Синусоидальная плоская волна

Рассмотрим гармонический волновой процесс, распространяющийся в направлении Потенциал скоростей возьмем в форме функции косинуса от аргумента Так как под знаком косинуса должна стоять безразмерная величина, то умножим аргумент на некоторую величину которая должна иметь размерность длины в минус первой степени. Величина по истечении периода должна в данной точке измениться на откуда

где — круговая частота колебаний. Величина называется волновым числом. Потенциал скоростей для периодической волны может быть написан в форме:

Здесь А — произвольная величина, характеризующая амплитуду процесса.

Определим отрезок X, на который переместится некоторая фаза процесса (например, максимум) за время то есть длину волны.

Из формулы (2,13) ясно, что откуда

или

Волновому числу можно приписать направление скорости звука с и считать его вектором.

Для удобства вычислений целесообразно взять потенциал в экспоненциальной форме:

где Величина является здесь комплексной, но в случае необходимости всегда можно взять ее действительную часть которая дается уравнением (2,13). Амплитуду процесса также представим как комплексную величину:

где некоторый фазовый угол, характеризующий фазу процесса при Тогда равенство (2,14; примет вид:

Написание в форме (2,15) вместо (2,14) будем применять лишь в тех случаях, когда это потребуется. При использовании формулы (2,14) не следует забывать, что величина А содержит фазовый множитель

Скорость частиц и звуковое давление равны:

и находятся в одинаковой фазе. В тех областях волны, где имеется наибольшее давление, в тот же момент времени наблюдается и наибольшая скорость по направлению областях волны с минимумом давления — наибольшая скорость по направлению — х. Таким образом, фазы сжатия бегут в волне, всегда совпадая в пространстве с фазой положительной скорости частиц, а фазы разрежения, — совпадая с фазой отрицательной скорости частиц.

Легко убедиться, что принятое при выводе волнового уравнения звуковой волны условие хорошо оправдывается даже для очень громких звуков. Из соотношений (2,16) найдем, что амплитуда и равна , а амплитуды и соответственно равны следовательно, наибольшее значение величины

Для очень сильного звука, невыносимого для слуха бар см/сек; Таким образом, для большинства звуков, с которыми практики чески имеет дело акустика, и условие выполняется с большой точностью.

Общее соотношение имеет, конечно, место и для гармонической волны, как это легко получить из формул (2,16) и (2,17).

Оно сохранится, очевидно, и для амплитудных значений также и для эффективных значений

В акустических расчетах, как и в электротехнике, пользуются, как правило, эффективными величинами и не упоминая об этом специально каждый раз. Таким образом, если упоминается, что звуковое давление равно то следует понимать, что задается эффективная величина давления, а максимальное давление равно при этом

Для бегущей волны, распространяющейся в направлении — мы должны взять выражение:

Произведя вычисление найдем, что

В волне, бегущей по направлению фазы сжатия совпадают с максимумами скорости частиц по направлению , а фазы разрежения — с максимумами скорости частиц по направлению

Следовательно, можно сделать вывод, что направление распространения волны есть направление скорости движения частиц зоне сжатия.

Из формул (2,7) и (2,18) можно заключить, что выражение пригодно как для прямой, так и для обратной волн, если приписывать скорости с знак или в зависимости от направления распространения волны.

Соотношение можно рассматривать с точки зрения аналогии с электрической цепью. В цепи переменного тока с напряжением и полным сопротивлением (импедансом) течет ток Эти величины связаны законом Ома для переменного тока

Если чисто активное сопротивление то

Если мы будем считать:

то связь между по виду аналогична закону Ома для чисто активной нагрузки. Величину

называют удельным акустическим сопротивлением среды.

Акустическое сопротивление измеряется в акустических омах на акустический — это сопротивление, при котором сила в 1 дину вызывает скорость в 1 см/сек.

Акустическое сопротивление есть характеристическая константа среды (величины для некоторых сред даны в табл. 1). Каким образом в среде без трения, для которой выведены все соотношения, появляется величина, аналогичная электрическому сопротивлению, которое связано с рассеянием энергии, станет понятно далее, при разборе вопроса о потоке энергии в волне.

Выведенная нами аналогия с электрической цепью носит лишь внешний характер, так как правильнее было бы сравнивать плоскую волну с волнами вдоль электрической линии, а не с током в контуре с сосредоточенными постоянными. Однако и в приведенной форме аналогия с законом Ома и дальнейшие аналогии с электрической цепью, которые будут введены ниже, полезны, хотя бы с точки зрения удобства запоминания формул.