ГЛАВА 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРЯМОЙ ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Уравнение распространения звука в трубе
Прямая труба постоянного поперечного сечения является составной частью всех звукопроводов, применяемых на практике, и потому рассмотрение законов распространения звука в такой системе очень важно для решения всех вопросов акустики, связанных с экспериментом. Будем предполагать, что боковые стенки трубы абсолютно твердые и совершенно не проводят тепла. Допущение наличия упругости и теплопроводности стенки приводит к значительному усложнению решения задачи. Эти факторы дают добавочное затухание звука вследствие отдачи энергии колебаний стенке и приводят к искажению плоского фронта волны. Внутреннее трение в газе (или жидкости), заполняющем трубу, будем учитывать в упрощенной трактовке, считая, что скорость движения частиц
одинакова по всему сечению (т. е. считая волну плоской), и принимая силу трения пропорциональной этой скорости. Фактически при малой вязкости скорость почти постоянна по всему сечению и быстро падает лишь в узком пограничном слое у стенки. Кроме того, будем считать, что диаметр трубы значительно меньше длины волны. При этом условии неоднородность скорости по сечению трубы, даже если она возникла, быстро выравнивается и волна становится плоской (см. гл. 6).
В трубе сечения
выделим малый элемент объема
(рис. 19), ограниченный двумя плоскостями с координатами
перпендикулярными к оси трубы, причем
При прохождении звука слой частиц с координатой
сместится на величину а слой с координатой — на
величину
Объём элемента, содержащего все частицы, находившиеся ранее между
будет равен:
Относительное изменение объема (деформация)
Это соотношение эквивалентно так называемому уравнению неразрывности (см. гл. 1). Составим уравнение движения элемента
Рис. 19
Как и при выводе основных уравнений акустики, вместо полного ускорения возьмем только локальное ускорение
предполагая, что скорость и градиент скорости частиц малы. Сила реакции, возникающая за счет инерции элемента, запишется тогда так:
Силу трения будем считать пропорциональной скорости движения
Величина
представляет коэффициент трения, рассчитанный на единицу площади и на единицу длины трубы. Для труб с диаметром намного меньшим, чем длина волны, но все же не слишком малым (практически не менее 0,5 — 1 см), на основании исследований Стокса и Гельмгольца (см. гл. 7)
где
радиус трубы,
круговая частота,
плотность среды и
коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения) среды, заполняющей трубу; для воздуха
пуаз, для воды
пуаз. Полная сила трения для элемента длины
и с площадью
будет равна:
т. е. пропорциональна боковой поверхности элемента
Для капиллярных трубок зависимость (5,1) теряет свою силу и коэффициент трения определяется, согласно закону Пуазейля:
Таким образом, для капиллярных трубок величина полного коэффициента трения, равная
не зависит от радиуса трубки
и частоты
вывод формул (5,1) и
дается в главе о звукопроводах.
Если стенки трубы хорошо проводят тепло, то эффективный коэффициент вязкости
возрастает вследствие потери энергии на отдачу тепла:
где
коэффициент теплопроводности газа, заполняющего трубу.
Внешней силой, действующей на элемент
является равнодействующая сил давления на основание цилиндра с площадью 5 и длиной
боковые давления взаимно компенсируются. Суммарная сила внешнего (переменного) давления на элемент
равна:
Для адиабатного процесса, каким при сделанных предположениях и при малых амплитудах можно считать волну в трубе, выполняется соотношение:
Для газа коэффициент объемной упругости
где
статическое давление.
Таким образом, суммарная сила давления на элемент
будет равна:
Учитывая силы реакции, действующие на элемент, и силу давления, получим уравнение движения:
или, сокращая на
Дифференцируя уравнение (5,5) по
умножая под знаком дифференцирования на
и еще раз умножая все уравнение на
и обозначая объемную скорость
получим уравнение движения в форме:
где
Величина
является коэффициентом упругости,
массой,
коэффициент трения, причем все они рассчитаны на единицу длины трубы. Уравнение (5,6) аналогично уравнению распространения волн в электрической линии, или телеграфному уравнению:
Объемная скорость X в уравнении (5,6) аналогична силе тока
в уравнении (5,7), масса
аналогична индуктивности на единицу длины линии
коэффициент трения
сопротивлению
на единицу длины линии, коэффициент упругости
обратной величине емкости на единицу длины линии
Предположим решение уравнения (5,5) в форме выражения для бегущей синусоидальной волны:
где
некоторая, пока неизвестная, величина, имеющая смысл фазовой скорости. Так как
подставляя
соотношение (5,8) в формулу (5,5), получим после сокращения на
или
где с — скорость звука в свободной среде, а
Подсчеты показывают, что для труб с диаметром, большим 1 см, в области звуковых частот Для труб, наполненных воздухом,
откуда при
гц и
Величина
определенная из вышенаписанного уравнения, имеет комплексное значение. Положим
Возводя в квадрат, имеем:
Приравняем действительные и мнимые части; найдем из 2-х уравнений:
Формула волны (5,8) примет вид:
Величина
носит название постоянной распространения. Действительная часть
этой постоянной характеризует ослабление амплитуды волны на единицу длины пути и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5,9) следует, что на отрезке длины х волна ослабевает в
раз. В теории электрических линий затухание принято выражать в натуральных логарифмических единицах, которые получили название непер. Говорят, что затухание составляет
непер или
непер на единицу длины. Так как
то можно оценивать затухание и в десятичных логарифмических единицах. Затухание по амплитуде на отрезке х составит
логарифмических единиц или по интенсивности
дб, т. е. затухание в децибелах получается умножением затухания в неперах на 8,6.
Мнимая часть (а) постоянной распространения называется в теории линий фазовой постоянной. Из структуры формулы (5,9) видно, что эта величина по смыслу аналогична волновому числу, но при скорости распространения
отличной от скорости с. В широких трубах
значит и а) зависят от частоты. Таким образом, будет иметь место дисперсия, и звуковой импульс при распространении изменит свою форму. Аналогичное положение создается, если среда, заполняющая трубу, обладает брльшой вязкостью.
Если величина
то
Фазовая скорость при наличии затухания будет равна
т. е. близка к с и немного меньше ее.
Коэффициент затухания при
будет приблизительно равен:
Затухание на одну длину волны составит:
В отличие от затухания в свободной среде, где, согласно Стоксу,
трубах большого диаметра, для которых
получим дополнительное затухание
Общее затухание будет больше стоксовского. В капиллярных трубках, где
от частоты зависеть не будет.
Определим величину давления
из уравнения (5,5), в котором правая часть, согласно формуле (5,4), равна —
где
произвольная функция времени; среднее значение
при малых амплитудах можно считать равным
Подставляя
(для прямой волны)
и интегрируя по х, найдем:
При
звуковая волна отсутствует,
равны нулю, следовательно,
равно нулю.
При малых потерях
используя (5,8а) и (5,86), получим:
откуда видно, что давление отстает по фазе от скорости частиц на угол
Эта разность фаз, согласно уравнению (5,10), связана с коэффициентом затухания на 1 см
соотношением
с коэффициентом затухания на одну волну
соотношением
При малых затуханиях можно без существенной ошибки считать для прямой волны
для обратной
как это имеет место в среде без трения. Затухание учитывается действительной частью в выражении для у.
Для вычисления потока энергии необходимо знать разность фаз между
, так как выражение для интенсивности имеет вид:
где
амплитуды звукового давления и скорости колебания частиц среды в точке