ГЛАВА 10. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА ЦИЛИНДРОМ

Общее решение волнового уравнения в цилиндрических координатах

Волновое уравнение для потенциала скоростей, записываемое в декартовых координатах в форме или (в предположении ) в цилиндрических координатах принимает форму:

где координаты некоторой точки (радиус-вектор, высота и азимутальный угол). Полагая расщепим это уравнение на две равные друг другу части:

зависящие одна лишь от а другая — от ; через обозначена разделительная постоянная. Итак, мы получили два дифференциальных уравнения для определения функций

Первое уравнение имеет решение:

Второе уравнение решаем, предполагая что приведет методом расщепления к двум дифференциальным уравнениям:

где разделительная постоянная. Первое из этих уравнений является уравнением Бесселя и имеет решение:

Здесь бесселева и нейманова функции порядка а параметр определяется соотношением:

где волновое число. Для анализа излучающих систем удобнее взять решение в функциях Ганкеля (см. гл. 8):

причем первый член, соответствующий волнам, сходящимся к оси (и содержащий множитель ), при этом следует отбросить. Для анализа собственных колебаний в цилиндрической полости удобней использовать выражение (10,3), где постоянную следует положить равной нулю, так как что не может соответствовать реальному физическому процессу. Второй член в (10,3) следует учитывать в случае цилиндрических кольцевых каналов или секторов, в центре которых имеется цилиндрическое препятствие, недоступное для волн. Второе уравнение (10,2) имеет решение:

где

Выражение для дает однозначное решение только при условии

Когда излучение звука возникает под действием волн, бегущих по поверхности цилиндра в азимутальном направлении, функцию следует взять в форме или

Частное решение порядка уравнения (10,1) можно записать в следующем виде:

Если волновой процесс не зависит от вторая скобка в последнем уравнении превращается при этом в постоянную величину. Так как звуковое давление и потенциал скоростей связаны соотношением то общее решение волнового уравнения для процессов излучения (в случае независимости от ) запишем в виде:

где введено обозначение

Радиальную скорость получим из выражения:

Преобразуя это выражение получим:

где

Величины и определяются соотношениями:

Таблицу функций и можно найти в книге Морза "Колебания и звук" (табл. X, стр. 483).

В дальнейшем будет важно получать выражения для звукового поля в случае больших и малых значений аргумента

Приводим соответствующие значения функций, входящих в выражения для

Общие соотношения для функций