Мембрана и пластика как элемент, возбуждающий волны в трубе

Волновое движение в трубах часто возбуждается мембранами или пластинками, причем их поверхность изгибается по некоторому более или менее сложному закону.

В гл. 6 показано, что для длинных волн излучение распространяется в форме плоской волны, возбуждаемой суммарной объемной пульсацией, даваемой мембраной, и не зависит от формы ее колебаний. Собственный импеданс колеблющейся пластинки или мембраны, представляющей распределенную систему, можно условно отнести к центру системы, движение которого характеризуется некоторой скоростью Учитывая кинетическую, потенциальную и рассеянную в системе энергию, введем некоторые эквивалентные параметры и характеризующие массу, упругость и трение для системы, "приведенной к центру". Таким образом, мы заменяем распределенную систему системой с одной степенью свободы с эквивалентными массой упругостью и коэффициентом трения Кроме того, силу, действующую на систему по всей ее площади, придется заменить эквивалентной силой действующей в центре и производящей ту же самую работу. Кроме объемной пульсации, порождающей плоскую волну, мембрана или пластинка дает дополнительные колебания в окружающей среде, вызываемые высшими модами колебания поверхности. При длинных волнах высшие моды не порождают волн, распространяющихся в трубе, и возбуждают колебательный процесс лишь в ближней зоне. Это приводит к возникновению дополнительной энергии, связанной с этими колебаниями, и формально может быть выражено как появление добавочной или "присоединенной" массы, как бы движущейся в целом со скоростью Для колебаний в воздухе

эта добавочная масса обычно мала и может не приниматься в расчет. В жидкости такое пренебрежение недопустимо. Величина эквивалентных параметров будет зависеть от формы колебаний мембраны или пластинки. Этот вопрос подробно разобран для круглых пластинок и мембран. Для круглой мембраны радиуса закон распределения амплитуды колебания в зависимости от полярной координаты для статической деформации и для вынужденных колебаний низких частот, вызываемых распределенной по всей площади силой, имеет вид

где амплитуда в центре. В данном случае

Для частоты первого резонанса мембраны, когда вся ее площадь колеблется в одной фазе,

Для пластинки, зажатой по окружности, при низких частотах

а на первой резонансной частоте

где

Для пластинки, опертой по окружности так, что ее края не могут смещаться, но могут свободно перегибаться около неподвижной линии опоры, при низких частотах

т. е. закон распределения такой же, как и для мембраны. Остроумовым вычислены собственные частоты таких пластинок.

Величина эквивалентной массы определится из равенства кинетической энергии эквивалентной системы, движущейся как

поршень со скоростью и действительной кинетической энергии всей системы, определяемой интеграцией по площади. Поскольку скорость в центре имеет наибольшую величину, равенство кинетической энергии поршня, движущегося со скоростью с полной кинетической энергией, может получиться, если положим эквивалентную массу равной некоторой части от полной массы мембраны или пластинки:

Коэффициент называется коэффициентом массы и определяется усреднением квадрата скорости колебаний по площади:

Объемная скорость, создаваемая колеблющейся мембраной площади будет меньше чем и равна где у — коэффициент площади — вычисляется по формуле:

Расчет мощности, излучаемой в форме плоской волны по трубе, возбуждаемой колебаниями пластинки или мембраны, следует вести, взяв среднюю скорость, создаваемую на плошади , как это следует из соображений, изложенных в главе 6 о неоднородных волнах в трубе. Мощность II будет равна

При вычислении коэффициента упругости полости объема V, колебания в которой возбуждаются мембраной площади S, также следует взять эквивалентную площадь

Вычисление эквивалентной упругости для мембран и пластинок при возбуждении равномерным давлением и при возбуждении силой, сосредоточенной в центре, производится путем подсчета полной упругой энергии деформированной мембраны или пластинки и представления, ее в форме Результаты расчетов приведены в табл. 7, где коэффициент натяжения мембраны, — коэффициент Пуассона, а — модуль Юнга. В этой же таблице приведены другие постоянные для мембран и пластин.

(см. скан)

Общая работа внешней силы, распределенной по определенному закону по поверхности мембраны или пластинки, может быть заменена работой некоторой эквивалентной силы, приведенной к центру. Так, например, работа сил равномерного давления производимая при смещении в центре на круглой мембраны или пластинки, колеблющейся по закону будет равна:

Таким образом, ясно, что эквивалентная сила в центре будет равна:

а не как можно было бы думать на первый взгляд.