ГЛАВА 11. ПОРШНЕВАЯ ДИАФРАГМА

Звуковое поле поршневой диафрагмы

Под поршневой диафрагмой подразумевается абсолютно жесткий, плоский поршень с произвольной формой края, совершающий колебания по нормали к своей поверхности. В решении задачи о звуковом поле поршневой диафрагмы, данном Рэлеем, предполагается, что поршень совершенно плотно (без зазора) входит в прорезь плоского, безгранично простирающегося экрана. Экран предполагается неподвижным, т. е. считается, что скорости на его поверхности равны нулю. Нормальная скорость на поверхности поршня в общем решении может быть распределена по любому закону; наиболее простой случай соответствует постоянному значению скорости по всей поверхности (это собственно и соответствует точному смыслу термина "поршень"). Излучение поршня без экрана рассмотрено Л. Я. Гутиным.

Задача об излучении поршневой диафрагмы может быть решена общим методом, путем задания потенциала скорости и его нормальной производной на некоторой поверхности.

Пусть в некоторой области пространства V, ограниченной поверхностью существуют две функции и удовлетворяющие волновому уравнению:

однозначные, конечные и непрерывные вместе со своими производными 1-го и 2-го порядков. По теореме Грина

где символ производной по внутренней нормали. Согласно уравнениям (11,1), левая часть соотношения (11,2) равна нулю. Возьмем в качестве функции потенциал точечного источника будем считать за потенциал скорости внутри области, ограниченной поверхностью (точнее говоря, определяют лишь пространственно зависимую часть потенциала скорости, если предположить, что зависимость от времени взята в форме Функция удовлетворяет волновому уравнению, но в точке она обращается в бесконечность, и, следовательно, в этой точке уравнение (11,2) не применимо. Определим значение потенциала скорости в точке А, которую примем за начало сферической системы координат. Выберем поверхность интегрирования в формуле Грина так, чтобы она состояла из внешней поверхности и поверхности малой сферы с центром в точке А (рис. 87). Тогда точка исключается из объема V и по формуле (11,2) (считая левую часть равной нулю) найдем:

Рис. 87.

На поверхности сферы

Элемент поверхности где — телесный угол, охватывающий Следовательно,

В пределе, при , первый интеграл стремится к нулю, а второй к значению где потенциал в точке А. Тогда

Таким образом, потенциал скорости в любой точке внутри поверхности выражается через значения потенциала и его производной по нормали на поверхности

Преобразуя соотношение (11,4) с помощью интеграла Фурье, можно получить известную формулу Кирхгофа, которая выражает потенциал через значения запаздывающего потенциала и его нормальной производной на поверхности

Формула (11,4) дала бы решение краевой задачи только в том случае, если бы было известно распределение по поверхности как скоростей так и давлений (поскольку . Однако задавать обе эти величины на поверхности произвольно нельзя, так как, задавая одну из них, мы уже предопределяем значения другой. Выражение (11,4) в общем виде не дает решения краевой задачи и его можно применить для определения поля только в некоторых частных случаях, когда удается преобразовать уравнение (11,4) так, чтобы исключить зависимость или от или от

Существенно отметить, что выражение (11,4) определяет поле в точке А как сумму воздействий некоторых распределенных по поверхности точечных источников с поверхностной плотностью и дипольных источников с плотностью

Поскольку где звуковое давление, второй член соотношения (11,4) определяется распределением давления по поверхности

Формулу (11,3) можно применить к области лежащей между поверхностью и сферой бесконечного радиуса. На поверхности сферы И положим равными нулю как так и будем считать, что в объеме бесконечности нет источников звука, тогда левая часть в выражении (11,3) обратится в нуль. Обозначая через и на поверхности с внешней стороны значения потенциала скоростей и его производной по внешней нормали и (т. е. по внутренней нормали для области V), получим:

Складывая равенства (11,4) и (11,5) и учитывая, что найдем:

Здесь величины представляют объемную скорость (производительность) точечных источников, причем учитывается пульсация по нормали в обе стороны от элемента а величина определяется скачком давления при переходе через поверхность Поскольку равенство (11,5) справедливо при любых значениях и то данное значение можно получить из соотношения (11,6) при произвольном распределении по поверхности Это и указывает, что формула (11,4) не дает решения краевой задачи, а скорее является своеобразным преобразованием волнового уравнения в интегро-дифференциальную форму, которое еще требует решения. Однако в некоторых частных случаях, обсуждаемых ниже, равенство (11,6) дает путь к решению задачи.

Пусть поверхность является плоскостью, и распределение величин симметрично с двух сторон относительно этой плоскости, т. е. в каждой точке

причем интеграл распространяется только на одну сторону плоскости На плоскости симметрии в тех точках, где нет источников, суммарная скорость по нормали будет равна нулю. Плоскость симметрии вне области, где заданы источники можно заменить твердой стенкой (экраном) и интеграл (11,7) распространять только на ту часть плоскости, где Очевидно также, что при наличии твердой стенки, мы имеем право вести расчеты для звукового поля только по одну сторону от плоскости , считая поле по другую сторону лишь воображаемым.

Следует отметить, что при выводе формулы (11,4) было сделано предположение об отсутствии источников в бесконечности. Следовательно, поскольку для соотношения (11,7) поверхность простирается в бесконечность, необходимо иметь в виду, что часть плоскости 5, на которой задаются

скорости отличные от нуля, должна иметь конечные размеры. Далее, на простом примере бесконечной колеблющейся с амплитудой скорости поверхности будет показано, что формула (11,7) в этом случае не дает верного результата, так как на бесконечности

Если поверхность представляет плоский поршень, пульсирующий в обе стороны с амплитудой скорости то откуда

Плоскость симметрии мы заменяем вне поршня твердой стенкой-экраном и, рассматривая только одну половину пульсирующего поршня, получаем по формуле (11,8) решение задачи для звукового поля поршня, колеблющегося в окружении безграничного экрана.

Величина представляет потенциал скоростей точечного источника с производительностью излучающего в телесный угол Формула (11,7) показывает, что потенциал в точке А получается суммированием потенциалов отдельных точечных источников, распределенных по площади с учетом запаздывания потенциала (множитель Таким образом, выражение (11,8) по своему смыслу соответствует принципу Гюйгенса. Однако, как указывалось выше, применение его ограничено условием отсутствия источников в бесконечности и поэтому оно непригодно, например, для решения задачи о звуковом поле бесконечной колеблющейся плоскости.

Если поверхность представляет бесконечно тонкий листок, а внутренний объем, охватываемый этой поверхностью, равен нулю (например, бесконечно тонкий диск или отрезок конуса), то при колебаниях всей поверхности в целом сумма нормальных компонент скорости с обеих сторон равна нулю, и из формулы (11,6) получим:

Потенциал скоростей определится только дипольными (силовыми) источниками момент дипольного слоя на единицу площади будет зависеть от разности давлений Задача может быть решена только тогда, когда задано распределение звуковых давлений на поверхности

однако в большинстве случаев и, в частности, в приведенном примере колеблющегося диска или конуса (громкоговорителя) с заданной скоростью, распределение давления не известно и не может быть выражено простым образом через колебательную скорость. В этом случае решение задачи непосредственно по формуле (11,9) получить нельзя.

Применение соотношения (11,6) возможно для расчета звука вращения воздушного винта (пропеллера). Силовые воздействия винта (давления) на воздух можно точно подсчитать по формулам аэродинамики во всех точках его поверхности, и в сумме они дадут величину тяги и момента вращения винта; давление распределено несимметрично — оно больше в сторону тяги винта (вперед). Первый член уравнения (11,6) определяется вытеснением воздуха телом винта при его вращении, что также легко поддается учету. Как силовые, так и скоростные источники задаются в данном случае в форме бегущих по кругу возмущений. Этот метод применен для расчета звука вращения винта Гутиным (см. гл. 8).