Распространение волн в трубе как дифракционный процесс

Каждая мода колебания на грани изображаемая членом вида может быть представлена в виде суперпозиции двух систем стоячих волн, направление которых составляет углы и с осями (см. 6,11). Поскольку стенки трубы абсолютно жесткие, можно представить систему стоячих волн продолженной за пределы сторон прямоугольника за счет бесконечного числа отражений от граней. Тогда вся плоскость окажется покрытой двойной системой стоячих волн (рис. 34), нормали к волновым фронтам которых направлены под углами осям х и у.

Рис. 34

Таким образом, можно считать, что граней нет, но колебательный процесс внутри прямоугольника точно воспроизводится как результат наложения двух систем стоячих волн. Каждая из этих систем стоячих волн будет излучать звук как безграничная синусоидальная дифракционная решетка с шагом

Рассмотрим излучение звука дифракционной решеткой. Пусть на плоскости вдоль оси х со скоростью распространяется поверхностная плоская волна. Колебательная скорость в направлении оси z может быть задана уравнением:

Эту поверхностную волну можно рассматривать как бегущую дифракционную решетку с синусоидальными бороздками. Предположим, что звуковое поле, создаваемое этой решеткой в полупространстве имеет форму плоской волны,

распространяющейся под углом к плоскости со скоростью с, причем волновой вектор лежит в плоскости и составляет угол с осью z. Потенциал скоростей этой волны

Чтобы волна давала на плоскости движения, соответствующие уравнению (6,20) нужно соблюсти граничное условие:

откуда

или

Из полученных выражений явствует, что волна, возникающая в полупространстве аналогична дифракционному спектру порядка для которого спектр порядка не возникает. Если на поверхности задана не бегущая, а стоячая волна, уравнение которой

то в пространстве мы должны предположить наличие суммы двух плоских волн, причем для одной из них в волновом аргументе должно стоять выражение а для второй Вторая волна будет соответствовать спектру минус первого порядка, симметричному со спектром плюс первого порядка по отношению к оси z.

Если длина волны X в полупространстве превышает длину волны А на поверхности то Тогда

а

Физический смысл в первом, экспоненциальном, множителе этого выражения имеет лишь знак минус. Волновой процесс в данном случае имеет характер плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности в направлении оси х со скоростью с, причем амплитуда волны убывает вдоль ее фронта с коэффициентом затухания

Каждая волновая мода состоящая из двух стоячих волн на плоскости создаст, таким образом, в трубе четыре спектра; волны, соответствующие этим спектрам, составляют углы с осью (см. формулу (6,18)). Именно таким образом мы можем интерпретировать четыре плоских волны (пучок из четырех "лучей"), о наличии которых уже сделано заключение ранее. В более сложных случаях, когда на грани возникает ряд мод колебаний, волновой процесс в трубе состоит из суперпозиции аналогичных четверных пучков плоских волн с различными наклонами к оси z и осям х и у.