Проводимость отверстия

Для низких частот кинетическая энергия жидкости или газа, колеблющегося в трубке длины и сечения со скоростью выражается так:

Величина представляет в данном случае колеблющуюся массу. При выражении кинетической энергии через объемную скорость масса выражается в так называемых акустических единицах и равна Выражение для по структуре совершенно аналогично выражению для сопротивления провода с удельным сопротивлением Величина, обратная будет характеризовать степень подвижности среды в трубке. В дальнейшем будем интересоваться зависимостью подвижности от геометрических постоянных трубки, которая в данном случае характеризуется величиной

Эта величина, имеющая размерность длины (см), носит в акустике название проводимости. Вводя проводимость в выражение (7,4), получим:

Следует отметить, что термин проводимость не совсем удачен, так как в акустическом случае проводимость лишь формально подобна электрической проводимости; она не имеет отношения к диссипативным потерям и характеризует лишь инерционные свойства для данной конфигурации потока. Правильней было бы называть эту величину подвижностью.

Для трубки расчет проводимости очень прост. В других случаях при расчете проводимости приходится сначала находить интегральную кинетическую энергию в звуковом поле сложной конфигурации и по ее величине определять, согласно формуле (7,5), проводимость К или массу относя ее к объемной скорости X в отверстии.

Очень важным в акустике является вычисление проводимости эллиптического или круглого отверстия в бесконечно тонкой и бесконечно протяженной перегородке, разделяющей два полупространства. Эта задача решена Рэлеем. Не воспроизводя этого вывода, поясним лишь физический смысл проводимости в данном случае. При течении несжимаемой жидкости через отверстие в перегородке под действием разности давлений (постоянных или переменных) в среде создаются определенные линии тока и возникают скорости, различные в каждой точке среды. В бесконечности мы вправе считать скорости равными нулю, а на перегородке равны нулю нормальные компоненты скорости. В плоскости отверстия наибольшие скорости возникают у краев. В случае бесконечно тонкой перегородки скорость у края бесконечна. Для определения проводимости необходимо вычислить кинетическую энергию во всем бесконечном поле по формуле:

где потенциал скоростей.

Для вычисления среднего по времени значения необходимо определить скорости во всех точках поля. Зная объемную скорость X в отверстии, проводимость можно определить по формуле (7,5). Если положить где средняя скорость в отверстии, то кинетическая энергия (7,6) может быть формально выражена через среднюю скорость в отверстии или через объемную скорость сквозь все отверстие:

Здесь величина

представляет по размерности некоторую массу. Принимается, что эта масса, двигаясь со скоростью имеет кинетическую энергию, равную всей кинетической энергии бесконечного

поля Массу называют присоединенной массой отверстия.

Фактически в отверстии бесконечно тонкого экрана, стоящего поперек трубы, нет точно ограниченной массы (подобно рассмотренной выше массе, колеблющейся в трубке длины и мы лишь условно приписываем добавочную кинетическую энергию (сверх кинетической энергии плоской волны) некоторой фиктивной массе согласно формуле (7,7а), движущейся со средней скоростью среды в отверстии. Главная доля этой энергии сосредоточена в зоне близ отверстия, размеры которой малы по сравнению с длиной волны. Очевидно, что не только в разобранном случае, но и при всяком нарушении плоского течения (в котором линии тока прямолинейны и плотность их везде одинакова) обязательно возникает добавочная, или присоединенная, масса с присущим ей свойством инерции. На приведение этой массы в движение требуется затрата энергии. Так, можно говорить о присоединенной массе отверстия в перегородке, поставленной поперек трубы или о присоединенной массе изгиба трубы, Здесь сверх энергии плоского движения среды в трубе возникает добавочная энергия, связанная с полем скоростей, вызванным искажающим влиянием отверстия на плоскую волну. Плоская волна, конечно, также обладает энергией, но она является целиком излучаемой энергией (активной, или ваттной); при этом скорость по фазе совпадает с давлением, и присоединенная масса (при наличии которой должна появиться разность фаз между скоростью и давлением) равна нулю.

Согласно выводу Рэлея, проводимость эллиптического отверстия (площади а и с эксцентриситетом ) в бесконечной стене выргжается следующим образом

Проводимость круглого отверстия равна диаметру отверстия:

Для эллиптических отверстий, не слишком вытянутых, проводимость мало отличается от величины диаметра круга эквивалентной площади: При отношении полуосей эллипса проводимость лишь на 20% больше,

чем величина . Расчет проводимости для отверстий иной формы (кроме эллипса и круга) сделан в работе Ингарда. Однако можно полагать, что для отверстий, не слишком вытянутых,

Так как скорости частиц в плоскости отверстия не одинаковы то величина объемной скорости X получается интегрированием скорости по площади отверстия.

Представляет интерес сравнить расчет Рэлея с расчетом проводимости, который можно провести на основании формул импеданса плоского поршня, т. е. когда скорость распределена по всей площади отверстия равномерно. Для присоединенной массы поршня с фланцем при имеем выражение:

Если принять слой воздуха в отверстии перегородки за поршень с присоединенной массой с обеих сторон, то

откуда, согласно соотношению (7,7), найдем:

Таким образом, при поршневом движении в отверстии проводимость на 7,5% меньше, чем по формуле (7,8), а масса примерно в таком же отношении больше.

Рис. 42

На основании полученных формул для проводимости можно найти выражение для импеданса трубки с поправкой на присоединенную массу ее концов. Для длинных волн предположим, что трубка длины заделана в бесконечную перегородку, преграждающую замыкание потоков между ее концами (рис. 42). Случай, когда рассмотрен Рэлеем. При можно предположить, что к массе среды в трубке с каждого конца добавится присоединенная масса где проводимость отверстия в бесконечном экране с одной стороны. Общая колеблющаяся масса

На каждом конце трубка как бы удлиняется на Принимая по расчету Рэлея получим:

т. е. удлинение на величину на каждом конце.

Таким образом вся трубка как бы удлиняется на четверть длины ее периметра. Проводимость трубки, если ввести поправку на присоединенную массу на концах, будет равна:

Если принять равномерное распределение скорости по сечению, и положить то эффективное удлинение трубки будет равно не Обычно в литературе принимается для проводимости трубки выражение (7,11). Однако, учитывая, что внутри трубы при распространении звука получается близкое к равномерному распределение скоростей по сечению, возможно, что более обоснованной будет поправка, базирующаяся на формуле (7,9). Тогда получим:

Вопрос этот не подвергался еще достаточно глубокому исследованию ни теоретически, ни на опыте и, ввиду малой точности измерений этого рода, у нас нет данных утверждать, какая формула ближе к истине.

Рис. 43

Для открытого конца трубки без фланца, согласно Гутину, будем считать присоединенную массу равной Обусловленная этой массой добавка длины будет равна:

Для отверстия в перегородке, стоящей поперек трубы диаметром (рис. 43), проводимость будет, разумеется, иная, чем для отверстия в бесконечной перегородке, так как форма

линий тока и кинетическая энергия реактивных потоков через отверстие изменяются. При уменьшении отношения задача приближается к случаю бесконечного экрана и можно считать При увеличении когда величина проводимости должна стремиться к бесконечности, так как искажающее влияние отверстия на линии тока становится малым и присоединенная масса исчезает. Теоретически эта задача была разрешена В. А. Фоком. Не приводя весьма сложного решения задачи, дадим лишь окончательное выражение для присоединенной массы отверстия в перегородке, стоящей поперек трубы:

т. е. проводимость отверстия

где

Рис. 44

Величина (функция Фока) оказывается всегда больше единицы и при стремится к бесконечности (рис. 44):

При можно приближенно принимать, что

Наоборот, при можно считать К очень большой величиной и пренебрегать влиянием присоединенной массы. Для круглого отверстия в трубе квадратного сечения можно приближенно считать, что порядок величины функции где — сторона квадрата, будет такой же, как это дается формулой Фока.

Рис. 45

Определим проводимость ряда отверстий, расположенных на площади перегородки в трубе. Если отверстия диаметра в бесконечной перегородке распределены по площади равномерно и стоят не очень близко друг к другу, т.е. где площадь, приходящаяся на одно отверстие (рис. 45), то приближенно можно считать на основании выводов Фока, что проводимость каждого отверстия независима от их взаимного расстояния и равна Кинетическая энергия реактивных потоков в зоне, занятой отверстиями, равняется сумме присоединенных кинетических энергий для отдельных отверстий:

где проводимость одного отверстия, а — скорость в отверстиях.

Суммарная проводимость

а суммарная присоединенная масса

В акустических единицах присоединенная масса одного отверстия а присоединенная масса отверстий

Это аналогично тому, что индуктивность одинаковых параллельных цепей становится в раз меньше индуктивности одной цепи.

При близком расположении отверстий присоединенная масса для каждого отверстия стремится к нулю, как это следует из

формулы Фока (7,12) и из графика рис. 44, а все отверстий можно принять в сумме за одно отверстие с общей площадью Если зона отверстий не очень растянута, то по проводимости она эквивалентна кругу с диаметром и ее можно рассчитывать по формуле как для одиночного отверстия диаметра

В случае сетки свободная площадь отдельных ячеек близка к площади, занимаемой каждой ячейкой, и можно считать проводимость отдельных ячеек равной бесконечности. Здесь следует учитывать только сопротивление трения в отверстиях и можно пренебречь инерционным сопротивлением ячеек. Если сетка закрывает отверстие диаметра то его проводимость вычисляется как для свободного отверстия, не закрытого сеткой.