ГЛАВА 2. ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Уравнение плоской волны

Предположим, что в любой плоскости, перпендикулярной к оси х, все величины, характеризующие волновое движение в данный момент времени, одинаковы и изменение состояния движения происходит только при переходе от одной плоскости к другой. В этом случае производные и в уравнении (1,14) равны нулю, а зависит только от Волновой процесс будет описываться уравнением:

Это — волновое уравнение для плоской волны. Вид этого уравнения показывает, что все движения происходят лишь в направлении оси х, так как скоростит) всегда равны нулю. Для решения уравнения (2,1) введем, согласно методу д'Аламбера, новые переменные:

Тогда

и уравнение после сокращения примет вид:

Интегрируя его, найдем, что произвольная функция от Вторичное интегрирование дает:

где обозначен через а произвольная функция появляется как произвольная постоянная интегрирования по Возвращаясь к переменным получим:

где совершенно произвольные функции от аргументов заданного вида. Таким образом, общее решение волнового уравнения характерно не видом функции, а видом аргумента составленного из переменных

Из уравнения (2,2) найдем, согласно формулам (1,9) и (1,10):

где производные функции по их аргументу. Следовательно, выражаются формулами того же типа, как двумя произвольными функциями.

Пусть в начальный момент в среде в интервале от до создано такое возмущение, что скорости в этом интервале равны нулю, а давление равно Условия в начальный момент могут быть самыми различными; они называются начальными условиями. Первое из уравнений (2,3) позволяет тогда заключить, что в интервале от до а при Следовательно, согласно второму уравнению (2,3), состоит из двух равных частей и в интервале х от до при

Первая часть импульса в момент даст при значениях аргумента лежащих в интервале от а до т. е. между точками с абсциссами (рис. 2). Иными словами, первая часть импульса продвинется, не изменяя своей формы, на расстояние по направлению положительной оси х.

Вторая часть импульса даст в интервале аргумента от до или от до эта часть импульса, не изменяя своей формы, продвинется на отрезок в направлении

отридательной оси х. Скорость будет иметь значения и в области каждого из двух импульсов отдельно и будет равна нулю в той части пространства, где импульсы налагаются друг на друга. На рис. 2 показано положение и величина составляющих давления суммарного импульса в начальный и в два последующих момента времени.

(см. скан)

Если в начальный момент времени имеется некоторый произвольной формы импульс давления (или скорости заданный в функции от х, то из уравнений (2,3) можно определить обе произвольные функции вообще говоря, не равные друг другу. С течением времени импульсы вида будут перемещаться, не изменяя формы, первый по направлению а второй по направлению

Из приведенного рассуждения совершенно ясно, что некоторая фаза любого импульса, соответствующая значению а аргумента функций или (начало, конец, максимум или другая характерная точка в случае импульса сложного вида) за время от до Для первой части импульса, выражаемой функцией от аргумента переместится из положения а в положение . Для второй части, выражаемой функцией аргумента из положения в положение

Таким образом, для первой части импульса, распространяющейся по направлению имеем:

а для второй части импульса, распространяющейся по направлению — х,

Из этих выражений совершенно ясно, что введенная ранее величина имеет физический смысл скорости распространения произвольного импульса, возникшего в каком-либо слое среды. Если от частоты не зависят, то и скорость с не зависит от частоты, т. е. дисперсии звуковых волн нет. В области ультразвуковых волн х в газах существенно зависит от частоты, вследствие чего появляется дисперсия. Выводы о неизменности формы импульса относятся в одинаковой мере к импульсу давления или импульсу скорости частиц, а также и к импульсу, содержащему сочетание того и другого, и справедливы, если отсутствует дисперсия. Всякая (плоская) деформация среды, возникшая в некотором слое в начальный момент времени, передается в виде двух импульсов, разбегающихся в противоположные стороны со скоростью с, причем форма импульсов, т. е. вид функции и при распространении не изменяется. Такой процесс распространения деформаций в упругой среде называется плоской волной. Так как скорости колебания частиц направлены по линии распространения волн, то в данном случае мы имеем продольные волны.

Когда импульс возникает в газе около жесткой стенки, совпадающей с плоскостью волновой процесс не может распространяться по направлению отрицательной оси х и решение волнового уравнения может быть написано в форме:

Если движение среды на твердой границе (или вид функции при ) задано в функции времени, то вид функции будет известен и волновой процесс будет вполне определен во всех других точках среды в любой момент времени. Таким образом, в данном случае для полного определения вида волнового процесса не надо задавать двух независимых начальных условий для давления и скорости частиц, а достаточно задать лишь одно граничное условие либо для

либо для так как эти величины, как это видно из уравнений , связаны друг с другом.

Если функция периодическая, например или то получим периодический волновой процесс, бегущий в обе стороны от плоскости возбуждения со скоростью с.

Уравнение (2,4) описывает волну, распространяющуюся только по направлению Разделив уравнения на получим:

В бегущей волне при любой форме импульса (а также и в периодическом процессе), давление в любой точке пропорционально скорости частиц и находится с ней в одинаковой фазе.