Цилиндрическая труба

Рассмотрим распространение звука в цилиндрической трубе. Волновое уравнение для функции может быть выражено так:

где - азимутальный угол.

Производя разделение переменных по методу Фурье, найдем частное решение этого уравнения в форме:

В этом выражении бесселева и нейманова функции порядка от аргумента волновое число, значение которого, как выяснится далее, определяется граничными условиями на боковых стенках трубы. Поскольку на оси трубы должно быть конечно необходимо положить Порядок бесселевой функции, очевидно, может быть равен только целому числу или нулю так как иначе функции а значит и не будут однозначны. Кроме того, в бесконечной трубе решения, содержащие множитель очевидно, входить не должны, так как отраженных волн не будет. Вводя множитель и объединяя в одну постоянную а в постоянную получим частное решение волнового уравнения в круглой трубе:

где

Величина показывает, что имеется ряд азимутов определяющих некоторые диаметральные плоскости, в которых а значит равно нулю и звуковое давление. При

и не зависят от и таких плоскостей нет. При образуется одна узловая плоскость (при ). Скорости колебаний в направлении оси z в двух половинах трубы, разделенных этой плоскостью, будут в каждом сечении, перпендикулярном к оси, противоположны по фазе. При образуется соответственно 2, 3 и т. д. узловых плоскостей, расположенных на равных угловых расстояниях друг от друга. Вообще говоря, означает число узловых диаметральных плоскостей, по которым звуковое давление и осевая скорость колебаний в трубе равны нулю.

На стенках трубы при радиальная скорость должна быть всегда равна нулю:

Это условие приводит к уравнению:

которое определяет частоты собственных колебаний в направлении, перпендикулярном к оси трубы. Собственные частоты определяются через корни уравнения (6,26):

В интервале от нуля до корня (принимая за первый корень уравнения ) очевидно, лежат еще корней того же уравнения.

Рис. 37 а

В том интервале, как легко убедиться из рис. 37а и 37б, лежат корней уравнения каждый из которых определяет внутреннюю узловую цилиндрическую поверхность (с радиусом ) на которой Корни уравнения обозначим, кроме еще вторым индексом который указывает число внутренних узловых цилиндров. Таким образом, параметр приобретает двойной индекс Уравнению всегда удовлетворяет корень

соответствующий значению параметра которое обозначим через таким образом:

Каждая пара чисел определяет некоторую волновую моду, распространяющуюся вдоль всей длины трубы без изменения.

Рис.

Значения первых корней уравнения (6, 26) при даются в табл. 4.

Таблица 4 (см. скан)

Если волновое число в формуле (6, 25) больше, чем то волновое число (определяющее длину волны в направлении оси трубы) будет вещественным, и в трубе возможно распространение волн с амплитудой, модулированной по фронту соответственно функции Если волновое число меньше, чем т. е. волны с модой возникнуть в трубе не могут, и процесс ограничится местными колебаниями, происходящими во всех точках синфазно и затухающими по мере удаления от начала трубы.

Все волновые моды, кроме моды (0,0), не могут быть представлены в форме плоских волн, наклонных к оси трубы, как это имеет место в прямоугольной трубе.

Рассмотрим характер движения для первых, простейших по форме мод колебания. Мода определяемая корнем

соответствует отсутствию узловых плоскостей и узловых цилиндров; кроме того, и потенциал скоростей принимает вид:

Это уравнение плоской волны, бегущей по положительному направлению оси z. Волновая мода соответствует поршневому движению в начальном сечении трубы, и вся элементарная теория распространения волн в трубе, развитая в предыдущей главе, относится только к волнам с модой

Рис. 38

Если то образуется один узловой цилиндр, а узловых плоскостей нет. Колебания симметричны относительно оси. Потенциал скоростей

Осевая скорость будет пропорциональна а радиальная пропорциональна Для пояснения картины колебаний на рис. 38 показан ход функций Из чертежа видно, что радиус узлового цилиндра определится значением первого корня уравнения который равен 2,40:

Радиальная скорость максимальна при при она равна нулю.

Для получится одна узловая плоскость, а узловых цилиндров не будет. Потенциал скоростей для этого случая запишется в форме:

Рис. 39 а

Осевая скорость будет пропорциональна а радиальная — На рис. 39 а показано распределение осевой и радиальной скорости по линии, перпендикулярной к узловой плоскости На рис. 39 б показана картина линий тока в плоскостях, перпендикулярных к оси трубы.

Общее решение волнового уравнения представится в виде суммы частных решений вида (6,25):

где

Рис. 39 б

Для определения числовых коэффициентов в характеристических функциях нужно, как и в прямоугольной

трубе, задать некоторое распределение скоростей в начальном сечении

Функцию можно разложить в двойной ряд по фундаментальным (характеристическим) функциям данной задачи:

Коэффициенты вычисляются по формулам

где

При выводе этих формул используются следующие соотношения из теории бесселевых функций:

Из граничного условия определим аналогично (6,10) коэффициенты ряда (6,25) при различных значениях дополнительного индекса

Если возмущение в сечении симметрично относительно центра, то в разложении (6,27) присутствуют колебания с модами и т. д. При частотах, для которых где (в воздухе), будет иметь место волновое распространение звука с модой (0, 1). При частоте вдоль всей трубы разовьются интенсивные резонансные колебания с модой амплитуда которых окажется по формуле (6,30) бесконечно велика, так как в формуле не учтено поглощение в воздухе и потери энергии через стенки» Однако, учитывая малость этих потерь, можно ожидать весьма интенсивных колебаний с модой (0,1) при При волнового процесса с модой получиться не может; колебательное движение этого типа будет затухать по мере удаления от начала. Движение произвольной формы, симметричное относительно центра, когда в разложении (6,27) присутствует отличный от нуля постоянный член, соответствующий моде (0,0), вызовет возбуждение в трубе волн с постоянной амплитудой скорости по сечению, распространяющихся со скоростью звука по оси трубы при любой частоте, так как в этом случае всегда будет Такой постоянный член отсутствует только в том случае, когда колебание в начальном сечении точно соответствует бесселевой функции какого-либо порядка

При несимметричном возмущении в начальном сечении в разложении (6,27) будет обязательно присутствовать член с модой (1,0). При частоте воздухе) в трубе возникнут резонансные колебания в поперечном направлении. Эта частота является примерно в 2 раза более низкой, чем В трубе с диаметром 10 см поперечный резонанс этого рода наступает при частоте около 2000 гц. Так как в реальных условиях достичь симметричного возбуждения колебаний в трубе довольно трудно, то обычно мода (1,0) всегда появляется в разложении функции при частотах, близких к поэтому следует ожидать сильного искажения картины плоских волн (с модой 0,0) за счет возникновения волн с модой (1,0). При частотах в трубе начнут распространяться волны с модой (1,0), но амплитуда их будет невелика, поскольку резонанс очень острый. Таким образом, получение плоской волны с модой (0,0) возможно даже и выше частоты