Рассеяние плоской волны абсолютно жестким и неподвижным цилиндром

Падающую вдоль положительной оси перпендикулярно к оси цилиндра плоскую волну можно записать так:

где угол, отсчитываемый от направления волны, расстояние между некоторой точкой и осью цилиндра. Представим плоскую волну как сумму цилиндрических волн. Положим

Помножим обе части уравнения на и возьмем от обеих частей интеграл в пределах от до В правой части интеграл от будет отличен от нуля лишь при и равен (при ) и (при 0).

Из теории бесселевых функций известно, что

Таким образом, коэффициенты имеют значения:

и давление в плоской волне запишется так:

Радиальная скорость равна:

при выводе использованы формулы (10,7) и (10,10).

В результате воздействия волны на поверхность цилиндра возникнет рассеянная волна. Предположим, что она имеет общую форму расходящейся цилиндрической волны. Звуковое давление в этой волне и радиальная скорость выразятся

формулами (10,4) и (10,5а). На поверхности цилиндра скорость должна равняться нулю: Следовательно,

откуда найдем коэффициенты амплитуды рассеянных волн различных порядков

На больших расстояниях от цилиндра для звукового давления и радиальной скорости в рассеянной волне получим:

где

Характеристика направленности для интенсивности рассеянной волны определится функцией На рис. 85 представлены характеристики рассеяния для значений .

Рис. 85

При длинных волнах рассеяние звука мало и идет в основном в сторону падающей слева волны. Чем короче становится волна, тем все большая и большая часть энергии рассеивается по направлению падающей волны и характеристика направленности приобретает сложный характер с рядом лепестков.

При длинных волнах в сумме выражения для играют роль только два первых члена (m = 0 и 1). Интенсивность рассеянного звука выражается простой формулой:

а полная рассеянная мощность

где интенсивность падающей плоской волны. Для цилиндра рассеянная мощность обратно пропорциональна третьей степени X, а не четвертой, как для сферы (см. (9,10)).

Для коротких волн становится непригодным анализ по методу разложения в ряд по функциям . Более сложные методы анализа приводят к заключению, что для коротких волн половина рассеянной энергии (равная на единицу длины цилиндра рассеивается по законам геометрического отражения, преимущественно по всем угловым направлениям, идущим навстречу падающей волне, и имеет кордиоидную характеристику направленности. Вторая половина рассеянной энергии сосредоточивается почти целиком в направлении и создает "тене-образующий" луч, ограниченный в ближней зоне сечением цилиндра и дальше постепенно расходящийся; он имеет интенсивность но обратную фазу по отношению к падающей волне. Вследствие этого за цилиндром возникает зона тени. На границе зоны тени возникают дифракционные явления, дающие многочисленные максимумы и минимумы в характеристике направленности.

Общая рассеянная мощность

Она в два раза больше, чем мощность плоской волны, падающей на сечение цилиндра.

Морз получил следующее выражение для интенсивности рассеянной волны (на далеких расстояниях) при условии

Первый член представляет интенсивность отраженной, а второй — интенсивность тенеобразующей волны, сосредоточенной в пределах угла Быстроменяющиеся члены в конечном угловом интервале в среднем дают нуль.