ГЛАВА 9. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА СФЕРОЙ

Рассеяние звука на жесткой неподвижной сфере

Возникающее при падении звука на жесткое неподвижное препятствие звуковое поле можно рассчитать, предполагая, что в результате воздействия падающей волны на этом препятствии зарождается новая, рассеянная (или дифрагированная) волна, причем в сумме обе волны — падающая и рассеянная — должны дать на поверхности нормальную скорость, равную нулю. Обычно под дифракцией понимают загибание лучей в зону геометрической тени, а под рассеянием — возникновение системы волн, как бы исходящих от некоторого тела во все стороны при падении на него волны, приходящей от удаленного источника. Приводимое ниже решение задачи является общим — оно описывает полную волновую картину, охватывающую как дифрагированные, так и рассеянные волны, не давая какого-либо критерия их различия.

Выберем направление распространения плоской падающей волны по отрицательной оси х, а жесткую сферу радиуса поместим в начале координат (рис. 77), тогда звуковое давление в падающей волне

В точке где Обозначая величину через , получим:

Разложим плоскую волну на сумму сферических волн:

где сферическая функция (полином Лежандра) порядка Умножим обе части уравнения на и проинтегрируем правую и левую части по от —1 до

Из теории сферических функций известно, что

Рис. 77

Следовательно,

Можно доказать, что интеграл, входящий в выражается через бесселевы функции полуцелого порядка от аргумента

Если введем сферические бесселевы функции (см. гл. 8), то для получим:

Таким образом, плоская волна, падающая на сферическое препятствие, может быть выражена суммой сферических волн, исходящих из центра сферы:

Рассеянную волну давления также можно записать в виде сложной сферической волны, исходящей из начала координат. Используя соотношение (8,22), имеем:

где — сферическая функция Ганкеля второго рода.

Так как скорость частиц в радиальном направлении получится из выражения

то граничное условие на жесткой сфере примет вид:

Согласно формулам (8,21), (8,23) и (8,24), имеем:

и

Используя эти выражения и сокращая на неравный нулю множитель приведем граничное условие к виду:

Приравняем почленно нулю сумму каждой пары членов с индексом тогда найдем:

Подставляя в уравнение (9,3), получим окончательное выражение для давления в рассеянной волне:

Полученное выражение позволяет вычислить звуковое поле рассеянной волны при любом Однако при 1 полученный ряд начинает сходиться медленно, и практически вычисление при становится крайне громоздким.

Скорость частиц в радиальном направлении будет равна:

Так как при

то для вектора Умова в рассеянной волне получим:

Вместо добавки в аргументе косинуса можно ввести множитель

Если падающую волну взять в направлении положительной оси х, следуя Морзу, то в ряд по сферическим функциям надлежит разложить Тогда вместо уравнения (9,2) получим аналогичное выражение, содержащее В выражение для вместо войдет в коэффициенте

функция заменится на войдет вместо Вектор Умова тогда примет вид, аналогичный соотношению (9,7), с той лишь разницей, что под знаком косинуса будет стоять разность без добавки члена

Таким образом, если угол отсчитывать от направления падающей волны, то для получается более простое выражение. На рис. 78 приведены полярные характеристики рассеяния сферы при различных значениях аргумента

Рис. 78

Рассмотрим, что дает выражение (9,7) в случае длинных волн

Для сочетаний соответствующие члены содержат Для сочетаний а также войдет 4, а если то войдет Таким образом, сумма (9,7) определится первыми четырьмя членами, для которых тип равны или 1, так как остальные будут меньше по крайней мере на два порядка.

где интенсивность падающей плоской волны. Таким образом, навстречу падающей волне рассеянная энергия в Раз больше, чем в направлении волны.

Полная мощность, рассеянная сферой при будет равна

где X — длина волны, объем сферы. Легко подсчитать, что из всей рассеянной энергии или 93%, распространяется в направлении, обратном падающей волне (под углами от 0 до 90°), и лишь (7%) — в прямом направлении. В общем случае, не ограничивая расчет малостью интегрированием выражения (9,7) получим:

Соотношение (9,10) представляет известный закон рассеяния Рэлея, примененный им к объяснению голубого цвета неба.

Подсчитаем относительное эффективное сечение (7) рассеяния сферического препятствия. Для этого приравняем величину потоку энергии плоской волны, проходящей через круг с некоторой площадью Из этого условия найдем:

т. е. для длинных волн эффективное сечение составляет лишь малую долю сечения сферы

Для звукового давления рассеянной волны на больших расстояниях из (9,6) получим:

Из формул (9,9) и (9,11) следует, что для длинных волн рассеянная волна эквивалентна излучению суммы двух излучателей: нулевого порядка и первого порядка (дипольного), из которых последний имеет в 1,5 раза большую амплитуду. Это

можно истолковать следующим образом. Жесткая и неподвижная сфера препятствует движению жидкости в занимаемом ею объеме. Этот объем не может сжиматься и колебаться (в направлении волны) так, как это имело бы место в отсутствие сферы, что можно приписать возникновению движений рассматриваемого сферического объема с обратной фазой и равной амплитудой. Это и есть источник нуль-плюс-первого порядка, упомянутый выше.

Может показаться непонятным, почему излучение первого и нулевого порядка почти одинаковы, поскольку в падающей плоской волне амплитуда скорости на поверхности сферы, пропорциональная Для первого порядка будет больше, чем для нулевого. Действительно, подставляя значения из уравнения (9,6а) для найдем, что амплитуды скорости на поверхности пропорциональны:

Отсюда видно, что в падающей волне наиболее сильно выражено осцилляторное движение Интенсивность рассеянной волны определяется произведением сопротивления излучения на квадрат амплитуды скорости. Используя выражения (8,60) и (8,62) для сопротивления излучения, найдем, что полная мощность излучения для различных членов будет иметь порядок.

Таким образом, несмотря на большую (в раз) амплитуду скорости на поверхности для 1-го порядка, мощность излучения 0-го и 1-го порядка оказывается одинаковой. Излучение высших порядков будет играть ничтожную роль.

При значениях характеристика направленности рассеянного излучения принимает сложную форму с рядом максимумов и минимумов. По направлению падающей волны интенсивность рассеянного звука наибольшая. Но в этом направлении, как известно, должна получиться тень; это кажущееся противоречие будет разъяснено ниже. Из приведенных на рис. 78

характеристик рассеяния ясно, что с увеличением максимум в направлении возрастает и делается все более и более острым.

Ряд (9,7) оказывается практически непригодным для больших Морз дает для вычисления интенсивности звука, рассеянного сферой при асимптотическое приближение:

В направлении, обратном падающей волне, рассеивается интенсивность а в направлении падающей волны интенсивность которая при будет намного больше, чем Если угол удовлетворяет условию то и добавочный член в скобках выражения (9,12) будет равен нулю. Таким образом, остро направленный луч с максимумом под углом имеет угловую ширину При условии функция имеет максимум, равный 0,34, и добавочный член в соотношении (9,12) получит значение Боковой максимум интенсивности (под углом будет в раза меньше, чем максимум под углом Следующие максимумы будут еще меньше. Обратим внимание, что формула (9,7) и все вытекающие из нее формулы, в том числе и выражение (9,12), выведены для случая 1, что соответствует зоне фраунгоферовой дифракции. Детали интерференционной картины в зоне френелевой дифракции, когда расстояния от центра сферы меньше, чем не могут описываться этими формулами.

Для коротких волн должно получиться приближение, вытекающее из геометрической акустики. В этом случае рассеянную волну можно представить как бы разделенной на две части — действительно рассеянную по всем направлениям, исходящую из центра сферы волну и на узкий пучок тенеобразующей волны, идущей по направлению и ограниченной площадью сечения сферы Интенсивность тенеобразующей волны равна интенсивности падающей волны, а фазы их противоположны, так что эти две волны в сумме дают тень. Второй член в уравнении (9,12) как раз и представляет тенеобразующую волну.

Суммарная рассеянная энергия при коротких волнах

Половина ее дает тенеобразующую волну, а вторая половина — подлинную рассеянную волну. Заметим, что интеграл по сфере от первого члена в уравнении (9,12) дает как раз так же как интеграл от второго члена. Подробный анализ рассеяния звука при коротких волнах представляет большие математические трудности.