ГЛАВА 2. ПЛОСКАЯ ВОЛНА
Уравнение плоской волны
Предположим, что в любой плоскости, перпендикулярной к оси х, все величины, характеризующие волновое движение в данный момент времени, одинаковы и изменение состояния движения происходит только при переходе от одной плоскости к другой. В этом случае производные и в уравнении (1,14) равны нулю, а
зависит только от
Волновой процесс будет описываться уравнением:
Это — волновое уравнение для плоской волны. Вид этого уравнения показывает, что все движения происходят лишь в направлении оси х, так как скоростит)
всегда равны нулю. Для решения уравнения (2,1) введем, согласно методу д'Аламбера, новые переменные:
Тогда
и уравнение
после сокращения примет вид:
Интегрируя его, найдем, что
произвольная функция от
Вторичное интегрирование дает:
где
обозначен через а произвольная функция
появляется как произвольная постоянная интегрирования по
Возвращаясь к переменным
получим:
где
совершенно произвольные функции от аргументов заданного вида. Таким образом, общее решение волнового уравнения характерно не видом функции, а видом аргумента
составленного из переменных
Из уравнения (2,2) найдем, согласно формулам (1,9) и (1,10):
где
производные функции по их аргументу. Следовательно,
выражаются формулами того же типа, как
двумя произвольными функциями.
Пусть в начальный момент
в среде в интервале от
до
создано такое возмущение, что скорости в этом интервале равны нулю, а давление равно
Условия в начальный момент могут быть самыми различными; они называются начальными условиями. Первое из уравнений (2,3) позволяет тогда заключить, что в интервале от
до
а при
Следовательно, согласно второму уравнению (2,3),
состоит из двух равных частей и в интервале х от
до
при
Первая часть импульса
в момент
даст
при значениях аргумента
лежащих в интервале от
а до
т. е. между точками с абсциссами
(рис. 2). Иными словами, первая часть импульса продвинется, не изменяя своей формы, на расстояние
по направлению положительной оси х.
Вторая часть импульса
даст
в интервале аргумента от
до
или от
до
эта часть импульса, не изменяя своей формы, продвинется на отрезок
в направлении
отридательной оси х. Скорость
будет иметь значения
и
в области каждого из двух импульсов отдельно и будет равна нулю в той части пространства, где импульсы налагаются друг на друга. На рис. 2 показано положение и величина составляющих давления суммарного импульса в начальный и в два последующих момента времени.
(см. скан)
Если в начальный момент времени имеется некоторый произвольной формы импульс давления
(или скорости
заданный в функции от х, то из уравнений (2,3) можно определить обе произвольные функции
вообще говоря, не равные друг другу. С течением времени импульсы вида
будут перемещаться, не изменяя формы, первый по направлению
а второй по направлению
Из приведенного рассуждения совершенно ясно, что некоторая фаза любого импульса, соответствующая значению а аргумента функций
или
(начало, конец, максимум или другая характерная точка в случае импульса сложного вида) за время от
до Для первой части импульса, выражаемой функцией
от аргумента
переместится из положения
а в положение
. Для второй части, выражаемой функцией
аргумента
из положения
в положение
Таким образом, для первой части импульса, распространяющейся по направлению имеем:
а для второй части импульса, распространяющейся по направлению — х,
Из этих выражений совершенно ясно, что введенная ранее
величина
имеет физический смысл скорости распространения произвольного импульса, возникшего в каком-либо слое среды. Если
от частоты не зависят, то и скорость с не зависит от частоты, т. е. дисперсии звуковых волн нет. В области ультразвуковых волн х в газах существенно зависит от частоты, вследствие чего появляется дисперсия. Выводы о неизменности формы импульса относятся в одинаковой мере к импульсу давления или импульсу скорости частиц, а также и к импульсу, содержащему сочетание того и другого, и справедливы, если отсутствует дисперсия. Всякая (плоская) деформация среды, возникшая в некотором слое в начальный момент времени, передается в виде двух импульсов, разбегающихся в противоположные стороны со скоростью с, причем форма импульсов, т. е. вид функции
и при распространении не изменяется. Такой процесс распространения деформаций в упругой среде называется плоской волной. Так как скорости колебания частиц направлены по линии распространения волн, то в данном случае мы имеем продольные волны.
Когда импульс возникает в газе около жесткой стенки, совпадающей с плоскостью
волновой процесс не может распространяться по направлению отрицательной оси х и решение волнового уравнения может быть написано в форме:
Если движение среды на твердой границе
(или вид функции
при
) задано в функции времени, то вид функции
будет известен и волновой процесс будет вполне определен во всех других точках среды в любой момент времени. Таким образом, в данном случае для полного определения вида волнового процесса не надо задавать двух независимых начальных условий для давления и скорости частиц, а достаточно задать лишь одно граничное условие либо для