Присоединенная энергия и присоединенная масса сферического излучателя

Рассмотрение вопроса о присоединенной массе для излучателя 0-го и 1-го порядка показывает что присоединенная масса для очень длинных волн равна соответственно где — масса среды, вытесненной сферой радиуса При более коротких волнах присоединенная масса постепенно уменьшается и при стремится к нулю. Ввиду того что присоединенная энергия образуется за счет кинетической энергии реактивной компоненты скорости, которая резко убывает с расстоянием, мы при расчете будем пренебрегать членами, содержащими величину z в степени выше первой. Строго говоря, это допустимо лишь в зоне, где но так как присоединенная энергия в пределе рассчитывается для очень длинных волн, то зона применимости соотношения становится очень велика.

На основании (8,18) можно приближенно записать потенциал скорости для излучателя порядка

Зональный излучатель. Разберем прежде всего случай зональных колебаний, когда Звуковое давление

Радиальная скорость

где

активная скорость, находящаяся в фазе с давлением (с точностью до малой величины порядка ), а

реактивная скорость, отстающая от давления по фазе на

Членом 1 в выражении (8,70) можно в ближней зоне пренебречь ввиду его малости.

Из соотношений (8,69) и (8,70) ясно, что при т. е. поле скоростей в ближней зоне определяется реактивной компонентой скорости. Тангенциальную компоненту скорости частиц в ближней зоне в направлении угла получим из (8,68):

Таким образом находится в противофазе с и также является реактивной скоростью. Обозначая амплитуды величин и через и найдем квадрат амплитуды реактивной скорости:

который представим так:

где

Как видно из (8,69), (8,70) и (8,71) амплитуда скорости при определяется реактивной компонентой. Величина представляет максимальную амплитуду скорости на поверхности сферы, которая получится при Среднее значение квадрата скорости , меняющейся со временем по синусоидальному

закону, будет равно в каждой точке пространства Для нахождения суммарной кинетической энергии можно ограничиться ближней зоной, считать скорости синфазными и просуммировать средние кинетические энергии отдельных элементов поля, окружающего сферу, учитывая лишь реактивную компоненту скорости. Элемент объема

Средняя за период кинетическая энергия во всем поле определится следующим интегралом:

Строго говоря, нельзя производить интегрирования по до так как было принято, что (благодаря чему можно пренебрегать членами высших порядков). Нетрудно видеть, что при учете всех членов ряда (8,20), что позволяет снять ограничение получим поправочный множитель к интегралу, стремящийся к единице при Кинетическая энергия в объеме между будет равняться т. е. при главная часть кинетической энергии приходится на зону от до

Из теории сферических функций известно, что

Для средней кинетической энергии реактивной компоненты скорости всего поля получим:

где

Величина может быть названа присоединенной массой зонального излучателя порядка. Величина представляет массу среды, вытесненной сферой. Формула (8,73 а) дает следующие значения для присоединенной массы излучателей 0, 1, 2 и 3 порядков:

Секториальный излучатель. Вычислим присоединенную энергию и массу для излучателей секториального типа. Для секториального излучателя порядка нам надо взять в формуле (8,12) только один член присоединенной сферической функции:

Потенциал скоростей при 1 на основании выражений (8,9), (8,11) и (8,20) представим так:

Исходя из этого выражения найдем реактивные компоненты скорости по радиусу:

по меридиану:

и по широте (азимуту):

Квадрат амплитуды суммарной реактивной скорости будет равен:

где

максимальная амплитуда на поверхности сферы при что можно видеть из формулы (8,74). После несложных преобразований для средней (за период) кинетической энергии всего поля найдем:

Воспользуемся таблицами интегралов и найдем:

после чего окончательно получим:

где

Величина

является присоединенной массой секториального излучателя. Для получим:

Значение для секториального излучателя 1-го порядка равно присоединенной массе зонального излучателя 1-го порядка, т. е. осциллирующего шара, что вполне понятно, так как секториальный излучатель 1-го порядка представляет зональный излучатель с осью, повернутой на 90°.