Скорость звука

Для малых деформаций можно применить закон Гука (гл. 1):

где модуль объемной упругости. В условиях звуковых колебаний при сжатии среды происходит ее нагревание, а при разрежении — охлаждение. Поскольку можно предположить, что температура за время колебания не успевает выравниваться, то мы должны под х понимать адиабатический модуль упругости, который будет больше, чем изотермический модуль.

Переходя к пределу, для бесконечно малых деформаций получим:

или

Величина скорости звука с может быть, следовательно, определена, если известна зависимость плотности от давления, т. е. уравнение состояния вещества. Как ясно из уравнения скорость звука является некоторой константой, характерной для данного вещества в определенных условиях; с может зависеть от температуры и давления среды.

На основании адиабатного закона Пуассона для газа можно написать:

где постоянное давление в газе, а

Разлагая правую часть в ряд, имеем:

Пренебрегая малыми членами порядка выше первого, получим:

Так как это выражение имеет форму закона Гука, можно заключить, что

Это соотношение, как ясно из вывода, выполняется лишь для малых амплитуд колебаний. Для скорости звука при малых амплитудах получим:

Более точное выражение получим, используя формулы (2,8) и (2,9):

откуда

т. е. скорость звука в газе зависит от амплитуды колебаний. При больших амплитудах в области сжатия скорость распространения волны будет больше, чем в областях разрежения Это приведет к изменению формы волны; форма синусоидальной волны будет искажаться, в ней возникнут гармоники. Для волны импульсного типа, где имеет постоянный положительный знак,

Можно было бы предполагать, что при медленных звуковых колебаниях адиабатный закон не соблюдается, так как температура между нагретыми и охлажденными участками среды будет успевать выравниваться за период колебания. Однако такое заключение не оправдывается. Выравнивание температуры должно происходить между частями звуковой волны с различной температурой, но части волны с наибольшей разницей температур лежат на расстоянии полволны друг от друга, и хотя при уменьшении частоты увеличивается время, в течение которого температуры могут выравняться, но в той же степени растет расстояние между слоями с разной температурой. В результате при понижении частоты условие

адиабатности будет выполняться не менее строго, чем при высоких частотах.

Как показывает анализ явлений теплопроводности, в волне малые отклонения от адиабатного закона наступают не при низких частотагх, а, наоборот, при чрезвычайно высоких. Отклонение от условий адиабатности происходит также при распространении звука в трубе с металлическими стенками. Однако на скорость звука это влияет очень мало.

Адиабатный модуль упругости для жидкостей теоретически определять можно лишь из эмпирических уравнений состояния. Изотермический модуль упругости находят из опыта.

При нормальном атмосферном давлении и температуре скорость звука в воздухе будет:

Среднее из большого числа измерений дает очень близкое к теоретическому значение Если предположить, что звуковые колебания происходят согласно изотермическому закону то при выводе соотношения (2,10) следовало бы положить и тогда скорость звука в воздухе составила бы см/сек. Эта, несогласная с опытом, величина была теоретически найдена Ньютоном. Введенная Лапласом поправка на адиабатность звуковых колебаний разрешила противоречие теории с опытом. Таким образом, опыт весьма убедительно подтверждает предположение об адиабатности процесса звуковых колебаний. Для других газов теоретически вычисленное значение скорости также прекрасно согласуется с опытом.

На основании уравнения Клапейрона абсолютная температура, — удельный объем, газовая постоянная на газа, равная молекулярный вес), получим:

Из этой фррмулы ясно, во-первых, что с не зависит от величины постоянного (атмосферного) давления Это — следствие того, что при увеличении в той же мере растет и , а с, определяемое отношением не меняется. Во-вторых, учитывая, что с изменяется пропорционально можно написать, что скорость звука при температуре

где коэффициент расширения газов, (скорость звука при При комнатной температуре На каждый градус скорость звука увеличивается примерно на и при 1000 °С будет равна см/сек.

В других двухатомных газах у имеет ту же величину, что и для воздуха, и поэтому для водорода с плотностью скорость звука будет в раза больше, чем для воздуха, и составит при 0°С около

Для жидкостей при вычислении звука приходится пользоваться опытными значениями адиабатного модуля объемной упругости. Так, для воды при откуда , что прекрасно сходится с опытом. Несмотря на большую теплопроводность жидкостей по сравнению с газами, выравнивание температур в звуковой волне не успевает происходить, и распространение звука в жидкостях является, как и в газах, адиабатным процессом. Скорость звука в воде возрастает примерно на 4,5 м/сек на 1 градус, а в зависимости от давления — приблизительно на 0,05 м/сек на 1 атм или на 0,005 м/сек на глубины. На глубинах 100-200 м (в теплых морях) и (в океанах) скорость звука имеет минимум. Так, в Тихом и Атлантическом океанах тогда как на поверхности океана в тропиках Скорость звука в воде в зависимости от температуры и солености определяется эмпирической формулой:

где — соленость в миллиграммах на литр или промилле давление в атм.

Скорость звука в твердых стержнях выражается формулой, аналогичной — выведенной для газов и жидкостей. В этой формуле следует положить где модуль Юнга. Для продольных волн в сплошной среде

где — коэффициент Пуассона, так что скорость продольных волн

Для поперечных волн в сплошной среде скорость звука

где модуль сдвига. Такую же величину имеет скорость крутильных волн в круглых стержнях.

В табл. 1 приведены величины плотности адиабатического модуля упругости скорости звука с и акустического сопротивления для различных сред.

Таблица 1 (см. скан)