Собственные колебания в трубе, замкнутой на импедансы Z0 и Zl

При возникновении собственных колебаний в системе, состоящей из трубы, замкнутой на импедансы фаза волны, пробегающей систему в прямом и обратном направлении,

должна измениться точно на Учитывая сдвиги фазы, равные и , на концевых импедансах, и набег фазы, на двойной длине трубы, это условие можно записать так:

откуда

где косинусы и синусы фазовых углов , определяются формулами (5,31) и являются функциями частоты Из уравнения (5,50) определяются частоты собственных колебаний системы Решение этих уравнений в общем виде достаточно сложно. Проще всего решение можно найти графически, если построить в функции со левую и правую части уравнений и определить точки пересечения соответствующих кривых.

В некоторых частных случаях решение легко получается аналитически.

1. Пусть, например, труба в начале открыта, а на конце закрыта чисто реактивным импедансом Тогда Из формул (5,50) и (5,31) получим:

Эти уравнения имеют два решения:

Второе решение не удовлетворяет уравнениям для и появляется как лишнее при решении уравнения (5,51), в которое входит

а) Из уравнения при (открытый конец) получим: что является известным результатом для открытой с двух концов трубы.

б) При (закрытая в конце труба) это также хорошо известный результат.

II. При (жесткая стенка) и при включении импеданса в начале, следовательно, Из соотношений (5,50) и (5,31) получим:

Из последнего уравнения, как и в случае открытой на конце трубы, найдем:

однако пригодно лишь второе решение. Условие резонанса будет иметь вид:

III. Если в начале труба открыта, а на конце присоединен объем V (рис. 26), то, когда его размеры малы по сравнению с длиной трубы I и длиной волны можно считать, что и первое из уравнений (5,52) для собственных частот примет форму:

Рис. 26

Рис. 27

Для нахождения корней этого уравнения следует построить в функции семейство тангенсоид (рис. 27) и гиперболу Точки пересечения гиперболы с тангенсоидой будут соответствовать корням уравнения для собственных частот. Когда длина трубы невелика, первый корень будет значительно меньше других, и можно приближенно считать:

откуда

где величина называемая проводимостью. Это известная формула для собственной частоты резонатора.

IV. Рассмотрим собственные частоты открытой с одной стороны трубы длиной другом конце которой присоединена труба длиной с сечением о, закрытая или открытая на конце (рис. 28).

Рис. 28

Учитывая трансформацию удельных импедансов (см. гл. 7 о звукопроводах), можно написать на основании формул (5,45), (5,47) и (5,52) уравнения для собственных частот.

Если труба короткая, то для закрытой трубы

При из последнего уравнения следует:

откуда

В случае присоединения очень узкой трубы получим известную формулу для трубы, открытой с одного конца и закрытой с другого. Таким образом, присоединение узкой закрытой трубы понижает собственную частоту основной трубы.

Если то уравнение собственных частот примет вид:

откуда

Это известные уравнения для собственных частот трубы длиной результат является проверкой правильности примененного метода расчета.

Рассмотрим случай короткой открытой трубы считая, так что то откуда

Для нахождения получим квадратное уравнение, положительный корень которого дает:

Из этой формулы ясно, что просоединение тонкой открытой трубы повышает собственные частоты основной трубы длиной Кроме того, очевидно, что обертоны будут негармоническими; действительно

Повышение собственной частоты можно объяснить следующим образом. Резонансную систему открытой трубы можно представить как систему с сосредоточенными постоянными, причем некоторая эквивалентная масса сосредоточена близ открытого конца, а эквивалентная упругость — близ закрытого конца. Присоединение открытой трубы создает на закрытом конце дополнительную массу, которая оказывается соединенной с основной массой трубы через промежуточную упругость. Общая масса получается параллельным соединением двух масс и оказывается меньше основной массы воздуха в трубе, что и

вызывает повышение собственной частоты системы. Такая система известна под названием "звуковой гриб".

Иначе обстоит дело, если площадь трубы не очень мала и соблюдается условие Тогда

и из (5,55) получим:

Это условие соответствует собственной частоте открытой с обеих сторон трубы длиной Например, если см и см, то из-за добавки трубочки получим Удвоение эффективной длины трубы и понижение всех собственных частот в два раза.

Проведенные рассуждения естественно применить к вопросу о влиянии импеданса слоя, покрывающего стены помещения на собственные частоты. Если импеданс на конце трубы имеет отрицательную реактивную часть, то на основании соотношения (5,54) и из рис. 27 ясно, что первая и следующие собственные частоты системы понизятся по сравнению с собственными частотами закрытой трубы, для которой

Таким образом, отрицательный (упругий) реактивный импеданс понижает собственные частоты и эквивалентен как бы увеличению размеров. Наоборот, при положительном (инерционном) импендансе на стенке собственные частоты, как это следует из равенства (5,56), повышаются, т. е. размеры системы как бы уменьшаются.

Произведем определение резонансной частоты для трубы, закрытой при и оканчивающейся импендансом при еще другим способом, применительно к вопросу о влиянии передней полости на работу конденсаторного микрофона.

Рассмотрим действие звука на трубу, закрытую с одного конца жесткой диафрагмой микрофона и имеющую на открытом конце фланец достаточно большой величины (рис. 29). Граничный слой трубы будем считать за плоский поршень площади с импедансом

вычисляемым по формулам для поршневой диафрагмы

Пусть на этот поршень действует сила возникающая под действием плоской звуковой волны с амплитудой

давления падающей по направлению оси трубы. Для длинных волн можно считать, что у стенки фланца и перед полостью возникает пучность давления и, следовательно,

Импеданс на закрытом конце трубы будем считать очень большим. Скорость в конце трубы а давление

Рис. 29

Величину можно вычислить из уравнения (5, 42), предполагая, что Первое неравенство очевидно; второе неравенство будет справедливо, если импеданс Так как при низких частотах (см. гл. И), то следует поставить требование, чтобы т. е. импеданс должен значительно превышать поскольку величина может быть порядка и больше,

При этих условиях из формулы (5, 42) получим:

и, следовательно,

Предположим, что (крайне низкие частоты); тогда

Из этого соотношения ясно, что при

мы получим и в трубе будет наблюдаться резонанс. Этот вывод соответствует элементарной теории трубы. Самая низкая резонансная частота будет соответствовать откуда

Получение при резонансе значения является результатом пренебрежения сопротивлением излучения и затуханием звука в трубе. Более точное выражение для условия резонанса найдем из равенства (5, 57), полагая

Этот вывод соответствует уже полученному ранее (см. (5, 53)) Решение этого трансцендентного уравнения может быть найдено графически для каждого конкретного случая. Например, для резонанса цилиндрической впадины конденсаторного микрофона (старого типа), для которого и , получаются две первые резонансные частоты:

Первый резонанс соответствует значению вместо как это вытекает из элементарной теории. Второй резонанс почти точно отвечает упрощенной теории . При резонансной частоте давление в конце трубы (у мембраны микрофона) сопротивление излучения является функцией и при частоте 6 670 гц знаменатель будет равен При первом резонансе получится т. е. давление в 2,4 раза больше, чем в полосе низких частот, где