Отражение звука на конце трубы

Возвратимся к выражениям (5,16) и (5,17) для скорости и давления в любой точке трубы. Член в квадратных скобках, в котором х в показателе степени входит со знаком плюс, характеризует обратную (отраженную) волну, а член, в котором он входит со знаком минус, — прямую.

Отношение амплитуд обратной и прямой волн при назовем коэффициентом отражения волны давления:

Для коэффициента отражения волны скорости частиц из равенства (5,16) получим:

представляет импеданс на единицу площади сечения трубы (удельный импеданс), удельный импеданс, выраженный в единицах и называемый безразмерным импедансом.

Из полученных выражений видно, что при (что соответствует твердой стенке, поставленной в конце трубы) будет полное отражение с изменением фазы скорости и без изменения фазы давления

В случае отражения от открытого конца при низких частотах импеданс трубы без фланца

а для трубы с фланцем (по Рэлею)

При очень малых частотах и мы получим:

Когда т. е. импеданс чисто активный и равен сопротивлению излучения плоской волны (на площади получим:

полное отсутствие отражения или, иначе говоря, полное прохождение звука через выходной импеданс что можно считать за полное "поглощение" звука в сечении

Случай можно реализовать приключением к концу данного отрезка бесконечной трубы того же сечения. Это тривиальное решение задачи полного поглощения. Кроме того, могут существовать другие системы, для которых выполняется

это условие и которые обладают свойством полного поглощения падающей звуковой волны. Таким свойством может обладать, например, резонансная система при определенном подборе ее затухания, а также специально сконструированные поглотители из толстых слоев пористого материала.

При очень высоких частотах импеданс поршневой диафрагмы стремится к величине причем она создает пучок направленных волн, подобно прожектору. Следовательно, звуки очень высокой частоты (ультразвуки) на конце трубы не будут испытывать отражения, а будут свободно выходить в открытое пространство в виде пучка плоских волн.

Труба, закрытая на конце твердой стенкой, аналогична разомкнутой электрической линии. Открытая труба аналогична коротко замкнутой линии. В первом случае на конце образуется максимум давления (напряжения), а во втором — максимум скорости (тока). Если то часть звуковой энергии отразится, а часть пройдет в импеданс т. е. поглотится им.

Напишем выражение (5,17) для давления в несколько иной форме, пренебрегая затуханием в трубе и введя обозначение

где абсолютная величина коэффициента отражения его фаза; тогда получим

Здесь

и

В скобке выражения (5,22) прибавим и вычтем преобразуя, получим:

Из структуры этого выражения видно, что волновой процесс в трубе можно представить как сумму бегущей прямой волны с амплитудой давления и стоячей волны с амплитудой давления

При значениях х, удовлетворяющих условию где т. е. на расстояниях от конца трубы, равных

получаются максимумы давления стоячей волны. В случае абсолютно жесткой стенки первый максимум давления лежит на конце трубы Это возможно, если Очевидно, что тогда коэффициент отражения является действительной величиной.

Ближайший к концу трубы максимум давления получится при т. е. при

или

Ниже будет показано, что может изменяться в пределах: . Таким образом, импеданс на конце трубы может давать сдвиг первого максимума как внутрь так и наружу от конца трубы . В последнем случае первый максимум внутри трубы получается при и его положение будет:

При значениях или

как ясно из формулы получаются минимумы давления стоячей волны. Суммарное звуковое давление в минимумах получим из соотношения (5, 23) при условии (5, 25):

где амплитуда давления в бегущей части волны. В максимумах, согласно равенству (5, 24), учитывая, что получим:

где

Давление в максимумах по амплитуде равно сдвиг фазы между и равен

Отношение амплитуды звукового давления в максимуме к амплитуде давления в минимуме, называемое коэффициентом стоячей волны, равно:

откуда