Осцилляционное колебательное движение жидкой (или газообразной) сферы в поле звуковой волны

Давление в различных точках на поверхности сферы при воздействии на нее плоской звуковой волны распространяющейся по направлению отрицательной оси х, будет равно:

В направлении отрицательной оси действует компонента давления Суммарная сила давления по направлению падающей волны

где скорость частиц в падающей волне, объем сферы. Написанные приближенные выражения справедливы при

Сила вызывает движение сферы вместе с присоединенной массой. Выразим скорость колебаний вдоль оси из равенства (9,22). При амплитуда радиальной компоненты скорости, создаваемой падающей волной, будет:

а рассеянной волной:

Суммарная амплитуда радиальной скорости при равна:

Первый член в квадратных скобках дает амплитуду пульсационных колебаний; он будет мал по сравнению со вторым членом, имеющим порядок единицы, только при условии, что

В этом случае

Амплитуду скорости всей сферы в целом вдоль оси х получим, взяв значение при или Говорить о колебаниях всей сферы как целого, очевидно, имеет смысл только если второй член в уравнении (9,37) больше первого. Условие приводит к заключению, что для пузырьков газа в жидкости (когда второй член имеет порядок 2), это возможно только в области сравнительно низких звуковых частот. Так, для пузырька с радиусом оно соблюдается при а для при . Иначе будет для баллона, наполненного водородом и находящегося в воздухе; в этом случае указанное условие дает Следовательно, говорить о колебаниях баллона в целом можно уже при частотах, равных резонансной и даже лежащих выше нее.

Для твердых или жидких частиц, взвешенных в жидкости или газе, величина будет очень велика и условие всегда соблюдается. Однако в этом случае будет значительно меньше

Из формулы (9,39) получим:

Относительная скорость сферы по отношению к движущейся со скоростью среде равна:

Абсолютная и относительная скорости при различных соотношениях плотности среды и сферы имеют следующие значения:

При действии звуковой волны на очень тяжелую сферу получаем что имело место в уже рассмотренном ранее случае жесткой неподвижной сферы. Интересно отметить, что скорость получается в результате сложения переносной скорости всей среды создаваемой звуковой волной, и относительной скорости в обратном направлении, вызываемой полем рассеянной волны.

Если то сфера является как бы частью однородной жидкости и движется вместе с ней со скоростью создаваемой падающей звуковой волной. Относительная скорость равна нулю. Случай может быть реализован погружением в жидкость сферической оболочки с добавочным грузом, подобранным так, чтобы средняя плотность сферы была равна плотности жидкости.

Особый интерес представляет сфера очень малой плотности (например, газовый пузырек в жидкости). Относительная скорость здесь имеет двойную величину по сравнению с переносной скоростью среды, создаваемой волной, а абсолютная скорость становится равной тройной скорости частиц в падающей волне.

Проанализируем этот вопрос в связи с возникновением присоединенной массы. Как известно, присоединенная масса осциллирующей сферы равна половине массы среды, вытесняемой сферой, т. е. В уравнение движения сферы следует включить инерционную силу, равную произведению массы сферы на ускорение в абсолютном движении и инерционную силу в относительном движении, равную произведению присоединенной массы на ускорение в относительном движении Уравнение движения примет форму:

В это уравнение входят амплитудные значения сил и скоростей, так как разности фаз между нет.

Учитывая, что получим из уравнения движения

т. е. выражение уже выведенное ранее. Дополнительная сила, вызывающая относительное движение, возникает вследствие действия рассеянной волны и будет равна произведению присоединенной массы на относительное ускорение:

Если то т. е. амплитуда дополнительной силы положительна (направлена против движения частиц среды) и равна инерционному импедансу присоединенной массы, умноженному на амплитуду скорости частиц среды. Эта сила вызовет движение со скоростью обратной скорости движения среды и в результате

При сила а при сила будет равна:

Следовательно, сила отрицательна, т. е. направлена в ту же сторону, что и скорость частиц среды. Она получается умножением импеданса присоединенной массы на относительную скорость сферы Поскольку в данном случае дополнительная сила вызывает движение вдвое меньшей присоединенной массы она сообщает удвоенную скорость.

В сплошной среде как это видно из равенства (9,40), эта сила вызывает амплитуду скорости движения массы равную

Рассмотренные вопросы имеют значение при изучении колебаний легких частиц, взвешенных в жидкости (например, пузырьков газа), а также при расчете колебательного движения тел, имеющих положительную плавучесть, погруженных в жидкость. В последнем случае под следует понимать среднюю плотность всей системы.

Выясним, будут ли применимы полученные выражения для скорости движения сферы (имеющей плотность отличную от плотности среды) при учете вязкости среды. В частности, рассмотрим этот вопрос для колебаний газовых пузырьков в воде.

Амплитуду силы сопротивления, действующей на сферу в вязкой жидкости, можно рассчитывать по формуле

где С — коэффициент сопротивления, известный из гидродинамики, зависящий от величины относительной скорости

Учтем, что сфера при колебательном движении в случае газового пузырька испытывает инерционное сопротивление, амплитуда которого равна:

Следовательно, отношение амплитуд инерционной и вязкой сил

Для колебания газовых пузырьков формулу (9,38), которая выражает условие превышения амплитуды осцилляционных колебаний над пульсационными, можно записать в более жесткой форме: откуда

Для чисел Рейнольдса меньших 1,5, коэффициент где коэффициент динамической вязкости, и из соотношения (9,42) получим условие превышения инерционных сил над вязкими:

Условия (9,43) и (9,44) дадут совместно область частот, в которой приближенно применимы выражения (9,40) и (9,41) для колебательной скорости пузырьков различного диаметра. При получим:

При различных диаметрах будем иметь:

Таким образом, формулу (9,40), определяющую чисто осцилляционные колебания, имеет смысл применять только для пузырьков диаметра большего 0,003 см и лишь в узкой области звуковых частот. При высокой температуре нижняя граница понизится по частоте; при она понизится в 2,5 раза.

Условие всегда выполняется для пузырьков любого размера при малых амплитудах колебаний ; положение меняется для больших амплитуд. Так, при амплитуде давления атм получим и . В этом случае для пузырьков с диаметром от до используя экспериментальные данные для величины получим, что у может быть больше единицы лишь для пузырьков с диаметром, большим 0,1 см в узком диапазоне низких звуковых частот; так для см:

Для сферических оболочек большого диаметра, погруженных в воду и имеющих среднее значение (положительная плавучесть), можно подсчитать исходя из известной формулы Лява для тонких оболочек:

где плотность материала оболочки и о — коэффициент Пуассона. При рассмотрении колебаний оболочки в воде следует учесть увеличение массы за счет присоединенной массы воды Это вызывает понижение резонансной частоты до значения:

Стальная оболочка с диаметром см и толщиной см имеет гц. Условие (9,38) даст верхнюю границу частот т. е. выше В этом случае средняя плотность и из формулы (9,41) получим:

Устанавливая внутри оболочки устройство (типа сейсмографа) и измеряя им можно, далее, вычислить и амплитуду звукового давления