Коэффициент поглощения звука как функция импеданса на конце трубы

Рассмотрим несколько подробнее соотношение (5,21):

Импеданс есть, вообще говоря, величина комплексная; обозначим активное сопротивление через и реактивное через тогда

где

безразмерное активное и реактивное сопротивления на единицу площади трубы. Учитывая выражения (5,28) и (5,29), формулу (5,21) запишем в виде:

Выразим через

Если

Поскольку фаза может быть равна (при ) или неочевидно, могут при принимать все значения проходя через нуль. Следовательно:

Величину можно представить как

где всегда нетрудно показать, что

При изменении от 1 до величина в меняется от до . В табл. 3 приведены значения для различных

Таблица 3 (см. скан)

Используя соотношение (5,33), получим

где

Тогда из формулы (5,34) следует:

Разлагая на действительную и мнимую часть и учитывая, что нетрудно найти, что

Или, учитывая равенства (5,26) и (5,33а) и выражая через получим:

По этой формуле можно вычислить и по измеренным на опыте величинам . Геометрическая интерпретация преобразования (5,35) или обратного ему преобразования (5,30) и (5,31) будет дана ниже. Преобразование такого типа очень часто используется в теории электрических линий.

Если из опыта известно значение то коэффициент отражения найдем по формуле Это соотношение служит для определения коэффициента отражения по методу стоячих волн в трубе (методу акустического интерферометра).

Обычно для практических целей вычисляют отношение поглощенной звуковой энергии к энергии падающего звука. Поскольку интенсивность звука пропорциональна квадрату амплитуды звукового давления, то отношение интенсивности отраженного звука к интенсивности падающего равно а величина

представляет отношение поглощенной энергии к падающей, т. е. коэффициент поглощения звуковой энергии. Величина называется коэффициентом поглощения звука.

Обратим внимание, что в равенстве (5,23) координата х входит во второй член только в сочетании Это значит, что расстояние максимумов и минимумов от конца трубы при данном зависит только от величины , которая является функцией лишь но не зависит от

Величина легко измеряется на опыте, что дает возможность определить

Преобразование, выраженное формулами (5,30) и (5,31), или обратное преобразование представляют

дробно-линейные конформные преобразования, которые можно изобразить графически на плоскости комплексного переменного. Отложим по оси абсцисс величину а по оси ординат величину Любой импеданс изобразится некоторой точкой на плоскости комплексного переменного Найдем на плоскости форму линий, на которых величина коэффициента поглощения звука а (а также величины будет иметь постоянное значение. На основании уравнения (5,30)

Это выражение можно преобразовать так:

Точно так же из равенства (5,31) легко получим уравнение линий, для которых

Рассматривая и в соотношениях (5,37) и (5,38) как независимые переменные, а как параметры, придем к заключению, что линии равного , выражаемые уравнением (5,37), изобразятся семейством окружностей с центрами на оси отстоящими от начала на расстоянии

и с радиусами

Окружность, соответствующая имеет бесконечно большой радиус, и центр ее находится на расстоянии При стремлении к радиус окружности уменьшается и стремится к нулю, а центр ее стремится к точке

Линии равных В (или равных на основании уравнения (5,38) будут представлять также семейство окружностей с центрами, лежащими на оси на расстоянии

и с радиусами, равными

Все эти окружности проходят через точку соответствующую

Семейство линий, равных а и , изображено на графике (рис. 22), который мы будем называть импеданс-диаграммой. Образец полной импеданс-диаграммы, пригодной для практических расчетов, приведен на рис. 23 в уменьшенном масштабе.

Экспериментальное определение положения максимума, необходимое для нахождения фазы, осуществляется не точно, так как максимум является весьма размытым.

Рис. 22

Выгоднее определять положение первого минимума а затем определять В по формуле (5,25).

Фазовая окружность с центром в начале координат (рис. 24) и с радиусом, равным единице, относится к значению Отрезок оси от начала до соответствует фазовой окружности а отрезок окружности

Величину можно определить методом стоячих волн и вычислить из нее (или ) находится по положению первого

нимума давления в стоячей волне, соответствующего для которого

Рис. 23 (см. скан)

Величины могут, согласно выражениям (5,31), принимать значения от —1 до +1, может меняться в пределах а величина фазы пределах будет меняться от до Очевидно,

что положение первого минимума при вычислении по формуле (5,39) получится внутри трубы в пределах от до фаза через выразится формулой

В случае жесткой стенки Первый минимум давления будет лежать на расстоянии

Рис. 24

В случае инерционного импеданса всегда (см. формулы (5,31)). Это значит, что , и положение первого минимума получим в пределах (рис. 24). При очень малом инерционном сопротивлении и активном сопротивлении близок к к нулю; следовательно, близко к

Для упругого импеданса и ; первый минимум будет лежать в пределах

При переходе окружности равного через точку как это следует из формул (5,31), меняют

свой знак на обратный, сохраняя абсолютную величину. Это значит, что изменяется скачком на причем остается неизменным и знака не меняет. Фаза уменьшается при этом скачком на 0,5. Таким образом, если на верхней части окружности фаза сохраняет некоторое постоянное значение то на нижней ее части фаза будет Значения — на линии равного при значениях отличаются лишь знаком. На импеданс-диаграмме (рис. 23) цифры на окружностях равной фазы в верхней полуплоскости означают в нижней полуплоскости чтобы избежать отрицательных значений, нанесены величины

Конформное преобразование удобно изображать на двух отдельных диаграммах для области малых коэффициентов поглощения и для области больших коэффициентов поглощения. На диаграмме целесообразно откладывать величины (в децибелах), так как эти величины определяются непосредственно из опыта. Вычисление по величинам (или обратно) ведется по формуле:

На опыте определяются величины звукового давления в минимумах и максимумах и положение первого минимума Затем, вычислив по вышеприведенным формулам находят по импеданс-диаграмме и

При переходе через резонанс (при изменении частоты) знак реактивной части меняется, и точка на диаграмме всегда проходит через ось абсцисс. Согласно формулам (5,31), при переходе через знак меняется на обратный, остается неизменным. Если Фаза будет скачком изменяться от значения —0,5 к значению Наоборот, если то при переходе через ось абсцисс фаза — меняется плавно, переходя через нуль. Если безразмерный импеданс простой резонансной системы

то при резонансе, когда импеданс будет чисто активным Формула (5,40) изобразится на

импеданс-диаграмме прямой, параллельной оси и проходящей через точку и Эта прямая касается при резонансе некоторой окружности равного поглощения рис. 22). Из чертежа ясно, что при частотах, отличных от резонансной, когда обязательно , т. е. будет иметь при резонансе максимум. Обратим внимание, что при тех же параметрах но при меньшем той же окружности касается еще вторая прямая, параллельная оси Первая прямая соответствует а вторая резонансная частота для обоих случаев одинакова Легко убедиться, что всегда Первый случай отвечает резонансу в системе с большим затуханием, второй — с малым. Для обеих систем при резонансе

но первая система будет иметь более пологую резонансную кривую, а вторая — более острую.

Из рис. 22 видно, что фаза — для резонатора с большим значением сопротивления при переходе через резонанс от низких частот к высоким будет меняться плавно, переходя через нуль от отрицательных значений к положительным. Схема изменения в зависимости от частоты дана на рис. 25 (здесь учтены раздельно оба случая:

Если резонатор имеет отрицательное реактивное сопротивление; фаза при постепенном увеличении частоты убывает от нуля до — 0,5 (при резонансе), убывает от до нуля. При переходе через резонанс фаза скачком изменяется от значения — 0,5 до 0,5, а положение минимума перескакивает с нуля на (пунктир); при дальнейшем росте фаза убывает от 0,5 до нуля, смещается от до

В случае изменение фазы и положения первого минимума легко проследить на рис. 22 или 25. При возрастании (начиная от 0) точка, изображающая импеданс, движется по прямой кверху, а фаза убывает, начиная с нуля до некоторой минимальной (отрицательной) величины которая достигается при частоте и определится из условия касания прямой некоторой фазовой окружностью

в нижней полуплоскости. При этом условии радиус фазовой окружности должен равняться Далее фаза начнет возрастать и достигнет при резонансе нуля. При дальнейшем росте фаза делается положительной и точка переходит в верхнюю полуплоскость. При частоте произойдет касание прямой со второй фазовой окружностью одинакового радиуса с первой, что соответствует условию

Рис. 25

В этой точке фаза достигнет максимума и затем, при росте до бесконечности, начнет убывать до нуля. Частоты при которых ход фазы изменяет свое направление, определяются из уравнения (5,38). Условия касания имеют вид:

Учитывая, что получим квадратное уравнение:

из которого найдем два значения частоты Легко видеть, что, согласно равенству при росте нуля до сначала падает от до затем начинает плавно возрастать до а затем снова убывает до