей среды на другие.

Решение волновых уравнений путем введения переменных объемных внешних сил, действующих на среду во всем рассматриваемом объеме или в некотором ограниченном объеме, также вполне возможно, но мы не будем рассматривать эту задачу. Таким образом, при выводе волнового уравнения будем предполагать, что движение элемента жидкости происходит в отсутствие внешних сил.

При движении элемента в реальной среде возникают силы трения, пропорциональные при малых скоростях первой степени скорости движения. Примем, что силы трения отсутствуют, т. е. будем рассматривать волновое движение в идеальной жидкости (или газе).

В уравнение движения входит ускорение частицы. Скорость частиц в жидкости меняется с течением времени в каждой точке среды. Пусть в точке О скорость равна в момент времени и в момент времени Через интервал времени частица среды переместится из точки О в точку на расстоянии по направлению скорости движения. Так как скорость меняется не только во времени, но и в пространстве, то скорость в точке О в тот же момент времени отлична от скорости в точке О. Пусть эти скорости будут равны в момент в момент таким образом, в момент скорость частицы, находившейся в момент в точке О, будет а изменение скорости: Ускорение будет равно Представим это выражение в виде:

В пределе при очень малых первый член дает частную производную по времени которую в данном случае можно

назвать местной или локальной производной. Величина учитывает изменение скорости и вследствие перемещения в пространстве на отрезок и в пределе даст величину, называемую переносным ускорением. Можно написать, что

Переносное ускорение будет равно Полное ускорение частицы выражается полной, или субстанциальной, производной и будет равно:

Название субстанциальная производная указывает, что ускорение относится к движущемуся элементу вещества (субстанции).

При установившемся движении ускорение движущегося элемента среды все же имеется вследствие влияния второго члена Скорость и слагается из постоянной скорости (ветер; искусственно создаваемые потоки) и добавочной колебательной скорости и. Уравнение примет вид:

При выводе волнового уравнения предполагаем, что в среде отсутствуют большие постоянные скорости и, следовательно, мало. Введем также ограничение переменных скоростей и будем считать их малыми.

Скорость и может иметь большой градиент в пространстве (например на границе быстро текущих струй или при распространении взрывных волн). На первом этапе ограничимся более простым случаем, когда больших градиентов как постоянной, так и переменной скорости нет. Второй член в уравнении содержащий произведение двух малых величин, будет мал. Таким образом, будем считать, что выполняется условие:

которое сводится, как можно показать, к тому, что скорость и должна быть значительно меньше скорости звука. При соблюдении этого условия можно полную производную по времени от скорости с достаточной точностью приравнять ее частной производной по времени:

Напишем уравнения движения частицы среды обозначив плотность среды через смещения частицы по осям координат через и ее скорости через По оси х уравнение движения будет иметь вид:

Сокращая на и выписывая аналогичные уравнения для движения в направлении осей получим:

Уравнения (1,4) представляют компоненты уравнения движения по осям х, у и z. Они являются "укороченной" формой общих нелинейных уравнений гидро- и аэродинамики (уравнений Эйлера). Эти линеаризованные уравнения движения мы применим далее для вывода волнового уравнения. Если условие (1,3) не выполнено, то уравнения движения становятся нелинейными.