Звуковое поле на оси поршневой диафрагмы

Расчет поля поршневой диафрагмы в ближней зоне по формуле (11,7) представляет значительные трудности. Исключение составляет задача нахождения поля на оси круглой диафрагмы, разрешаемая очень просто.

Для давления звуковой волны в точке А, лежащей на расстоянии х от центра на оси круглой поршневой диафрагмы радиуса (рис. 92), из соотношения (11,8) получим:

где за элемент поверхности принято кольцо радиуса и ширины Обозначим через а разницу между

Величина а изменяется от до при При можно приближенно считать Используя выражение (11,22), найдем:

Рис. 92

Амплитуда давления звуковой волны в точках на оси

Звуковое давление в центре диафрагмы будет равно:

В зависимости от значения звуковое давление в центре диафрагмы может изменяться от до величины соответствующей двойной величине давления в плоской волне с амплитудой скорости Если т. е. то т.е. давление в центре равно В первом случае на поверхности афрагмы образуется четное число полуволновых зон Френеля и их действие в центре взаимно уничтожается, а во втором — нечетное число зон и в центре получается максимум.

Звуковое давление на оси в зависимости от х будет, как это следует из выражения (11,23), также иметь ряд максимумов, равных и минимумов, равных нулю. Минимумы будут получаться при условии

когда на поверхности диафрагмы от центра до края уложится четное число кольцевых зон Френеля Максимумы — при условии

т. е. когда число зон нечетное что и объясняет образование минимумов и максимумов.

Радиус первой зоны Френеля легко вычислить для больших расстояний х. Это будет радиус окружности, получающейся при пересечении плоскости диафрагмы со сферой радиусом он будет равен а площадь первой зоны Френеля Существенно заметить, что в данном случае образование четного или нечетного числа зон Френеля приводит совершенно точно, а не приближенно, к образованию максимумов, равных и минимумов, равных нулю.

Из соотношения (11,22) и условий (11,24) найдем расстояния максимумов и минимумов от центра диафрагмы:

где для максимумов и для минимумов; Самый далекий от центра диафрагмы максимум получится при

Если

Между этим максимумом и центром диафрагмы может лежать еще некоторое число максимумов и минимумов. Из формулы (11,25) видно, что для получения положительных значений х для минимумов необходимо условие:

Таким образом, ближайшее целое число, меньшее у, даст число минимумов, лежащих между нулем и Расстояния между минимумами при приближении к диафрагме будут постепенно уменьшаться.

Из выражения (11,25) получим расстояние между последним и предпоследним максимумом:

Расстояние между ближайшими к диафрагме минимумами при получим из того же выражения, если положим, согласно неравенству (11,27),

Для случая рассмотренного ниже, где взято получим Расстояния между максимумами увеличиваются по мере удаления от диафрагмы и для расстояния А между последними двумя максимумами получается величина в раз большая в разобранном ниже примере На рис. 93 дан график распределения амплитуды давления на оси, когда На этом же графике пунктиром показаны амплитуды компоненты колебательной скорости вдоль оси х на различных расстояниях от диафрагмы.

Колебательная скорость вдоль оси х определится из выражения:

Рис. 93

Вводя вспомогательный угол (рис. 92) и учитывая, что

получим:

Амплитуда скорости выразится так:

Максимум амплитуды скорости получим при минимумы амплитуды скорости

при

Далекие максимумы, когда угол мал, будут иметь значения, близкие к а минимумы — близкие к нулю. При приближении к диафрагме угол будет приближаться к 90°, и значения максимумов и минимумов будут стремиться к Расстояния

максимумов и минимумов амплитуды скорости от центра диафрагмы найдем из выражения:

которое совпадает с выражением (11,25). Следовательно, экстремальные значения звукового давления и скорости частиц возникают на одних и тех же расстояниях от центра диафрагмы (см. рис. 93).

Из проведенного анализа ясно, что в тех точках, где равны нулю, равен нулю и вектор потока энергии вдоль оси х, а в точках, лежащих вблизи от максимумов поток энергии достигает значений, почти в 4 раза превышающих величину которая имела бы место в плоской волне с амплитудой скорости частиц и амплитудой давления Отсюда ясно, что линии потока энергии от диафрагмы нельзя представлять себе как прямые, параллельные оси поток энергии обтекает точки минимумов, минуя их и, наоборот, концентрируется в максимумах. Эти соотношения будут более очевидны, когда мы изложим результаты более полного исследования всего ближнего поля поршневой диафрагмы.

Согласно формуле (11,26), самый дальний максимум образуется на расстоянии от диафрагмы. Если или то в формуле (11,23) можно с достаточной точностью считать Тогда звуковое давление

где — площадь первой зоны Френеля. Звуковое давление на оси в дальней зоне убывает обратно пропорционально расстоянию амплитуда его меньше, чем в плоской волне, имеющей амплитуду скорости раз, где отношение площади диафрагмы к площади первой зоны Френеля.

Если радиус диафрагмы безгранично увеличивать, то приходим в пределе к случаю излучения звука безграничной колеблющейся плоскостью и должны, очевидно, получить

звуковое поле плоской волны. Применяя к этому случаю формулу (11,21), получим, что звуковое давление

Первый член правильно выражает звуковое давление плоской волны, порождаемое колебаниями плоскости с амплитудой скорости Второй (добавочный) член имеет абсолютную величину, равную дорс, и неопределенную фазу, лежащую в пределах от до Наличие этого члена не соответствует физическому смыслу задачи. Этот неверный результат объясняется тем, что при выводе формулы (11,8) для звукового давления плоской поршневой диафрагмы было поставлено требование, заключающееся в том, что на бесконечности отсутствуют источники звука. Увеличивая радиус поршневой диафрагмы до бесконечности, мы тем самым вводим на бесконечности источники и этим нарушаем поставленные требования, что и приводит к неверному результату.