Коэффициент поглощения звука как функция импеданса на конце трубы
Рассмотрим несколько подробнее соотношение (5,21):
Импеданс
есть, вообще говоря, величина комплексная; обозначим активное сопротивление через
и реактивное через
тогда
где
безразмерное активное и реактивное сопротивления на единицу площади трубы. Учитывая выражения (5,28) и (5,29), формулу (5,21) запишем в виде:
Тогда из формулы (5,34) следует:
Разлагая
на действительную и мнимую часть и учитывая, что
нетрудно найти, что
Или, учитывая равенства (5,26) и (5,33а) и выражая
через
получим:
По этой формуле можно вычислить и
по измеренным на опыте величинам
. Геометрическая интерпретация преобразования (5,35) или обратного ему преобразования (5,30) и (5,31) будет дана ниже. Преобразование такого типа очень часто используется в теории электрических линий.
Если из опыта известно значение
то коэффициент отражения найдем по формуле
Это соотношение служит для определения коэффициента отражения по методу стоячих волн в трубе (методу акустического интерферометра).
Обычно для практических целей вычисляют отношение поглощенной звуковой энергии к энергии падающего звука. Поскольку интенсивность звука пропорциональна квадрату амплитуды звукового давления, то отношение интенсивности отраженного звука
к интенсивности падающего
равно
а величина
представляет отношение поглощенной энергии к падающей, т. е. коэффициент поглощения звуковой энергии. Величина
называется коэффициентом поглощения звука.
Обратим внимание, что в равенстве (5,23) координата х входит во второй член только в сочетании
Это значит, что расстояние
максимумов и минимумов от конца трубы при данном
зависит только от величины
, которая является функцией лишь
но не зависит от
Величина
легко измеряется на опыте, что дает возможность определить
Преобразование, выраженное формулами (5,30) и (5,31), или обратное преобразование
представляют
дробно-линейные конформные преобразования, которые можно изобразить графически на плоскости комплексного переменного. Отложим по оси абсцисс величину
а по оси ординат величину
Любой импеданс
изобразится некоторой точкой на плоскости комплексного переменного
Найдем на плоскости
форму линий, на которых величина коэффициента поглощения звука а (а также величины
будет иметь постоянное значение. На основании уравнения (5,30)
Это выражение можно преобразовать так:
Точно так же из равенства (5,31) легко получим уравнение линий, для которых
Рассматривая и в соотношениях (5,37) и (5,38) как независимые переменные, а
как параметры, придем к заключению, что линии равного
, выражаемые уравнением (5,37), изобразятся семейством окружностей с центрами на оси отстоящими от начала на расстоянии
и с радиусами
Окружность, соответствующая
имеет бесконечно большой радиус, и центр ее находится на расстоянии
При стремлении
к
радиус окружности уменьшается и стремится к нулю, а центр ее стремится к точке
Линии равных В (или равных
на основании уравнения (5,38) будут представлять также семейство окружностей с центрами, лежащими на оси
на расстоянии
и с радиусами, равными
Все эти окружности проходят через точку
соответствующую
Семейство линий, равных а и
, изображено на графике (рис. 22), который мы будем называть импеданс-диаграммой. Образец полной импеданс-диаграммы, пригодной для практических расчетов, приведен на рис. 23 в уменьшенном масштабе.
Экспериментальное определение положения максимума, необходимое для нахождения фазы, осуществляется не точно, так как максимум является весьма размытым.
Рис. 22
Выгоднее определять положение первого минимума
а затем определять В по формуле (5,25).
Фазовая окружность с центром в начале координат (рис. 24) и с радиусом, равным единице, относится к значению
Отрезок оси от начала до
соответствует фазовой окружности
а отрезок
окружности
Величину
можно определить методом стоячих волн и вычислить из нее
(или
) находится по положению первого
свой знак на обратный, сохраняя абсолютную величину. Это значит, что
изменяется скачком на
причем
остается неизменным и знака не меняет. Фаза уменьшается при этом скачком на 0,5. Таким образом, если на верхней части окружности фаза сохраняет некоторое постоянное значение то на нижней ее части фаза будет
Значения — на линии равного
при значениях
отличаются лишь знаком. На импеданс-диаграмме (рис. 23) цифры на окружностях равной фазы в верхней полуплоскости
означают
в нижней полуплоскости
чтобы избежать отрицательных значений, нанесены величины
Конформное преобразование
удобно изображать на двух отдельных диаграммах для области малых коэффициентов поглощения и для области больших коэффициентов поглощения. На диаграмме целесообразно откладывать величины
(в децибелах), так как эти величины определяются непосредственно из опыта. Вычисление
по величинам
(или обратно) ведется по формуле:
На опыте определяются величины звукового давления в минимумах и максимумах
и положение первого минимума
Затем, вычислив по вышеприведенным формулам
находят по импеданс-диаграмме и
При переходе через резонанс (при изменении частоты) знак реактивной части меняется, и точка на диаграмме всегда проходит через ось абсцисс. Согласно формулам (5,31), при переходе
через
знак
меняется на обратный,
остается неизменным. Если
Фаза
будет скачком изменяться от значения —0,5 к значению
Наоборот, если то при переходе через ось абсцисс фаза — меняется плавно, переходя через нуль. Если
безразмерный импеданс простой резонансной системы
то при резонансе, когда
импеданс будет чисто активным
Формула (5,40) изобразится на
импеданс-диаграмме прямой, параллельной оси
и проходящей через точку и
Эта прямая касается при резонансе некоторой окружности равного поглощения
рис. 22). Из чертежа ясно, что при частотах, отличных от резонансной, когда
обязательно
, т. е.
будет иметь при резонансе максимум. Обратим внимание, что при тех же параметрах
но при меньшем той же окружности
касается еще вторая прямая, параллельная оси
Первая прямая соответствует
а вторая резонансная частота для обоих случаев одинакова
Легко убедиться, что всегда
Первый случай отвечает резонансу в системе с большим затуханием, второй — с малым. Для обеих систем при резонансе
но первая система будет иметь более пологую резонансную кривую, а вторая — более острую.
Из рис. 22 видно, что фаза — для резонатора с большим значением сопротивления
при переходе через резонанс от низких частот к высоким будет меняться плавно, переходя через нуль от отрицательных значений к положительным. Схема изменения
в зависимости от частоты
дана на рис. 25 (здесь учтены раздельно оба случая:
Если
резонатор имеет отрицательное реактивное сопротивление; фаза при постепенном увеличении частоты убывает от нуля до — 0,5 (при резонансе),
убывает от
до нуля. При переходе через резонанс фаза скачком изменяется от значения — 0,5 до 0,5, а положение минимума
перескакивает с нуля на
(пунктир); при дальнейшем росте
фаза убывает от 0,5 до нуля,
смещается от
до
В случае
изменение фазы и положения первого минимума легко проследить на рис. 22 или 25. При возрастании
(начиная от 0) точка, изображающая импеданс, движется по прямой
кверху, а фаза убывает, начиная с нуля до некоторой минимальной (отрицательной) величины которая достигается при частоте
и определится из условия касания прямой
некоторой фазовой окружностью