Второе уравнение решаем, предполагая
что приведет методом расщепления к двум дифференциальным уравнениям:
где
разделительная постоянная. Первое из этих уравнений является уравнением Бесселя и имеет решение:
Здесь
бесселева и нейманова функции порядка
а параметр
определяется соотношением:
где
волновое число. Для анализа излучающих систем удобнее взять решение в функциях Ганкеля (см. гл. 8):
причем первый член, соответствующий волнам, сходящимся к оси (и содержащий множитель
), при этом следует отбросить. Для анализа собственных колебаний в цилиндрической полости удобней использовать выражение (10,3), где постоянную
следует положить равной нулю, так как
что не может соответствовать реальному физическому процессу. Второй член в (10,3) следует учитывать в случае цилиндрических кольцевых каналов или секторов, в центре которых имеется цилиндрическое препятствие, недоступное для волн. Второе уравнение (10,2) имеет решение:
где
Выражение для
дает однозначное решение только при условии
Когда излучение звука возникает под действием волн, бегущих по поверхности цилиндра в азимутальном направлении, функцию
следует взять в форме
или
Частное решение порядка
уравнения (10,1) можно записать в следующем виде:
Если волновой процесс не зависит от
вторая скобка в последнем уравнении превращается при этом в постоянную величину. Так как звуковое давление и потенциал скоростей связаны соотношением
то общее решение волнового уравнения для процессов излучения (в случае независимости от
) запишем в виде:
где введено обозначение
Радиальную скорость получим из выражения:
Преобразуя это выражение получим:
где
Величины
и определяются соотношениями:
Таблицу функций
и
можно найти в книге Морза "Колебания и звук" (табл. X, стр. 483).
В дальнейшем будет важно получать выражения для звукового поля в случае больших и малых значений аргумента
Приводим соответствующие значения функций, входящих в выражения для
Общие соотношения для функций