Потенциал скоростей и уравнение движения

Проинтегрируем уравнения движения (1,4) по времени. Из первого уравнения получим:

Легко видеть, что

Второй член в этом выражении мал по сравнению первым. Действительно

Согласно равенству (1,6),

отсюда

Согласно соотношению (1,5), это очень малая величина. Таким образом, заменяя величину величиной из трех уравнений (1,4) получим, перемещая операции дифференцирования и интегрирования:

При интегрировании появляются произвольные постоянные которые, очевидно, являются функциями только координат, но не времени; они представляют собой компоненты скорости в начальный момент времени Предположим, что эти скорости являются производными знаком минус) по осям координат от некоторой единой функции

Это значит, что движение в начальный момент является потенциальным. Для такого движения соблюдается условие:

т. е. движение является безвихревым. Функцию найдем в форме криволинейного интеграла:

Подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции При соблюдении условий (1,7) можно написать:

или, обозначая

получим:

Таким образом, условия (1,7) выполняются в любой момент времени и движение будет потенциальным. Кроме того, легко видеть, что

т. е. компоненты и равны нулю и поле скоростей будет оставаться безвихревым. Итак, если в начальный момент

звуковое поле является безвихревым и потенциальным, то и в дальнейшем оно обладает этим же свойством. Функция определенная уравнением (1,8), носит название потенциала скоростей. Возьмем от нее производную по времени:

Это выражение является единым уравнением движения для звуковых колебаний в жидкости или газе, которое эквивалентно трем уравнениям (1,4). Если, решая некоторую задачу, определить потенциал скоростей то скорости частиц и давление в каждой данной точке в любой момент времени могут быть найдены из равенств (1,9) и (1,10).