Частные решения волнового уравнения

Рассмотрим простейшие виды излучателей, соответствующие вначениям

Излучатель нулевого порядка (m=0)

Из формулы (8,36), полагая равными нулю все постоянные кроме получим выражение для члена нулевого порядка в разложении потенциала скоростей по сферическим функциям:

Постоянная согласно равенству (8,33), имеет смысл средней по поверхности скорости.

С помощью формул (8,16), (8,28) и (8,31) найдем:

Величина А представляет производительность точечного излучателя:

Обратим внимание, что в выражение потенциала входит производительность А, а не объемная скорость Величина близка к объемной скорости только для длинных

волн Для коротких волн А может значительно превышать и отличаться от нее по фазе.

Если распределение скоростей по сфере определяется только функцией то, согласно формулам (8,33), т.е. излучение нулевого порядка отсутствует, но и будет присутствовать излучение, характеризуемое сферической функцией

Излучатель 1-го порядка (m=1)

Из соотношения (8,22), учитывая формулы (8,11) и (8,12) и полагая, что только постоянные не равны нулю, получим:

С помощью равенств (8,16), (8,19) и (8,31) найдем:

Первый член выражения (8,39) зависит только от полярного

Выражение подобного вида имеет место для потенциала акустического диполя (см. гл. 4), ось которого расположена по направлению причем величина имеет смысл момента диполя. При произвольном законе распределения скоростей по поверхности постоянные могут быть найдены по формулам (8,33) и (8,35).

Покажем, что второй член равенства (8,39)

дает излучение диполя, ось которого повернута на 90° по отношению к оси первого диполя. Представим выражение в виде:

где Тогда зависимая от угла часть соотношения (8,41) равна:

Преобразуем систему полярных координат, повернув ось z в плоскости азимута на 90° (рис. 63). Полярные координаты какой-либо точки в новой системе координат будут и Из сферического треугольника (рис. 64), пользуясь известной формулой косинусов, найдем:

Полагая

получим:

Рис. 63

Рис. 64

Выражение потенциала скоростей в новой системе координат примет вид:

Так как это выражение тождественно с (8,40), то ясно, что второй член в общем выражении (8,39) потенциала скоростей для излучателя 1-го порядка дает излучение диполя с осью, повернутой на 90° по отношению к оси первого диполя.

Покажем теперь, что сумма излучения двух синфазных диполей с постоянными и с осями, наклоненными под углом 90°, эквивалентна излучению одного диполя с моментом, равным геометрической сумме моментов двух диполей, и с направлением оси, лежащим между осями в плоскости За новую полярную ось примем прямую (рис. 63), угол наклона которой к оси обозначим через В.

Из сферических треугольников и по формуле косинусов, обозначая имеем:

Используя соотношение вида (8,42), для второго члена в выражении (8,39) найдем для всей сферической функции:

Если потребовать, чтобы равнялось нулю, то потенциал скоростей не будет зависеть от азимутального угла по отношению полярной оси т. е. выразится равенством, подобным (8,40), характерным для диполя с осью, направленной по При этом угол наклона новой оси к определится из соотношения:

Выражение для сферической функции (8,43) можно представить теперь в виде:

так как

Легко убедиться, что суммарный потенциал скоростей будет соответствовать потенциалу диполя с моментом

ось которого наклонена к оси под углом , определяемым соотношением (8,44).

Излучатель 2-го порядка (m=2)

Полагая в общей формуле и используя выражения (8,11), (8,12) и (8,31) получим для потенциала скоростей излучателя второго порядка:

Первый член в выражении сферической функции зависящий только от (зональная функция 2-го порядка), обращается в нуль при Это значит, что по всем направлениям, лежащим на поверхности

конуса с углом при вершине, равным 55°, излучение звука отсутствует. Форма поверхности зонального излучателя 2-го порядка представлена схематически на рис. 65,а при максимальном положительном (пунктирная кривая) и отрицательном (штрих пунктирная кривая) смещениях. Области вблизи от полюсов (две полярные шапки) колеблются синфазно; экваториальная зона от до колеблется в обратной фазе; амплитуда на экваторе в 2 раза меньше, чем на полюсе.

Рис. 65

Линии тока при (в ближней зоне) будут иметь в одну половину периода вид фонтанов, выходящих из области полярных шапок и замыкающихся в экваториальной зоне (рис. 65, б), и обратное направление во вторую половину периода. Зональный излучатель 2-го порядка дает излучение, подобное излучению суммы двух диполей с обратным направлением моментов и расположенных на малом расстоянии вдоль одной и той же оси, т.е. излучение, подобное осевому квадруполю. Реальным прообразом зонального излучателя является колебание капли или пузырька газа в жидкости, происходящее по закону При этом сфера принимает форму, похожую то на вытянутый по оси эллипсоид вращения, то на сплющенный эллипсоид вращения (рис. 65, а). Колебания сферы такого типа назовем зональными модами колебания 2-го порядка.

Третий член выражения (8,45) содержит сферическую функцию вида

Угол можно считать за начальный угол отсчета и положить Таким образом, излучатель этого типа будет характеризоваться зависимостью потенциала скоростей от угловых параметров, имеющей вид:

Очевидно, что при четырех азимутах обращается в нуль.

Рис. 66

В меридиональных плоскостях, определяемых этими углами По этим направлениям радиальная скорость и звуковое давление равны нулю, и излучение звука отсутствует. Форма колебаний поверхности сферы в двух проекциях изображена на рис. 66,а (в плоскости экватора) и рис. 66, б (в плоскостях, перпендикулярных к осям Поверхность излучателя разбивается узловыми линиями на четыре сектора, разделенных узловыми меридианами. Фаза колебаний в любых двух соседних секторах противоположна. Линии тока, выходящие из каждого сектора, в ближней зоне разветвляются в две стороны и замыкаются на два соседних сектора. Излучатель типа (8,46) называется векториальным излучателем 2-го порядка. Характеристика направленности в плоскости XV для секториального излучателя определяется функцией и имеет вид четырехлепестковой кривой (рис. 67)

Рис. 67

В меридиональных плоскостях и излучение максимально в области экватора равно нулю в полярных направлениях

Секториальные моды колебаний могут совершать жесткие сферические оболочки, капли и воздушные пузырьки в жидкости. Секториальные моды возможны также при колебаниях цилиндров и колоколов. Все эти системы при колебаниях могут разбиваться не только на четыре (колебания 2-го порядка), но и на любое четное число секторов

Рис. 68

Рис. 69

Исследования Бакгауза показали, что при низких частотах корпус скрипки колеблется по форме, приблизительно напоминающей секториальную моду 2-го порядка, причем узловые линии проходят посередине передней и задней деки (рис. 68) и посередине боковых стенок.

Второй член выражения (8,45) содержит сферическую функцию вида:

Не уменьшая общности, можно считать, что Этот тип излучателя носит название тессералъного излучателя 2-го порядка. Нетрудно показать, что излучатель этого типа тождествен с секториальным, ось которого повернута на 90° так, что новая ось заняла положение старой оси (рис. 69). Тогда ось X пойдет по старой оси а ось старой оси Обозначив новый полярный угол через и азимут

через выразим декартовы координаты точки через старые и новые полярные углы:

Из этих выражений найдем:

Полагая и подставляя в выражения новых угловых координат через старые, получим:

Полученная форма сферической функции тождественна форме (8,46) для секториального излучателя при условии определенного выбора начального угла отсчета по азимуту