Отражение от конца трубы, закрытого жесткой стенкой с отверстием, имеющим некоторый импеданс

Пусть звуковая волна падает на конец трубы, закрытый жестким экраном, в центре которого расположено отверстие площади а с механическим импедансом (рис. 41).

Отражение от конца трубы дает сложную дифракционную картину вблизи отверстия. Строгое рассмотрение этого явления может быть проведено на основе теории неоднородных волн Здесь мы ограничимся указанием, что для труб, диаметр которых гораздо меньше длины волны, уже на небольшом расстоянии от отверстия отраженная волна делается плоской; линии тока изобразятся в этой области прямыми, параллельными оси трубы. Все волны другого вида, возникающие в результате отражения и в сумме дающие картину дифракции, затухают очень быстро вблизи отверстия и вдаль не распространяются.

Вблизи прямоугольного отверстия со сторонами расположенного в центре перегородки, стоящей поперек прямоугольной трубы, происходит выравнивание неоднородности поля скоростей. Действительно, скорости в плоскости перегородки в первом приближении можно задать в форме постоянной величины в зоне отверстия и равными нулю по поверхности перегородки. Такое распределение скоростей возбудит, колебания с модами (0,0); (2,0); (0,2); (2,2); (2,4); (0,4); (4,0) и т. д. Колебания с модой (0,0) будут распространяться вдоль трубы в виде плоской волны Колебания с более высокими модами будут затухать вблизи начала с коэффициентом затухания

Рис. 41

В квадратной трубе со стороной а для моды (2,0) или (0,2) (наиболее интенсивных) получим:

При соблюдении условия

На расстоянии произойдет затухание (по амплитуде в раз; на расстоянии — приблизительно в 8 раз и на расстоянии в два раза. Таким образом, затухающие колебания с высшими модами дадут искажение плоского поля лишь в самой ближней к отверстию зоне.

Ввиду вышеизложенного для падающей и отраженной волны скорости и волны давления примем выражения в форме плоских волн:

Начало координат выберем в точке, лежащей на малом расстоянии от отверстия, где отраженная волна уже может

считаться плоской. Учитывая малость отрезка по сравнению с , можно считать, что давление при будет равно давлению входа в отверстие с импедансом при этом мы допускаем, что скачок давления на неоднородной части поля отсутствует

Приближенно положим:

Среду в слое малом по сравнению с X можно считать несжимаемой. Тогда

Кроме того, механический импеданс

Подставляя в соотношении (7,1) и (7,2) значения

Из этих уравнений можно найти и Коэффициент отражения волны давления

Из полученного выражения заключаем, что механический импеданс в отверстии , расположенном на конце трубы площади создает механический импеданс на конце трубы:

где

Это соотношение показывает, что при пересчете механического импеданса с сечения а на сечение нужно увеличить импеданс в отношении Величину и можно рассматривать как коэффициент трансформации некоторого механического

трансформатора, аналогичного электрическому трансформатору, включенному на конце линии и имеющему отношение витков

Важно отметить, что акустический импеданс в отверстии, равный и эквивалентный акустический импеданс, пересчитанный на площадь и равный равны, так как давления и объемные скорости при трансформации остаются неизменными и их отношения, равные акустическому импедансу, также не меняются. Из выражения для легко получить коэффициент поглощения звука (по энергии) импедансом .