Собственные колебания внутри сферической полости

Потенциал скоростей в этом случае целесообразнее записать в форме (8,17) (положив , поскольку в центре сферы потенциал должен иметь конечное значение, а ):

На внутренней поверхности жесткой сферы, при радиальная компонента скорости должна равняться нулю:

Условие определит частоты собственных колебаний порядка. На основании формул (8, 21а) получим уравнение:

или, используя равенство (8, 15),

По таблицам бесселевых функций полуцелого номера, можно найти корни этого уравнения. Учитывая соотношения (8, 26), условие для собственных частот представим также и в другом виде:

или, так как

откуда

По таблицам функций можно непосредственно найти значения для собственных частот колебаний полости.

По таблицам из книги Морза, можно найти приближенно первые корни для , которые приведены в табл. 8.

Таблица 8 (см. скан)

Более точные значения корней находятся из уравнения (8, 49).

Полагая в формуле (8, 49) для собственных колебаний нулевого порядка получим уравнение или

Первые три корня этого трансцендентного уравнения равны:

Все эти корни соответствуют собственным колебаниям с модой Для корня типа мы всегда имеем корней, меньших чем для которых при той же частоте удовлетворится уравнение (8,50) при меньших чем значениях При этом условие равенства нулю радиальной скорости удовлетворится, кроме самой сферической оболочки, еще и на внутренних,. узловых сферах, т. е. всего имеется узловых сфер.

Так, при удовлетворим уравнению (8,50) при той же частоте еще и при значении но при меньшем радиусе сферы радиус внутренней узловой сферы

Для корня получим две узловые сферы с радиусами:

Индекс соответствует числу узловых сфер, включая и самую сферическую оболочку, или, иначе говоря, числу пространственных отсеков, разделенных узловыми (т. е. как бы твердыми) сферическими поверхностями.

Для собственных колебаний с модами типа получим из соотношения (8,49), полагая уравнение собственных частот:

из которого по формуле (8,16) найдем:

Первые три корня этого уравнения имеют значения:

Первый корень уравнения (8,50) для радиальных колебаний дает длину волны а первый корень (8,51) дает Колебания этой моды представляют движения из одной полусферы в другую через среднюю (экваториальную) плоскость на которой образуется пучность скоростей и нулевое давление, так как Колебания этого рода сходны с колебаниями в закрытой с обоих концов трубе, где, как известно, Для сферы имеем, таким образом, меньшую длину волны (если считать ). Это можно объяснить, приняв сферу за короткую трубу длиной I с закругленными концами. В такой трубе будет увеличена эффективная упругость (вследствие уменьшения объема концевых частей), а эффективная масса, определяемая массой сферы в зоне наибольших скоростей, будет почти неизменной. Следовательно, собственная частота должна повыситься.

Условие (8,49) дает значения всех собственных частот и позволяет найти значения радиусов внутренних узловых

сфер. Следует учесть, что колебания порядка могут соответствовать любому типу сферической функции (8,8):

В полости сферы могут поэтому образоваться отдельные ячейки, не только разграниченные сферическими узловыми поверхностями (являющимися как бы жесткими границами этих ячеек), но и ячейки, разграниченные узловыми конусами и узловыми меридиональными плоскостями. Число меридиональных узловых плоскостей равно числу а число узловых конусов равно причем один из конусов всегда вырожден в осевую линию

Вид ячеек, на которые сфера разбивается, при колебаниях порядка можно также определить из условия максимума колебательной скорости, что соответствуем нулевому значению звукового давления, а значит, и потенциала скоростей. Это условие будет выполнено для зональных мод, если

Согласно формуле (8,9), представляет полином степени от аргумента Полиномы этого вида имеют действительных корней, попарно равных и имеющих разные знаки. Таким образом, поверхности нулевого давления представляют конусы, соприкасающиеся вершинами в центре, с общей осью и равными углами при вершине; ячейки будут разграничены по полярному углу коническими поверхностями. По радиусу их границы определятся из условия причем принимает ряд дискретных значений, меньших

Для колебательных мод, определяемых присоединенными функциями, условия нулевого давления на различных границах ячеек имеют вид:

Третье условие определяет наличие меридиональных плоскостей, по которым давление равно нулю. Поскольку, согласно равенству мы всегда будем иметь решение таким образом, ось всегда является линией нулевого давления. Производные порядка от являются полиномами степени относительно х. Условие дает уравнение степени относительно х, у которого имеется

корней, определяющих конусов нулевого давления. Как и для зональных мод, эти конусы соприкасаются в центре, т. е. являются двухполостными. Итак, если имеются присоединенные функции, то поверхности отдельных колебательных ячеек разграничиваются сферами нулевого давления (число которых меняется от 1 до m), меридиональными плоскостями (числом v) и конусами При четном пара конусов вырождается в экваториальную плоскость.

Условие (8,49) дает все собственные частоты соответствующие значениям индексов тип. Однако характер колебаний при данном может быть, очевидно, совершенно различен в зависимости от значения индекса (т. е. числа узловых плоскостей). Таким образом, следует характеризовать колебательную моду сферической полости тремя индексами Найденные нами корни уравнений (8,50) и (8,51) для соответствуют модам Общее число различных геометрических конфигураций при заданных пит равно числу постоянных уравнений (8,8), т. е. Конфигурации, соответствующие постоянным отличаются только поворотом на 90° вокруг оси z, поэтому существенно различных конфигураций будет всего Собственные частоты сферической полости до высоких порядков вычислены для различных значений пит Феррисом . В табл. 9 приведены значения для

Следует заметить, что условие разбивки поверхности сферического излучателя на зоны выводится так же, как и в (8,52) из равенства нулю отдельных членов сферической функции (см. (8,52) и (8,52а)), что соответствует одновременно равенству нулю радиальной компоненты скорости по определенным линиям на сфере (см. (8,23)). Для сферического излучателя при из условия получим на поверхности две зоны, разделенные узловым кругом (экватором). Сферический резонатор для моды (1,0,0) имеет, кроме поверхности только узловой конус, вырожденный в линию (полярная ось). Скорости, перпендикулярные к оси, отсутствуют, вся сфера является одной цельной резонансной ячейкой, в которой имеются потоки, двигающиеся из одной полярной области в другую и обратно. Если за критерий разбивки взять условие то экватор будет поверхностью нулевого давления, он разобьет сферу на две ячейки.

При для излучателя имеем три зоны: от 0 до 55°, от 55° до 125° и от 125° до 180°. Для собственных колебаний полости с зональной модой (2,0,0) имеем условие ; оно определяет конус с углом 55° при вершине по

Таблица 9 (см. скан)

поверхности которого скорости на этой поверхности максимальны и направлены по нормали к конусу. Среда при колебаниях движется из полярных областей и в экваториальную и обратно. Вдоль линии и вдоль плоскости частицы движутся тангенциально.