Распространение звука в бесконечной трубе

Предположим теперь, что одно из измерений параллелепипеда, например становится бесконечным. Тогда мы приходим к случаю распространения звука в бесконечной трубе с прямоугольным сечением. Решение уравнения (6,1) образуем из решений вида (6,2), причем в каждом члене должны сохраниться произведения функций и так как тогда обеспечится равенство нулю скоростей на боковых гранях.

Предположим, что по оси распространяется некоторое волновое движение с волновым числом

В общем виде возьмем решение уравнения в форме:

Подстановкой в волновое уравнение легко убедиться, что в этом случае, как и для замкнутого прямоугольного параллелепипеда,

Пусть на грани имеется некоторое вынужденное пределение колебательных скоростей вдоль оси z по закону:

с круговой частотой которая задается действием вынуждающей силы. В частном случае чисто стоячих волн или Разложим функцию (х,у) в двойной ряд Фурье по собственным функциям для колебаний в направлении, перпендикулярном оси трубы, а именно по функциям

где Коэффициенты атп определяются выражениями вида:

Если или то коэффициенты будут действительными; если или то — комплексными. В первом случае на поверхности грани задаются чисто стоячие

волны; во втором случае на поверхности задается движение в форме бегущих волн. Если амплитуды взаимно-обратных бегущих волн равны, то получаются чисто стоячие волны. В дальнейшем мы будем рассматривать процессы, вызванные чисто стоячими волнами на поверхности и будем считать все действительными. Частную форму колебания в плоскости начального сечения определяемую числами и характеризуемую амплитудой мы будем называть колебаниями с "модой (m,n)".

Рис. 31

Распределение осевых скоростей при модах колебаний представлено на рис. 31.

На границе скорость движения среды должна удовлетворять условию:

откуда найдем:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих по индексу членах, имеем:

Каждая мода колебания на грани представляется членом вида ситп причем частота одинакова для всех мод колебания в данной задаче. Чтобы выяснить физический смысл этого выражения, несколько преобразуем его:

Первый член со вторым и третий с четвертым дадут в плоскости двесистемы стоячих волн с одинаковой амплитудой. Направляющие косинусы волновых векторов этих волн будут:

Для одной системы стоячих волн берутся знаки для другой

Таким образом:

где волновой вектор, лежащий в плоскости и принимающий направления, соответствующие одной из четырех возможных комбинаций знаков в выражении (6,11), а отрезок, отложенный по направлению нормали к фронту каждой из четырех бегущих по плоскости волн и равный по абсолютной величине расстоянию от начала координат до фронта волны. Углы дополняют друг друга до 90°. Две системы стоячих волн в плоскости будут пересекаться под углом друг с другом. Длина волны на грани

где имеет смысл скорости распространения волн вдоль плоскости

Мы видим, что для образования такого рода стоячих волн, которые представляют отдельные моды колебаний на грани скорость их распространения при заданной частоте должна быть пропорциональна кроме того, будет различна для различных мод Свободные волны изгиба реальных пластинок и мембран не могут удовлетворять этому условию, так как в мембранах скорость поперечных волн не зависит от частоты и является постоянной величиной, а в пластинках она растет пропорционально Таким образом, волны, соответствующие отдельным модам колебаний на грани могут образоваться только в вынужденном режиме, при возбуждении

специально распределенной в плоскости внешней силой, но при частотах, не обязательно равных собственным частотам этих мод.

Ясно, что мы не могли бы произвести разложение функции содержащий произведения функций на или на так как тогда граничные условия на боковых гранях не удовлетворялись бы. Однако это не значит, что реально скорости не могут быть распределены по грани например по синусоидальному закону. Так, движение, близкое к синусоидальному распределению, получающееся при основном тоне некоторой пластинки или мембраны, натянутой поперек трубы, и при частотах ниже основного тона и характеризуемое функцией можно разложить в ряд по . В простейшем случае стоячей волны, образующейся только по направлению оси х скорости плоскости распределены по закону Разложение в ряд по косинусам будет иметь вид:

Рис. 32

Таким образом, движение составляется из постоянного члена и ряда косинусоидальных компонент (рис. 32). Постоянный член возбуждает движение, соответствующее плоской волне, вдоль оси z (мода 0,0).

Вообще для симметричного, относительно центра,распределения скоростей имеют место только колебания с модами, определяемыми четными числами а также с модой (0,0); для несимметричного распределения возникают моды с нечетными числами или

Колебание вида таким образом, присутствует только при несимметричном возбуждении в плоскости

Функция изображающая основное колебание мембраны, разложится в ряд:

Каждый член разложения в ряд функции в выражении (6,8) представляет бегущую волну с волновым числом модулированную по фронту (перпендикулярно к оси z) по закону Этот волновой процесс мы будем называть волной моды Часто эти волны называют также нормальными волнами с индексом или типа

Выражение (6,8) должно удовлетворить волновому уравнению (6,1). Это приведет, как мы уже видели, к условию (6,3):

Однако в данном случае задано движение с частотой со на грани следовательно, также задано. Это значит, что величина для различных "мод" может иметь только значения, определяемые условием:

и не может выбираться произвольно, как в (6,3). Ввиду этого волновому числу следует приписать двойной, а не тройной индекс а вместо писать

Если то будет мнимо и фаза колебаний не будет зависеть от от будет зависеть лишь амплитуда колебательного процесса. Возникает своеобразный процесс неволновых колебаний, особенности которого будут разобраны дальше.

Волновой процесс в трубе возбуждается колебаниями с модой на грани только при условии

Для каждой моды существует, таким образом, критическая частота

ниже которой волновой процесс в трубе не возбуждается. Эта критическая частота соответствует частоте собственных колебаний (в направлении, перпендикулярном оси z) с модой Согласно формуле (6,6), частоты таких собственных колебаний как раз соответствуют критической частоте (6,14а). Наинизшая из критических частот будет соответствовать колебаниям, параллельным наибольшей грани прямоугольника [мода (1,0), если ]. Если не равны нулю, то колебания направлены под углом к граням Поскольку частота а следовательно, длина волны нашей задаче задана, то условие возникновения волнового процесса в трубе (6,14) можно сформулировать несколько иначе, учитывая соотношение (6,12):

Следовательно, волновой процесс с модой может возникнуть в трубе только если длина волн, задаваемых на грани больше, чем длина волн X в среде, заполняющей трубу. Можно обобщить этот вывод и сказать, что неоднородности колебательного движения с масштабами меньшими, чем длина волны X, не возбудят в трубе высших волновых мод. Только колебательное движение с модой (0,0), для которого всегда возбудит волну в трубе при любой частоте, так как всегда будет соблюдено соотношение

Для каждой волновой моды в (6,8) получим выражение потенциала скоростей в виде суммы четырех членов:

При заданной частоте эта сумма будет представлять волну, бегущую вдоль трубы (по оси z) и имеющую меняющиеся значения потенциала скоростей вдоль фронта волны. Скорость такой волны по оси z равна:

т. е. она всегда больше скорости волн в свободной среде. Поскольку в сумму волн вида (6,15) (при условии или входят пары членов с обратными значениями знаков при а амплитуды для всех членов суммы равны, возникает стационарное распределение амплитуд в плоскостях, параллельных оси стоячие волны. Волны типа (6, 15) будут амплитудно-модулированными по фронту их часто называют также неоднородными. Фаза потенциала скоростей (а значит и звукового давления) при заданном принимает лишь значения или амплитуда волн модулирована при этом по закону

Вместо волн особого вида (6,15), модулированных по фронту и бегущих вдоль оси с повышенной фазовой скоростью, гораздо нагляднее рассматривать этот процесс как сумму плоских волн, распространяющихся под углом к оси трубы и последовательно отражающихся от боковых граней. Косинусы углов этих плоских волн с осями х, у и z определяются выражениями:

Выражение (6,15) можно представить в виде:

где есть расстояние некоторой плоскости волнового фронта от начала координат. Для каждой из 4-х волн, характеризуемых величиной волновое число будет равно следовательно, скорость их распространения будет равна скорости звука с в свободной среде.

Таким образом, если учесть все комбинации знаков в соотношении (6,15), то волновая мода представится суммой четырех плоских волн или пучком четырех "лучей", которые последовательно отражаются от четырех боковых граней трубы, Волновое поле в каждой точке получается наложением этих

волн. Синус угла этих плоских волн с осью трубы, как видно из равенства (6,16), определяется отношением длины волны X к длине волны соответствующей данной моде стоячей волны на грани Интересную интерпретацию этого выражения мы дадим ниже.

Член с коэффициентом в уравнении (6,15) соответствует значениям кроме того, Выражение для приобретает очень простой вид: Таким образом, коэффициент определяет ту часть волнового движения, которое распространяется в виде плоской волны по оси z.

Рассмотрим частный случай, когда но и стоячие волны на грани образуется с фронтами, параллельными оси у (мода ). Тогда

причем

Закон движения на грани будет иметь вид: . В этом случае получим в трубе только две плоские волны с волновыми векторами, лежащими в плоскости Направление этих волн определится из соотношений:

или

поскольку в данном случае Таким образом, угол с осью z будет равен

Рис. 33 поясняет картину распространения волн. Если рассматривать звуковые волны как "лучи", исходящие под углом к оси из некоторой точки грани то картину распространения звука получим, строя последовательные отражения этих лучей от боковых граней трубы. Ясно, что угол может меняться в пределах от (при очень больших частотах ) до (при ). Таким образом, с приближением т. е. при стремлении длины волны к величине или частоты

к величине соответствует обертону собственных колебаний закрытой трубы длины а), волны, моды принимают все более косое направление. В пределе, при получаются лишь стоячие волны в поперечном направлении (по оси х), и звуковая энергия вдоль оси не течет.

Рис. 33

При моде колебаний, соответствующей начальному возбуждению (на грани ) вида волны по оси при частотах распространяться не могут. Волновой процесс появляется лишь при или

Частоты соответствуют резонансным частотам для колебаний, направление которых перпендикулярно к оси z, а углы с осями х и у определяются (6,11).

Если колебания в плоскости происходят не только с частотой но и с обертонными частотами то обертонные волны будут распространяться при условии:

При это условие примет вид:

Следовательно, если и волна основной частоты не может распространяться по трубе, то обертоны могут удовлетворить условию (6,19) и будут распространяться.