Поток энергии в поле сферического излучателя

Вектор потока энергии через единицу площади, или вектор Умова, определяется как среднее во времени произведение давления и скорости частиц среды и вычисляется по формуле:

Поток энергии может быть вычислен по любому направлению и определяется компонентой скорости в рассматриваемом направлении. Для вычисления потока энергии в поле сферического излучателя возьмем потенциал скоростей в виде:

Звуковое давление в какой-либо точке поля

Радиальная компонента скорости на основании выражения (8.24) равна:

Компонента скорости в широтном направлении

а компонента скорости в долготном (азимутальном) направлении

Полученные формулы позволяют написать вектор Умова в радиальном, широтном и долготном (азимутальном) направлениях Используя выражение (8,35), получим:

где суммирование производится по всем возможным значениям индексов от нуля до бесконечности. Тангенциальные компоненты вектора Умова имеют вид:

Если излучающая сфера колеблется так, что ее движения выражаются при помощи сферической функции только порядка то в выражениях для потока энергии следует взять Тогда суммы в выражениях для и превратятся в один член, в который будет входить множитель Таким образом, для излучателя только одного порядка

Так как в выражение для войдет множитель то для излучения только одного порядка

При ни один из членов сумм (8,53), (8,54) и (8,55) в нуль, вообще говоря, не обращается. Из сказанного можно сделать важные выводы:

1) элементарный сферический излучатель, поверхность которого колеблется по закону, выражаемому сферической функцией только одного порядка дает в любой точке поток энергии, направленный только радиально, тангенциальные же компоненты потока энергии равны нулю;

2) сложный сферический излучатель, поверхность которого колеблется по закону, выражаемому суммой двух или большего числа сферических функций различных порядков, дает поток энергии как в радиальном, так и в тангенциальных направлениях. На больших расстояниях (при согласно (8,28) и (8,30), для получим:

На больших расстояниях тангенциальные потоки энергии на целый порядок величины 2 меньше, чем радиальные. В ближней зоне при тангенциальный поток может иметь тот же порядок величины, что и радиальный, а может быть и больше его.

Подсчитаем суммарную (глабальную) излучаемую мощность сложного излучателя, колеблющегося только в зональных сферических модах, когда и не зависит от Полную излучаемую мощность найдем, интегрируя по поверхности сферы очень большого радиуса:

При почленном интегрировании выпадут все члены, содержащие при так как

В результате получим:

Используя выражения (8,27), дающие для интенсивности звука и суммарной излучаемой мощности источников и 1 порядка получим:

где — сопротивление излучения, а

Так же найдем:

где

При вычислении излучения энергии для секториального излучателя 2-го порядка следует учесть, что коэффициент в разложении по сферическим функциям равен (см. формулу (8,34)) где амплитуда скорости в пучности секториальной зоны, т. е. на экваторе (при в (8,34) примем равным нулю

Рис. 71

Сопротивление излучения для секториального излучателя 2-го порядка можно легко вычислить, если найти выражения радиальной скорости и звукового давления. Составим выражение вектора потока энергии а затем найдем суммарное излучение через сферу радиуса

Вычисление дает для сопротивления излучения

Для удобства сравнения частотной зависимости сопротивлений излучения на рис. 71 нанесены безразмерные величины:

которые при высоких частотах стремятся к единице. Секториальный излучатель 2-го порядка на низких частотах еще

менее эффективен, чем излучатель 0-го и 1-го порядка, так как излучение пропорционально Интересно, что при имеется пологий максимум в кривой причем в этом максимуме безразмерное сопротивление излучения больше единицы.

Для излучателей 0-го и 1-го порядка таких максимумов нет.

В выражении (8,58) величины при согласно соотношениям (8,28), являются малыми порядка Таким образом, при одинаковости компонент скорости наибольшую излучаемую энергию дает член нулевого порядка. Только при условии в сумме (8,58) могут получить преобладание члены высших порядков, дающие направленное излучение; то же будет иметь место, если Таким образом, излучение малой сферы при сложном характере движения ее поверхности на больших расстояниях в случае сводится к излучению точечного источника с производительностью

Рис. 72.

В качестве примера энергетических соотношений в поле сложного сферического излучателя возьмем излучатель, на поверхности которого имеются только компоненты скорости нулевого и первого порядков, причем они синфазны; можно условно назвать его излучателем порядка. При равенстве такой излучатель представляет шар, один полюс которого остается неподвижным, второй колеблется с двойной амплитудой скорости а точки экватора колеблются с амплитудой скорости (рис. 72).

Радиальная компонента интенсивности звука вычисляется по формуле (8,53) и в развернутом виде запишется так:

Входящие сюда величины вычисляются с помощью формул (8,27) и (8,31). После преобразования получим:

На поверхности сферы при найдем:

Первые два члена в уравнении (8,63) дают поток энергии, соответствующий излучателю 0-го и 1-го порядка, как легко убедиться из сравнения с соотношениями (8,59) и (8,61). Наличие третьего члена, пропорционального показывает, что интенсивность звука в области "передней" полусферы от всегда больше, чем сумма интенсивностей а интенсивность в области "задней" полусферы от до всегда меньше, чем Тангенциальная компонента интенсивности вычисляется по формуле (8,54) и после преобразования может быть представлена в виде:

На поверхности сферы получим:

Тангенциальные потоки во всем пространстве, окружающем сферу, т. е. при как видно из (8,64), всегда положительны, т. е. идут по положительному направлению угла от переднего полюса, колеблющегося с суммарной амплитудой к заднему, колеблющемуся с амплитудой

Энергия, излучаемая в большем количестве с "передней" полусферы, протекает через экваториальную плоскость в "заднее" полупространство. При (длинные волны)

При плотность тангенциального потока энергии у поверхности в два раза меньше плотности радиального потока для излучателя 0-го порядка, как это видно из (8,59). Для коротких волн квадратная скобка в формуле (8,65) равна и поэтому будет очень мало.

При выражение (8,63) можно представить так:

где интенсивность излучателя порядка с амплитудой скорости (независимая от Квадратная скобка в выражении (8,66), будучи построена в полярных координатах, дает так называемую характеристику направленности для интенсивности звука излучателя порядка.

Рис. 73

При излучатель становится ненаправленным; характеристикой направленности будет сфера с радиусом 1. При

т. е. характеристика имеет вид кардиоиды. Для различных значений характеристики направленности показаны на рис. 73.

Чтобы лучше понять энергетический баланс излучателя порядка, вычислим полную мощность, излучаемую с поверхности передней полусферы и задней полусферы для чего необходимо проинтегрировать по поверхности сферы:

Вычисление дает:

где мощность излучателей 0-го и порядка [см. формулы (8,59) и (8,62)], а

где поверхности сферы имеем:

т. е. суммарная излучаемая мощность равна сумме мощностей излучателей 0-го и 1-го порядка. При и следовательно:

т. е. с передней полусферы излучается в 3 раза больше энергии, чем с задней.

В бесконечности, используя (8,66), найдем мощности, излучаемые через переднюю и заднюю полусферы; они также не будут равны.

где

В бесконечности аналогично соотношению (8,67).

Разница в потоках энергии через переднюю и заднюю полусферы у поверхности сферы и в бесконечности составит:

Полный поток энергии в тангенциальном направлении через экваториальную плоскость

равен Следовательно, имеет место дифракция звука, т. е. перетекание звуковой энергии через экваториальную плоскость из передней области с большей плотностью энергии в заднюю область с меньшей плотностью энергии. При длинных волнах т. е. становится очень мало. Это означает, что полное выравнивание звукового потока по всем направлениям происходит уже в ближней зоне.