Акустические фильтры

Отрезок трубы можно трактовать как симметричный четырехполюсник и написать для него по методу электроакустических аналогий уравнения:

где

Величина (см. гл. 5) есть постоянная распространения. Отрезок трубы является симметричным четырехполюсником, так как для него коэффициенты равны и коэффициенты связаны соотношением:

(справедливым также и для несимметричного четырехполюсника). При соблюдении этих условий можно исключить два параметра и для характеристики симметричного четырехполюсника использовать из четырех параметров только два. Удобнее ввести два новых параметра. За один из них примем волновое сопротивление или характеристический импеданс четырехполюсника Для трубы длиной на конце которой присоединена бесконечная труба того же сечения, на выходе

имеем волновое сопротивление В этом случае из выражений (7,37) и (7,38) следует, что

т. е. волновое сопротивление (акустическое) отрезка трубы, замкнутой на волновое сопротивление, также равно

За второй параметр примем натуральный логарифм отношения (которое при нагрузке на будет равно Этот параметр называется постоянной, распространения четырехполюсника Величины и полностью характеризуют симметричный четырехполюсник.

Определим и для случая симметричного четырехполюсника. Положим тогда

откуда

Для определения положим и найдем:

Так как

или

Таким образом,

Из формул (7,37) найдем сопротивление короткого замыкания четырехполюсника и сопротивление холостого хода полагая соответственно или

Из этих соотношений получим важную формулу:

Все выведенные здесь соотношения, равно как и дальнейшая теория фильтров, годятся не только для отрезка трубы, но и для любых симметричных четырехполюсников, удовлетворяющих (7,38) при условии

Если на выходе симметричного четырехполюсника включен произвольный импеданс то на основании (7,37)

Импеданс на входе уже не будет равен

При больших значениях затухания и при условии или из выражения (7,40) найдем, что независимо от импеданса на выходе.

Рис. 57

Рис. 58

Построим систему акустических сопротивлений в виде сочетания ряда одинаковых ячеек, присоединенных друг к другу и образующих бесконечную цепочку. На рис. 57 и 58 такая

цепочка изображена схематически аналогично цепочке из электрических импедансов. Схема на рис. 57 показывает цепочку, состоящую из -образных звеньев; одна ячейка (обведена пунктиром) содержит два импеданса у в последовательной ветви и импеданс в параллельной ветви.

Рис. 59

Цепочка на рис. 58 состоит из -образных звеньев: в последовательной ветви и в параллельных. Очевидно, два последовательных импеданса в средних звеньях -цепочки могут быть соединены в один импедане и лишь на концах остаются импедансы у.

Рис. 60

Анологично в -цепочке параллельно соединенные срединные импедансы превращаются в и лишь на концах остаются элементы в параллельной ветви. Акустическая модификация бесконечной цепочки, состоящей из отдельных ячеек, показана на рис. 59 и 60.

Последовательные ветви осуществляются в форме отрезков трубы, параллельные — в форме объемов V, присоединенных сбоку через прорезы между узкими трубами или через боковые отверстия в них.

Найдем параметры и для и -цепочек. Для -звена будем иметь определенные соотношения давлений и объемных скоростей на входе и выходе, легко выводимые из эквивалентной электрической схемы (рис. 61) при условии, что импеданс на входе звена равен когда на выходе имеется также импеданс

Рис. 61

Решая эти уравнения относительно и найдем:

Из этих уравнений ясно, что коэффициенты -цепочки будут иметь следующие значения:

Волновое сопротивление

а постоянная распространения на одно звено определится из соотношений:

Для -цепочки таким же путем найдем:

Величина для -цепочки будет определяться теми же соотношениями (7,42). Для одного звена того и другого вида имеем:

при условии, что на выходе стоит импеданс равный волновому сопротивлению.

Для цепочки из звеньев постоянная распространения Импеданс на входе такой цепочки останется равным как и для одной ячейки.

Если импедансы и чисто реактивные, то можно положить:

где могут быть положительны (инерционное сопротивление) или отрицательны (упругое сопротивление). В этом случае

Постоянная распространения для звеньев обоих видов определяется из соотношения:

Если имеют одинаковый знак, т. е. если и в последовательной и параллельной ветвях стоят только инерционные или только упругие сопротивления, то, согласно соотношению (7,44), будет вещественным. Цепочка будет лишь ослаблять амплитуду, не изменяя фазы. Такие цепочки называют аттенюаторами. Точно так же будет вести себя цепочка, состоящая только из активных сопротивлений.

Если имеют разные знаки, то величина вещественна, но меньше единицы и даже может стать меньше нуля. В этом случае комплексно:

где постоянная затухания, фазовая постоянная, рассчитанная на одну ячейку. Фазовая скорость (число ячеек, проходимых волной за единицу времени) будет равна

Если то вещественно и а фазовая скорость бесконечна. Волновой процесс в таких цепочках (аттенюаторах) невозможен. Если то, учитывая (7,45), получим

Согласно (7,44), величина всегда вещественна, а при разных знаках и она меньше единицы. Вещественная величина согласно равенству (7,45а), может получиться в двух случаях:

В первом случае, очевидно, Величина определится из выражения:

В этом случае затухание отсутствует а фаза изменяется при прохождении каждого звена на величину а. Чтобы а имело вещественное значение, очевидно, должно соблюдаться условие: то есть

Это условие применимо как для так и для -фильтров. Поскольку функции частоты, то условие (7,47) может быть реализовано только в определенной области частот. Какова будет эта область, зависит от вида функции Из формулы (7,43) ясно, что при соблюдении условия (7,47) волновое сопротивление цепочки будет чисто активным.

Во втором случае т. е. или При (когда ) получим:

При

Так как при вещественном всегда то условие будет выполняться только, если т. е. либо при либо при Этот случай может возникнуть, очевидно, только при некоторых дискретных значениях частоты . Условие реализуется при

Оно может соблюдаться в целой области частот.

Как при так и при на каждом звене цепочки наблюдается ослабление давления и скорости в раз Величина фазы в случае представляющем основной интерес, меняется в каждом последующем звене на обратную. Волновое сопротивление при и при будет, согласно формулам (7,43), чисто реактивным.

Рассматриваемая цепочка, для которой имеют разные знаки, ведет себя совершенно по-разному в двух различных областях частот. В области частот, для которой соблюдается условие (7,47), цепочка пропускает волновое движение без ослабления, при этом на каждом звене фаза изменяется на а. Величина а определяется формулой (7,46) и лежит в пределах от до Через цепочку будет, таким образом, свободно проходить волна; это — область пропускания. В этой области волновое сопротивление цепочки чисто активное. В области частот, для которой соблюдается условие (7,50), на каждом звене происходит затухание в раз и изменение фазы на 180°, это — область ослабления или запрета. Здесь волновое сопротивление реактивно.

Цепочки, обладающие описанными свойствами, называются фильтрами. Итак, для фильтровых цепочек при

а при

Условие определяет граничную частоту фильтра, отделяющую область пропускания от области ослабления. Волновое сопротивление как так и -цепочки, согласно соотношениям в области пропускания будет активным, а в области ослабления — реактивным. Следовательно, в области ослабления источник, присоединенный к фильтру, не затрачивает работы. Если фильтр присоединен на выходе к трубе (или линии) с активным характеристическим сопротивлением то в области ослабления, где чисто мнимое коэффициент отражения на входе фильтра будет равен:

Таким образом т. е. вся энергия волны отразится на нходе. В начальный момент после включения фильтра в него, конечно, будет идти некоторый поток энергии, который постепенно спадет до нуля, после чего установится стационарное состояние. В фильтре установятся своеобразные стоячие волны; в каждой последующей ячейке амплитуда колебаний будет уменьшаться в раз, причем давление и скорость (напряжение и ток) будут отличаться по фазе на При переходе от одной ячейки к другой фаза давления (или скорости) будет меняться скачком на Факт уменьшения амплитуды в раз на каждой ячейке характеризует механизм работы фильтра, но он не характеризует собой степень затухания волны, так как вообще волнового процесса в фильтре в этой области частот нет.

В области пропускания волновое сопротивление чисто активное и коэффициент отражения на входе фильтра

будет меньше единицы. Часть энергии войдет в фильтр и пройдет через него. Если сделать и вся энергия падающей волны пройдет через фильтр.

Выходное сопротивление фильтра практически всегда будет иметь некоторую активную компоненту. Таким образом, точно реализовать на выходе реактивное волновое сопротивление, необходимое для соблюдения условий работы бесконечной цепочки, нельзя, и последнее звено фильтра работает всегда на сопротивление неравное волновому, и потому величина будет отличаться от расчетной. Практически, однако, удается эти отклонения сделать не слишком большими.

Фильтр низкой частоты. Пусть цепочка состоит (рис. 59) из звеньев с инерционными последовательными

сопротивлениями в форме отрезков коротких трубок с акустическим импедансом и с параллельными сопротивлениями в форме боковых объемов V с импедансом

Следовательно, имеем:

Условие (7,47) для полосы пропускания примет вид:

откуда верхняя граничная частота полосы пропускания

где К — проводимость трубки длины I с сечением .

Итак, граничная частота равна удвоенной частоте резонатора с проводимостью горла К и объемом При частотах ниже граничной мы имеем область пропускания низких частот от 0 до для которой из соотношения (7,46) найдем фазовую постоянную:

Для частот, значительно ниже граничной, получим:

Время прохождения звуковой волной одной ячейки в этой области частот

где круговая резонансная частота для системы Фазовая скорость волны в цепочке (т. е. число ячеек, пробегаемых волной за 1 сек.) при

Цепочки подобного рода имеют большое практическое значение для получения временного запаздывания независимого от частоты. Они разработаны применительно к электрическим и акустическим системам, предназначенным для получения заданного временного сдвига какого-либо процесса, и носят название линий задержки.

Величина постоянной затухания в области ослабления для фильтра низкой частоты определится из равенства (7,49):

Затухание будет иметь место только при Нетрудно найти, что вблизи от граничной частоты где

Волновое сопротивление для и -звеньев найдем по формулам (7,43):

Таким образом, волновое сопротивление изменяется с частотой по определенному закону, и поэтому очень трудно подобрать на выходе такое чтобы оно всегда равнялось Только в области низких частот волновое сопротивление не зависит от частоты и будет чисто активным. Из формулы (7,54) легко видеть, что постоянство будет соблюдаться с ошибкой меньше 13% при частотах

В реальных акустических фильтрах удается осуществить инерционный импеданс в последовательной цепи лишь при низких частотах (для которых При повышении частоты изменение для отреза трубы, строго говоря, следует закону

При а затем становится отрицательным и мнимым. В результате оказывается, что фильтр подобного рода будет иметь уже не одну, а несколько областей пропускания и ослабления.

Фильтр высокой частоты. Фильтр высокой частоты осуществляется в виде трубы с боковыми отверстиями (рис. 60). В этом случае

где упругость объема лежащего между двумя отверстиями, а инерционное сопротивление боковой трубки где проводимость отверстия).

Условие (7,47) для полосы пропускания будет иметь вид:

Граничная частота фильтра равна:

где круговая частота резонатора с объемом V и проводимостью горла Фазовая постоянная а в области пропускания определится из выражения (7,46):

При частотах

Время прохождения волной одной ячейки при будет

т. е. не является постоянным; система обладает дисперсией.

Постоянная затухания (в области определится по формуле (7,49):

Вблизи граничной частоты где При граничной частоте

Волновое сопротивление получим из формулы (7,43):

Как и в случае низкочастотного фильтра, полученные приближенные формулы можно применять при частотах, для которых . В реальном фильтре высокой частоты имеется не одна, а множество полос пропускания и поглощения.

Реализация фильтра-глушителя высокой частоты затруднена, так как боковые отверстия выходят во внешнее пространство и через них излучается звук. Хотя в области ослабления через основной канал звук будет передаваться с большим затуханием, но через боковые отверстия он будет частично проходить. Вследствие этого трубу фильтра надо звукоизолировав от внешнего пространства.