ГЛАВА 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРЯМОЙ ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

Уравнение распространения звука в трубе

Прямая труба постоянного поперечного сечения является составной частью всех звукопроводов, применяемых на практике, и потому рассмотрение законов распространения звука в такой системе очень важно для решения всех вопросов акустики, связанных с экспериментом. Будем предполагать, что боковые стенки трубы абсолютно твердые и совершенно не проводят тепла. Допущение наличия упругости и теплопроводности стенки приводит к значительному усложнению решения задачи. Эти факторы дают добавочное затухание звука вследствие отдачи энергии колебаний стенке и приводят к искажению плоского фронта волны. Внутреннее трение в газе (или жидкости), заполняющем трубу, будем учитывать в упрощенной трактовке, считая, что скорость движения частиц одинакова по всему сечению (т. е. считая волну плоской), и принимая силу трения пропорциональной этой скорости. Фактически при малой вязкости скорость почти постоянна по всему сечению и быстро падает лишь в узком пограничном слое у стенки. Кроме того, будем считать, что диаметр трубы значительно меньше длины волны. При этом условии неоднородность скорости по сечению трубы, даже если она возникла, быстро выравнивается и волна становится плоской (см. гл. 6).

В трубе сечения выделим малый элемент объема (рис. 19), ограниченный двумя плоскостями с координатами перпендикулярными к оси трубы, причем При прохождении звука слой частиц с координатой сместится на величину а слой с координатой — на

величину Объём элемента, содержащего все частицы, находившиеся ранее между будет равен:

Относительное изменение объема (деформация)

Это соотношение эквивалентно так называемому уравнению неразрывности (см. гл. 1). Составим уравнение движения элемента

Рис. 19

Как и при выводе основных уравнений акустики, вместо полного ускорения возьмем только локальное ускорение предполагая, что скорость и градиент скорости частиц малы. Сила реакции, возникающая за счет инерции элемента, запишется тогда так:

Силу трения будем считать пропорциональной скорости движения

Величина представляет коэффициент трения, рассчитанный на единицу площади и на единицу длины трубы. Для труб с диаметром намного меньшим, чем длина волны, но все же не слишком малым (практически не менее 0,5 — 1 см), на основании исследований Стокса и Гельмгольца (см. гл. 7)

где радиус трубы, круговая частота, плотность среды и коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения) среды, заполняющей трубу; для воздуха пуаз, для воды пуаз. Полная сила трения для элемента длины и с площадью будет равна:

т. е. пропорциональна боковой поверхности элемента

Для капиллярных трубок зависимость (5,1) теряет свою силу и коэффициент трения определяется, согласно закону Пуазейля:

Таким образом, для капиллярных трубок величина полного коэффициента трения, равная не зависит от радиуса трубки и частоты вывод формул (5,1) и дается в главе о звукопроводах.

Если стенки трубы хорошо проводят тепло, то эффективный коэффициент вязкости возрастает вследствие потери энергии на отдачу тепла:

где коэффициент теплопроводности газа, заполняющего трубу.

Внешней силой, действующей на элемент является равнодействующая сил давления на основание цилиндра с площадью 5 и длиной боковые давления взаимно компенсируются. Суммарная сила внешнего (переменного) давления на элемент равна:

Для адиабатного процесса, каким при сделанных предположениях и при малых амплитудах можно считать волну в трубе, выполняется соотношение:

Для газа коэффициент объемной упругости где статическое давление.

Таким образом, суммарная сила давления на элемент будет равна:

Учитывая силы реакции, действующие на элемент, и силу давления, получим уравнение движения:

или, сокращая на

Дифференцируя уравнение (5,5) по умножая под знаком дифференцирования на и еще раз умножая все уравнение на и обозначая объемную скорость получим уравнение движения в форме:

где

Величина является коэффициентом упругости, массой, коэффициент трения, причем все они рассчитаны на единицу длины трубы. Уравнение (5,6) аналогично уравнению распространения волн в электрической линии, или телеграфному уравнению:

Объемная скорость X в уравнении (5,6) аналогична силе тока в уравнении (5,7), масса аналогична индуктивности на единицу длины линии коэффициент трения сопротивлению на единицу длины линии, коэффициент упругости обратной величине емкости на единицу длины линии Предположим решение уравнения (5,5) в форме выражения для бегущей синусоидальной волны:

где некоторая, пока неизвестная, величина, имеющая смысл фазовой скорости. Так как подставляя

соотношение (5,8) в формулу (5,5), получим после сокращения на

или

где с — скорость звука в свободной среде, а

Подсчеты показывают, что для труб с диаметром, большим 1 см, в области звуковых частот Для труб, наполненных воздухом, откуда при гц и Величина определенная из вышенаписанного уравнения, имеет комплексное значение. Положим

Возводя в квадрат, имеем:

Приравняем действительные и мнимые части; найдем из 2-х уравнений:

Формула волны (5,8) примет вид:

Величина носит название постоянной распространения. Действительная часть этой постоянной характеризует ослабление амплитуды волны на единицу длины пути и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5,9) следует, что на отрезке длины х волна ослабевает в раз. В теории электрических линий затухание принято выражать в натуральных логарифмических единицах, которые получили название непер. Говорят, что затухание составляет непер или непер на единицу длины. Так как то можно оценивать затухание и в десятичных логарифмических единицах. Затухание по амплитуде на отрезке х составит логарифмических единиц или по интенсивности дб, т. е. затухание в децибелах получается умножением затухания в неперах на 8,6.

Мнимая часть (а) постоянной распространения называется в теории линий фазовой постоянной. Из структуры формулы (5,9) видно, что эта величина по смыслу аналогична волновому числу, но при скорости распространения отличной от скорости с. В широких трубах значит и а) зависят от частоты. Таким образом, будет иметь место дисперсия, и звуковой импульс при распространении изменит свою форму. Аналогичное положение создается, если среда, заполняющая трубу, обладает брльшой вязкостью.

Если величина то

Фазовая скорость при наличии затухания будет равна

т. е. близка к с и немного меньше ее.

Коэффициент затухания при будет приблизительно равен:

Затухание на одну длину волны составит:

В отличие от затухания в свободной среде, где, согласно Стоксу, трубах большого диаметра, для которых получим дополнительное затухание Общее затухание будет больше стоксовского. В капиллярных трубках, где от частоты зависеть не будет.

Определим величину давления из уравнения (5,5), в котором правая часть, согласно формуле (5,4), равна —

где произвольная функция времени; среднее значение при малых амплитудах можно считать равным Подставляя

(для прямой волны) и интегрируя по х, найдем:

При звуковая волна отсутствует, равны нулю, следовательно, равно нулю.

При малых потерях используя (5,8а) и (5,86), получим:

откуда видно, что давление отстает по фазе от скорости частиц на угол Эта разность фаз, согласно уравнению (5,10), связана с коэффициентом затухания на 1 см соотношением с коэффициентом затухания на одну волну соотношением

При малых затуханиях можно без существенной ошибки считать для прямой волны для обратной как это имеет место в среде без трения. Затухание учитывается действительной частью в выражении для у.

Для вычисления потока энергии необходимо знать разность фаз между , так как выражение для интенсивности имеет вид:

где амплитуды звукового давления и скорости колебания частиц среды в точке