Затухающие моды колебаний

Посмотрим, какого рода движение в трубе получится, если волновое число на грани больше, чем

В этом случае, очевидно, мнимо; положим:

Тогда может быть представлено в виде:

В этом выражении следует учитывать лишь знак минус в экспоненте, так как колебательный процесс не может безгранично возрастать при удалении от места возбуждения. Можно было бы, конечно, написать в форме (6,17), считая косинус угла у с осью z, равный мнимым, т.е. угол у — комплексным (как это делается в некоторых работах), но эта интерпретация не дает никакой наглядности. Легко показать, что в этом случае Соотношение (6,23) можно представить в виде:

где углы определяются формулой (6,11). Мы имеем две системы стоячих волн с направлениями волновых векторов (определяемыми углами которые лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси амплитуды же этих волн убывают по мере удаления от начала по закон Таким образом, комплексный угол выражает факт возникновения системы своеобразных стоячих волн, в которых фронты равной фазы (идущие параллельно оси z) перпендикулярны к фронтам равной амплитуды (идущим перпендикулярно к оси Для данного случая более ясную картину получим непосредственно из выражения (6,23). Оно показывает, что волнового процесса в трубе в направлении оси z нет, и колебательное движение происходит по всей длине трубы с частотой квазистационарно, т. е. повсюду протекает синфазно. Множитель показывает, что амплитуда колебаний экспоненциально убывает по мере удаления от начала трубы. Колебания в направлении, перпендикулярном к оси z, представляют стоячие волны с амплитудой, постепенно убывающей по мере возрастания z. Направление колебательных движений в плоскостях, перпендикулярных к оси z, будет определяться той двойной системой стоячих волн, волновые векторы которых определяются углами согласно формуле (6,11).

Рассмотрим, каковы будут линии тока в трубе в том случае, когда Из уравнения (6,23) найдем, что компоненты скорости движения по осям равны:

а . Звуковое давление, таким образом, отличается по фазе от скорости частиц С на Это значит, что поток звуковой энергии по оси z равен нулю. Величины представляют проекции на оси элемента линии тока частицы. Разделив С на получим

Интегрируя это выражение, найдем уравнение линий тока:

Легко видеть, что С есть координата z точки, в которой данная линия тока пересекает ось в пучности стоячей волны,

где соответствует значениям Линии тока при будут иметь форму, изображенную на рис. 35. Линии тока замыкаются между двумя соседними колебательными зонами на грани разделенными узловыми линиями. Чем дальше от начала трубы, тем реже становятся линии тока. Это означает, что скорости частиц убывают по мере удаления от границы, на которой происходит возбуждение колебаний.

Рис. 35

Как было показано выше, критическая частота, ниже которой невозможно распространение волн данной моды определится из выражения (6,14а). Наиболее низкая частота из всех критических частот определяется наибольшим размером трубы а и соответствует колебательной моде (1,0):

Если в начальном сечении трубы происходит идеальное "плоское" или "поршневое" колебательное движение по оси z, то это соответствует моде (0,0). При этой моде колебания волновое число всегда больше нуля и по трубе распространяется плоская волна при любой частоте Если движение в начальном сечении неоднородно, то эта неоднородность (в поперечном направлении) будет существовать и дальше, причем она будет передаваться вдоль оси z по-разному в зависимости от масштаба неоднородностей возмущения в начальном сечении.

Так, например, неоднородности, выражающиеся модой колебания (1,0), при частотах с удалением от начала ослабевают и притом тем сильней, чем больше т. е. чем

меньше частота При неоднородность этого типа совершенно не затухает и распространится по всей трубе.

При по трубе побегут косые волны с углом наклона к оси z, определяемым выражением (6,16), и существующие в сечении неоднородности также распространятся по всей трубе.

Неоднородности, более часто меняющиеся по х и у (например, будут давать потоки, коротко замыкающиеся до более высоких частот, чем при , а именно до частот Волны начнут распространяться по трубе лишь выше этих более высоких критических частот.

Указанные рассуждения можно изложить несколько иначе. Предполагая, что частота и распределение скоростей в начальном сечении заданы, можно сказать, что из всех возможных мод колебания будут распространяться только такие, для которых Более высокие моды, для которых или (на плоскости z=0) меньше, чем X в свободной среде, будут затухать вблизи от начала. Таким образом, мелкомасштабные изменения в движении на плоскости не будут передаваться вдаль.

При частоте меньшей, чем самая низкая критическая частота, соответствующая моде (1,0) колебания всех высших мод, за исключением моды (0,0), волн в трубе не дадут и будут затухать вблизи начала. Каким бы сложным ни было движение в начале трубы, при частоте оно выродится по мере распространения в плоскую волну по оси трубы. Однако при наличии обертонов с частотами как уже говорилось выше, волны высших мод могут возникнуть.