Пульсационные колебания гибкой сферы под действием звуковой волны

Пульсационные колебания соответствуют члену 0-го порядка в разложении (9,22) для Преобразуем выражение (9,26) для полагая, что

Рассчитаем радиальную компоненту скорости на поверхности сферы. Из уравнений (9,22) и (9,29) при получим:

где амплитуда скорости частиц в падающей волне, Суммарная радиальная скорость определяется в основном первым из соотношений (9,30), за исключением случая, когда . В этом случае суммарная скорость Из первой формулы (9,30) ясно, что если условие не имеет места, то амплитуда пульсационных колебаний будет иметь максимальное значение при условии

Это условие соответствует резонансу пульсационных колебаний сферы. Для газовых пузырьков в жидкости при давлении

где значения, соответствующие температуре 0° и атмосферному давлению (для воздушного пузырька в воде . Из уравнения (9,31) для резонансной частоты газового пузырька в жидкости получим:

Для воздушных пузырьков в воде

При этом выводе не учитывалось влияние давления поверхностного натяжения Для воды, при дин/см, поэтому для пузырьков с радиусом больше см влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь. При пузырьки становятся нестабильными и растворяются в воде, так как

Преобразуем выражение (9,29а):

Оно представляет некоторый импеданс, рассчитанный на единицу площади; выражение есть удельный импеданс излучения пульсирующей сферы (при условии

удельный упругий импеданс сферического объема

Коэффициент упругости сферы (на единицу площади) равен

Анализ выражения (9,30) показывает, что при вынужденных пульсационных колебаниях малой сферы под действием плоской волны с амплитудой давления скорость колебаний на поверхности определяется разностью сжимаемостей внешней и внутренней среды и некоторым (комплексным) сопротивлением состоящим из суммы собственного (упругого) сопротивления объема сферы и сопротивления излучения

При выводе выражения (9,29) предполагалось, что Если то второе условие не усиливает с первого. При второе условие можно преобразовать так: Для газового пузырька в воде (при атм) следовательно, условие приводит к требованию: Легко видеть, что формулой (9,29) можно пользоваться до частот, в несколько раз превышающих резонансную, так как при резонансе мы еще получим а при частоте в 4 раза выше резонансной

Из формулы (9,30) следует, что поток среды через поверхность сферы равен:

Для газовой сферы в жидкости при резонансе полный поток среды через поверхность сферы будет равен:

Таким образом, объемная скорость через поверхность сферы в раз превышает поток через фронта волны. Это значит, что резонирующая сфера засасывает энергию с площади фронта волны, равного

Эта величина представляет эффективное сечение рассеяния маленького резонансного газового пузырька. Тот же вывод из несколько иных соображений получил Лэмб для любых резонаторов с малым затуханием.

Исходя из соотношения и принимая, что собственная частота резонатора типа Гельмгольца где K — проводимость горла (равная для очень короткого по длине горла приблизительно ), можно считать что площадь горла резонатора равна поверхности некоторой эквивалентной сферы; для длинных волн такое допущение вполне приемлемо. Тогда для некоторого эквивалентного модуля упругости получим:

Учитывая, что всегда получими Таким образом, резонатор искажает звуковое поле засасывает энергию аналогично сфере с модулем упругости

На поверхности сферы по формуле (9,22) давление равно:

(принимая ). Формула (9,34) представляет интерес с точки зрения анализа искажений, вносимых приемником звука в измеренное звуковое поле. В частном случае

сферического приемника давления, малого по сравнению с длиной волны с эффективной упругостью мы получим из (9,34) полный ответ на вопрос. Для различных соотношений между получим следующие выражения:

Отсюда видно, что при приемник будет правильно реагировать на внешнее воздействие, не искажая давления звукового поля (приемник, управляемый упругостью). При наступает очень сильное искажение звукового поля — давление на поверхности приемника значительно больше При (приемник, управляемый массой) поле также искажается — давление на поверхности приемника значительно меньше

При резонансе газового пузырька в воде из соотношения (9,34) получим, учитывая, что

Подсчитаем амплитуду колебаний на поверхности резонансного пузырька. Из формулы (9,33) имеем:

Так как амплитуда

то

До давлений бар можно приближенно считать и принимать то Для давлений порядка бар, часто встречающихся в практике работ с ультразвуками, развитые выше приближенные представления о явлении

резонанса уже незаконны, так как поверхность сферы движется, и задавать граничные условия на этой поверхности принимая нельзя. Задача о колебаниях газового пузырька при больших амплитудах становится достаточно сложной. При сильных колебаниях пузырька мы уже имеем дело с системой, у которой масса и упругость являются функциями амплитуды колебания.

Давление внутри пузырька при длинных волнах одинаково во всем его объеме и равно давлению на поверхности; при резонансе в полости пузырька получается давление в 68 раз больше, чем в падающей волне, и отстающее от него по фазе на

Как уже отмечено, вычисление величины давления внутри пузырька при резонансе в случае больших амплитуд, строго говоря, уже не может выполняться по (9,35).

Помимо этого, вывод выражения (9,35) недостаточно обоснован по той причине, что на границе сферы будет возникать большой градиент температуры и условия теплообмена при колебаниях малой по размерам газовой сферы с окружающей средой будут играть очень важную роль. Можно считать, что окружающая среда сохраняет практически неизменную температуру 60, а газовая сфера испытывает колебания температуры 86. Предполагая в первом приближении процесс адиабатным и исходя из уравнения найдем, что колебания температуры будут происходить по закону:

Из соотношения (9,36) явствует, что из-за наличия отрицательного квадратичного члена средняя температура газового пузырька будет ниже температуры окружающей среды. Для поддержания более низкой температуры необходимо непрерывно затрачивать работу, подобно тому, как это имеет место в холодильных машинах. Эта работа производится за счет запаса энергии звуковой волны, что приводит к усилению затухания звука.

Усиленный теплообмен маленькой сферы с окружающей средой, вызванный ее большой удельной поверхностью, исключает применение при решении задачи адиабатных уравнений. Колебания внутри сферы не будут ни строго адиабатными, ни строго изотермичными. Полученная из (9,35) величина повышения давления при резонансе (в 68 раз) является верхним пределом, который получился бы в отсутствие теплообмена. Фактическое повышение давления при резонансе будет значительно меньше. Процессы теплообмена приводят к большему (на целый

порядок) затуханию газового пузырька, чем это вытекает только из учета потерь на излучение.

Для очень упругой сферы и из соотношения (9,34) получим:

Таким образом, подтверждается уже полученный ранее результат, что малая по размерам сфера очень незначительно искажает звуковое поле.