Волновое уравнение

Перепишем уравнение неразрывности (1,13) в несколько иной форме. Используя соотношения (1,6) вместо напишем

Производную от по заменим на основании формулы (1,10) через а производные от скоростей по х, у и z - через вторые производные от по координатам согласно уравнению (1,9):

Обозначая стоящий в левой части дифференциальный оператор Лапласа через введя обозначение

получим следующее уравнение:

Это уравнение носит название волнового уравнения. В нем имеется только одна неизвестная функция координат и

времени, Решив это уравнение, можно определить все основные величины звукового поля, т. е. скорости частиц среды и звуковое давление.

Если взять производную по от обеих частей уравнения (1,14) и учесть, что на основании соотношения (1,8) и (1,10)

то получится волновое уравнение в другой, часто употребляемой форме:

Физический смысл волнового уравнения может быть истолкован следующим образом. Лапласиан характеризует разницу между концентрацией некоторой величины в какой-либо точке и в окрестностях этой точки. Волновое уравнение выражает тот факт, что при избытке давления в некоторой точке оно стремится с течением времени уменьшиться, а при снижении давления оно стремится увеличиться.

Решив уравнение (1,16), можно определить интегрированием по времени а затем найти скорости частиц по формулам (1,9). Аналогичное преобразование волнового уравнения с заменой потенциала какой-либо другой величиной, определяющей звуковое поле (например, смещением или скоростью частиц), вообще говоря, не может быть сделано. В частном случае, когда волновой процесс происходит лишь в одном измерении, такое преобразование возможно.

При выводе волнового уравнения, как мы видели, делается ряд упрощающих предположений:

1. Вязкость среды отсутствует.

2. Среднее давление и плотность среды принимаются независимыми от времени.

3. В уравнении движения постоянные во времени объемные силы не учитываются. Переменные объемные силы, действующие извне, отсутствуют. Внешние силы действуют на среду только через ее границы.

4. Постоянные скорости и их градиенты принимаются малыми.

5. Переменные скорости и их градиенты полагаются также малыми.

6. Предполагается, что движение является безвихревым (потенциальным).

7. Возникающие деформации среды полагаются малыми и связь между деформацией и напряжением полагается в форме прямой пропорциональности (закон Гука).

8. Среда, в которой распространяются волны, — однородна; переход вещества из одной фазы в другую не имеет места.

Несмотря на большое количество сделанных допущений, волновое уравнение в простейшей его форме (1,15) очень хорошо описывает основные свойства звуковых волн, что указывает на обоснованность вышеуказанных допущений в довольно широких границах.

Отметим важное свойство решений волнового уравнения. Если функции решения волнового уравнения, то вследствие линейности уравнения и функция

где постоянные величины, также является его решением.

Таким образом, отдельные решения могут быть наложены друг на друга и их сумма будет решением волнового уравнения. Отдельные волновые процессы, подчиняющиеся волновому уравнению (1,15), при совместном существовании просто складываются; это свойство решений называется принципом суперпозиции.

Если колебательный процесс происходит по гармоническому закону, то можно положить

где — функция только координат, а со — угловая частота процесса где период колебания. Принимая во внимание, что из уравнения (1,15) получим другое, более простое:

где

Это уравнение дает решение волновой задачи для гармонических колебаний и называется уравнением Гелъмголъца. Как мы увидим далее, постоянные с и к имеют вполне определенный физический смысл.