Сферический излучатель звука с бегущей волной

Зададим радиальную скорость бегущей в азимутальном направлении волны на поверхности сферы в следующей форме:

где амплитуда скорости на экваторе, полярный угол, — круговая частота, время, а целые числа. Решая задачу обычным способом, для потенциала скоростей звукового поля получим:

Из этого выражения ясно, что в поле, окружающем сферу, возникают волны, бегущие в азимутальном направлении.

Коэффициент определяется путем интегрирования по поверхности сферы:

Принимая, что амплитуда от экватора убывает к полюсам по закону т. е. полагая в частном случае получим:

Тогда:

При используя формулу Стирлинга, приближенно получим

При и больших, согласно закону будем иметь очень малые амплитуды бегущих волн в полярных областях; они затем быстро нарастают и в области, близкой к экватору, принимают почти постоянные значения. В этом случае излучение концентрируется в круговом экваториальном поясе (в направлениях, близких к Такой излучатель может быть реализован приближенно в форме быстро вращающегося сферического пояса с синусоидальными бороздками (числом на всю окружность), к основаниям которого примыкают полусферические неподвижные экраны. Ввиду того что подобный излучатель можно построить, несколько подробнее остановимся на его теории.

Потенциал скорости (8,79), если на основании (8,11) и (8,80 б) примет вид:

При больших значениях вдали от излучателя, согласно формулам (8,28) и (8,29), получим:

Вектор Умова в радиальном направлении

а амплитуда звукового давления

Вектор Умова в азимутальном направлении равен:

Таким образом, для излучателя с бегущей волной существует как радиальный, так и азимутальный поток энергии. Азимутальный поток резко убывает с расстоянием, причем он замыкается кольцом вокруг сферы и, следовательно, не связан с потерей энергии на излучение.

Излучатель с бегущей волной в любом азимутальном направлении при дает интенсивность звука, не зависящую от азимута Это — отличительная особенность излучателя с бегущей волной. Излучатель секториального типа, для которого скорость на поверхности задается выражением дает в функции азимута характеристику направленности с лепестками; его можно рассматривать как суперпозицию двух излучателей с бегущей волной, имеющих равные амплитуды, но противоположные направления. Такой характер будет иметь, например, звуковое поле двух соосных пропеллеров, вращающихся в различные стороны.

Сравним суммарные потоки энергии в радиальном и в азимутальном направлениях:

Таким образом,

При соблюдении условия (длинные волны) азимутальный поток энергии может значительно превышать радиальный. Сложение двух встречных азимутальных потоков равной величины соответствует сферическому излучателю, на поверхности которого имеется стоячая волна секториального типа. Для подобного излучателя, как было нами показано (см. 8,55а), азимутальный поток энергии равен нулю, однако в ближней зоне возникает» присоединенная энергия, формирующаяся за счет сложения двух

встречных азимутальных волн. Она является источником инерционных свойств звукового поля и может быть описана путем введения понятия "присоединенной массы" обладающей кинетической энергией Для длинных волн полная излучаемая мощность

а интенсивность звука

Если то и при из уравнения (8,81) получим:

Таким образом, в плоскости экватора и излучение максимально; по величине оно соответствует излучению с единицы площади бесконечного по размерам поршня с амплитудой скорости

Согласно соотношениям (8,84), при

Полная мощность, излучаемая сферой, меньше, чем излучение бесконечного поршня площади потому что в направлениях, отличных от экваториального, интенсивность убывает и при становится равной нулю.

Значения множителя даны в табл. 10.

Таблица 10 (см. скан)

Излучение звука бегущими в азимутальном направлении волнами можно заменить кинематически эквивалентной системой ротационного излучателя в виде жесткой сферы с

синусоидальными бороздками (рис. 76), быстро вращающейся вокруг оси. Если число оборотов сферы в секунду и - число бороздок по окру лености, то частота излучаемого звука будет а

где

окружная скорость на экваторе сферы. В этом случае условие эквивалентно условию:

Рис. 76

Таким образом, формулы (8,85) и (8,86) справедливы при окружных скоростях (или соответственно при скоростях изгибных волн в сферической оболочке), значительно меньших скорости звука. Из уравнений (8,85) и (8,86) следует, что эффективность излучения при резко зависит от величины отношения При согласно (8,87), излучение стремится к предельной величине, не зависящей от

Представляет интерес произвести расчет излучения по точной формуле (8,81) для конкретного случая вращающейся в воздухе сферы с синусоидальными бороздками.

Положим радиус сферы , амплитуду бороздок см. Используя таблицы для функций получим величины, характеризующие звуковое поле, которые представлены в табл. 11.

Таблица 11 (см. скан)

Интересно отметить, что нарастание мощности излучения и уровня интенсивности с числом оборотов происходит при гораздо быстрее, чем при

При частотах об/сек излучатель с двумя волнами по окружности значительно эффективнее, чем излучатель с восемью волнами. Следует отметить, что при том же числе оборотов первый излучатель дает в 4 раза меньшую частоту. Равенство интенсивностей для достигается при окружной скорости с но при соответственно различных частотах. Результаты теоретического расчета показывают возможность получения значительных интенсивностей звука в воздухе при условии получения больших окружных скоростей, приближающихся к скорости звука.

Аналогичный расчет для излучения звука в воде показывает, что эффективность излучения при том же числе оборотов излучателя будет крайне мала, так как отношение будет значительно меньше и, следовательно, будут малы величины Для увеличения интенсивности потребуется задавать столь большие скорости вращения, что их получение практически недостижимо.

Все приведенные расчеты основываются на линейной теории звукового поля без учета вязкости среды. При возбуждении изгибных круговых бегущих волн в цилиндрической оболочке или в пластинке (с помощью подходящего механизма) законность подобных расчетов не вызывает сомнения, так как радиальные и тангенциальные скорости остаются намного меньше скорости звука. Однако при получении бегущих волн путем вращения сферы с бороздками вязкостные эффекты при больших окружных скоростях, когда с сравнимо с с, безусловно играют большую роль; пограничный слой среды будет увлекаться бороздками, и в результате вращающаяся зубчатка, как бы обволакиваясь прилипшим слоем, станет более гладкой, чем это соответствует действительной форме бороздок. Отсюда можно сделать предположение, что амплитуда радиальных колебаний уменьшится и эффективность излучения будет меньше, чем дает теоретический расчет без учета вязкости. С другой стороны, из аэродинамики известно, что при тангенциальных скоростях, приближающихся к скорости звука, каждая неровность на поверхности вызывает возникновение ударной волны. Очевидно, что так же должны действовать и бороздки на поверхности вращающейся сферы, и тогда следует ожидать значительной интенсивности звукового излучения.

Звуковое поле сферического пояса шириной от до с поверхностными волнами, бегущими в азимутальном

направлении заданным законами (8,78), и с неподвижными полярными сегментами может быть рассчитано по формуле (8,79), где вместо выражения (8,80) определится так:

Если то коэффициент выражается следующим образом:

Для излучателя с радиусом см и шириной пояса при

вместо для полной сферы

Поскольку в соотношение (8,79) для потенциала скоростей входит множитель амплитудный коэффициент то звуковое давление пояса (при прочих равных условиях) будет меньше, чем для полной сферы в отношении 0,604 (при ) и 0,364 (при ). Таким образом, излучение сферического пояса, ограниченного двумя полярными полусферическими экранами, не сильно отличается от излучения полной сферы, причем разница тем меньше, чем больше параметр который определяет закон спадания амплитуды волн от экватора к полюсам.

Интересно провести аналогию поля излучателей с бегущей волной со "звуком вращения" пропеллера. Л. Я. Гутиным была решена задача нахождения звукового поля пропеллера и выяснено, что возникающий "звук вращения" связан с силовыми воздействиями пропеллера на окружающую среду и определяется тягой винта и его моментом вращения Им указан также путь расчета дополнительного излучения звука за счет периодического вытеснения среды вращающимся телом. Для

амплитуды гармоники звукового давления на расстоянии и под углом к оси винта для этой последней части звука вращения получено:

где число лопастей винта, круговая частота звука, число оборотов винта в секунду, V — объем всех лопастей винта, некоторый средний радиус, приблизительно равный 0,75 радиуса конца лопасти.

Вводя окружную скорость, соответствующую радиусу

получим:

Для основного тона

При длинных волнах , и можно в первом приближении принять, что Используя формулу Стирлинга, получим:

Это выражение дает хорошее приближение при 3. Сравним величину давления с соответствующей величиной (в случае длинных волн) для вращающейся сферы с синусоидальными бороздками на поверхности (формула (8,82)):

Учитывая, что амплитуда бороздки где амплитуда бороздки на экваторе, и что площадь сечения бороздки равна найдем объем, вытесняемый одной бороздкой:

Интеграл вычисляется так же, как и в формулах (8,80), и при будет близок к Обозначая этот интеграл через найдем для полного объема среды, вытесняемого бороздками:

Введем величину V в выражение для амплитуды скорости

Так как

где с — окружная скорость движения волн на экваторе, то выражение для звукового давления, используя формулу Стерлинга, при больших приведем к виду:

Выражения (8,89) и (8,90) дают совершенно одинаковую зависимость давления от величины вытесняемого объема V, угла расстояния радиуса вращающегося тела и от отношения окружной скорости волн к скорости звука с в окружающей среде. Зависимость от числа лопастей (или бороздок) в основном тождественна зависимости вида разница в дополнительных множителях в формулах (8,89) и (8,90) оказывается незначительной. Имеем

При это выражение приблизительно равно При это отношение, вычисленное по точной формуле, получается примерно такой же величины. Таким образом, звуковое давление в случае ротационного излучателя, вычисляемое по формулам Гутина для объемного звука вращения, и звуковое давление в поле сферического излучателя с бегущей волной оказываются величинами одного порядка.

Незначительность расхождения результатов расчета двумя совершенно различными методами заслуживает внимания. Ясно, что звуковое поле для подобных систем при длинных волнах в основном определяется величиной объема вращающихся лопастей (или бороздок), их числом, расстоянием от оси и скоростью вращения независимо от формы вращающихся тел.