ГЛАВА 4. ПРОСТЕЙШИЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ ЗВУКА (пульсирующая и осциллирующая сфера)

Пульсирующая сфера

Волновое уравнение для звукового поля, создаваемого сферой, совершающей пульсационные колебания, одинаковые по всей поверхности, можно получить из волнового уравнения, записанного в сферических координатах, предположив, что производные по полярному 8 и азимутальному углам равны нулю, т. е. полную симметрию относительно центра. Однако представляет интерес вывести для этого случая уравнение распространения волн независимо, поскольку при этом выводе выявляются существенные особенности звукового поля.

Рассмотрим движение элемента сферического слоя (рис. 12, а), ограниченного сферами радиуса и четырехгранным телесным углом с вершиной в начале координат, с гранями, имеющими угол при вершине. Масса элемента будет равна где телесный угол. Давление в среде зависит только от и времени Обозначим через звуковое давление, отнесенное к центральной точке элемента. Тогда можно считать, что на боковые грани элемента действуют извне две пары сил, равные и направленные под углом друг к другу (рис. 12, б). Равнодействующая каждой пары сил и направлена от центра (рис. 12, в). Две пары сил вместе дадут чсилу, действующую в направлении от центра и равную

На внутреннюю сферическую поверхность элемента действует сила , а на наружную Эти две силы дадут равнодействующую:

Рис. 12

Равнодействующая всех сил давления, действующих на элемент и направленная по радиусу будет равна:

Радиальную скорость движения элемента в целом обозначим через тогда ускорение будет и ввиду малости скорости можно ограничиться лишь первым

членом, т. е. локальным ускорением без добавки переносного ускорения

Уравнение движения элемента можно записать так:

Сокращая на найдем:

т. е. уравнение движения имеет такой же вид, как и для плоской волны.

Уравнение неразрывности запишется так:

Учитывая, что плотность меняется на длине несущественно, примем, что тогда

Производя дифференцирование и сокращая на получим:

Согласно закону Гука, Кроме того, учтем, что Тогда уравнение неразрывности примет такой вид:

Введя функцию и учтя, что придем вместо соотношений и к системе уравнений:

Продифференцировав второе уравнение по и подставив в него значения и из первого, получим:

Это уравнение типа д'Аламбера имеет известное решение (см. гл. 2), из которого следует:

где символы функций произвольного вида от аргументов они выражают соответственно волны давления, расходящиеся от центра и сходящиеся к центру с фазовой скоростью с.

Легко убедиться, что для функции получится более сложное дифференциальное уравнение:

В частном случае гармонического процесса из равенства (4,3) для волн, расходящихся из центра, получим:

где волновое число и Фазовая скорость для сферических волн давления совпадает с фазовой скоростью для плоских волн.

Выражение (4,4) характеризует волну давления, создаваемую точечным источником, находящимся в центре Выясним, по какому закону будет изменяться скорость частиц в поле, создаваемом таким источником. Интегрируя уравнение движения (4,1), найдем:

(при интегрировании считается, что

Произведя дифференцирование, можно представить в виде:

где

Уравнение (4,5) показывает, что связь между давлением и скоростью частиц в сферической волне более сложна, чем в

ской волне, где Скорость частиц отстает по фазе от давления на угол являющийся функцией модуль амплитуды скорости частиц равен всегда больше чем В волновой зоне и и сферическая волна на больших расстояниях приобретает свойства плоской волны; для нее однако давление и скорость частиц изменяются обратно пропорционально В ближней зоне В этом случае волна скорости частиц отстает по фазе на 90° от волны давления. Амплитуда - скорости частиц в ближней зоне убывает с расстоянием обратно пропорционально тогда как изменяется обратно пропорционально

Из соотношения (4,5) следует, что скорость частиц выражается через звуковое давление формулой:

Скорость частиц можно представить в форме параллельного соединения двух скоростных потоков:

где активная компонента скорости частиц, совпадающая по фазе с давлением, реактивная компонента скорости частиц, отстающая по фазе на у.

Выражение (4,6) следует учитывать при измерении силы звука методом диска Рэлея. Известно, что легкий диск стремится повернуться в постоянном или переменном потоке жидкости (или газа) так, чтобы его плоскость стала перпендикулярной к потоку. Если круглый диск радиуса висит на нити с крутильной постоянной и плоскость его составляет угол с направлением звуковой волны, то угол отклонения диска под действием звука вычисляется по формуле:

Диск будет наиболее чувствителен, если т. е. Измерение диском Рэлея позволяет определить но для

вычисления по формуле (4,6) необходимо знать еще и Вблизи источника величина может быть значительно меньше единицы и нельзя считать, что связаны соотношением как в плоской волне.

Из равенства (4,5) условие неизменности фазы скорости частиц будет иметь вид: откуда фазовая скорость волны скорости частиц

Из этого выражения ясно, что в ближней зоне будет намного превышать с.

Выясним физический смысл постоянной а в уравнении (4,4). Определим амплитуду объемной скорости через бесконечно малую сферу, окружающую точечный источник:

Тогда

Учитывая, что звуковое давление и потенциал скоростей связаны соотношением мы видим, что величина представляет амплитуду потенциала скоростей и для точечного источника можем написать:

Величина 4 появляется в предположении, что точечный источник излучает в свободное пространство, т. е. в телесный угол Если излучение источника с объемной скоростью происходит в пределах конуса с телесным углом 2, имеющего жесткие стенки, то

Величина объемной скорости через бесконечно малую сферу (или бесконечно малый сегмент с телесным углом ), окружающую источник, называется производительностью источника.

Если реальная сферическая поверхность радиуса колеблется по закону то на поверхности сферы должно

соблюдаться граничное условие откуда на основании (4,4) и (4,5)

где амплитуда объемной скорости через поверхность сферы, а — значение угла при Уравнение (4,8) показывает, что реальный сферический излучатель радиуса с объемной скоростью будет эквивалентен точечному источнику с производительностью

очевидно, что всегда меньше, чем

Используя выражение а через можно звуковое давление записать в следующей форме:

Таким образом, мы учитываем замену реального источника (с объемной скоростью точечным источником, вводя в выражение для множитель и отсчитывая фазовый путь не от начала координат, а от поверхности сферы, т.е. исходя из расстояния