Метод импеданс-диаграммы

Выражение (5,43) для входного импеданса трубы используется в большом числе прикладных вопросов. Путем несложных преобразований легко убедиться, что уравнение (5,43) можно представить в более простом виде. Подставляя в (5,41), получим

При т. е. при непосредственном действии силы на импеданс что соответствует формуле (5,35).

Формула (5,49) дает весьма удобный графический способ нахождения импеданса в начале трубы по импедансу в конце трубы, если затухание мало. Идея этого метода применительно к акустике изложена впервые Морзом в 1936 г. Этот же метод применялся ранее в теории электрических линий.

Определив по импедансу величины и мы должны, согласно равенству (5,49), не изменяя вычесть из величину (определяемую длиной трубы и частотой звука), т. е. переместиться на диаграмме из точки с координатами (соответствующими импедансу по окружности равного (а значит, равного ) на отрезок (равный числу полуволн, укладывающихся в отрезке I) в сторону уменьшения 8, т. е. по часовой стрелке. В этой точке из диаграммы найдем величины соответствующие импедансу Увеличение длины трубы на соответствует уменьшению фазы на или перемещению по окружности равного (или а) на целых оборотов по часовой стрелке.

Увеличение длины трубы на дает уменьшение фазы на 1/2. Ввиду неодинакового масштаба фазы на окружностях равного поглощения это не будет соответствовать переходу на полоборота, но всегда будет соответствовать переходу с нижней части на верхнюю часть той же окружности или наоборот.

Как пример применения импеданс-диаграммы, определим импеданс отрезка закрытой трубы длины в начале которого стоит слой ткани с сопротивлением Импеданс на закрытом конце трубы соответствует (нет потерь). Точка, изображающая этот импеданс, лежит на окружности имеющей бесконечно большой радиус и совпадающий с осью центр окружности лежит на оси в отрицательной бесконечности. Угол будет на основании соотношения равен нулю (так как ).

Для нахождения импеданса в начале трубы мы должны переместить точку по окружности т. е. по оси из на интервал по часовой стрелке. При величина изменяется на целое число единиц. Сделав несколько полных оборотов, приходим снова в ту же точку

диаграммы, т. е. опять получим Таким образом, при импеданс твердой стенки переносится без изменения в начало трубы, как это уже было показано ранее. Сопротивление ткани в этом случае ничего не добавит к импедансу трубы. При или фаза изменится на и точка сместится по окружности на целое число оборотов плюс полоборота и придет в начало координат Импеданс трубы будет равен нулю и Это значит, что закрытая труба длиной имеет активное и реактивное сопротивления, равные нулю (этот результат также был получен ранее).

Для нахождения импеданса трубы длиной закрытой на конце и со слоем ткани в начале, нужно прибавить сопротивление слоя к активному и реактивному сопротивлениям трубы. Так как сопротивление слоя чисто активное, то это сведется к тому, что точка переместится из положения (0,0) и займет положение Если то мы придем в точку (1,0), где т. е. Следовательно, труба длиной со слоем ткани удельного сопротивления в начале дает или полное поглощение звука; конечно, а только при дискретных частотах не во всем Диапазоне частот.

При или мы придем по диаграмме в точку добавив получим импеданс Труба будет действовать как последовательное соединение активного и упругого сопротивлений. Ни при каких в этом случае нельзя попасть в точку (1,0) и получить При или можно достичь, добавляя точки на диаграмме. Труба будет действовать как последовательное соединение активного и инерционного сопротивлений; получить этом случае невозможно.

Метод импеданс-диаграммы естественно обобщить на слой с любым импедансом включенным последовательно с отрезком трубы длиной или на ряд таких слоев с импедансом разделенных отрезками трубы Способ нахождения суммарного импеданса на входе такой системы совершенно ясен: после

перехода по окружности равного из точки на фазовыи отрезок по часовой стрелке и нахождения импеданса на входе первого отрезка трубы к полученному импедансу следует прибавить путем векторного сложения импеданс первого слоя после чего точка перейдет на новую окружность равного По ней снова переидем на отрезок — по часовой стрелке, найдем импеданс на входе второго отрезка трубы, прибавим к нему импеданс второго слоя и найдем новую окружность равного пока не дойдем до последнего слоя. Найдя на входе, определим по импеданс-диаграмме коэффициент поглощения звука а для всей системы. Этот прием с успехом использовал Малюжинец для расчета звукопоглощения сложных слоистых систем.

Если учитывать затухание звука в трубе, то при переходе из некоторой точки трубы с координатой х в более далекую от конца точку необходимо передвинуться по окружности равного на отрезок — по часовой стрелке и вместе с тем переити на другую окружность , которая будет всегда иметь меньший радиус. При постепенном перемещении в трубе (по направлению отрицательной оси точка, изображающая импеданс на плоскости комплексного переменного, будет перемещаться по спирали с постепенно уменьшающимися витками. При достаточной длине трубы спираль будет постепенно свертываться и придет в конце концов в точку (1,0), соответствующую Таким образом, достаточно длинная труба при наличии поглощения в среде, ее заполняющей, обеспечивает полное поглощение звука, входящего в нее.

Тот же результат можно получить, анализируя выражение (5,49). Для твердой стенки на конце параметры равны нулю и

Легко видеть, что при следовательно