ГЛАВА 8. СЛОЖНЫЙ СФЕРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ

Общее решение волнового уравнения

Предположим, что поверхность сферы радиуса совершает малые (по амплитуде скорости колебания, перпендикулярные к поверхности сферы и зависящие от угловых координат и (полярный угол и азимут) (рис. 62) и времени по закону:

Рис. 62

Если все точки поверхности колеблются в функции времени по некоторому закону в одной и той же фазе, то можно положить:

где выражает общий для всей сферы закон зависимости скорости колебаний от времени, дает распределение амплитуды по поверхности. Принимается, что функция и может иметь положительные или отрицательные значения или быть равной нулю. Такой закон движения соответствует образованию некоторой системы поверхностных стоячих волн, разделенных узловыми линиями. При гармоническом законе колебания

Можно получить и другую форму колебания, полагая комплексным. Так, полагая, что и получим

на поверхности сферы бегущие в азимутальном направлении волны вида:

причем число должно быть, очевидно, целым, иначе процесс в данной точке не будет однозначным. Сумма двух, бегущих в противоположных направлениях, волн равной амплитуды дает стоячую волну вида (8,1).

Для решения вопроса об излучении колеблющейся сферы введем сферические координаты, согласно соотношениям, вытекающим из рис. 62:

Волновое уравнение в сферических координатах примет вид:

Для установившегося периодического волнового процесса с круговой частотой можно принять, что потенциал скоростей звукового поля

Исключая в волновом уравнении время, получим:

Обозначив оператор, даваемый выражением в квадратных скобках, через А и умножая на имеем:

Будем решать уравнение (8,4) по методу Фурье путем разделения переменных. Положим:

Подставляя это соотношение в выражение (8,4), найдем:

Правая и левая части этого уравнения могут равняться только постоянной величине А. Получим два дифференциальных

уравнения, связанных общей постоянной Для функции которую обозначим просто уравнение имеет вид:

(здесь знак частной производной заменен на знак полной, так как функция зависит только от одной переменной . Для функции получим дифференциальное уравнение:

или

Уравнение (8,7) определяет особый вид функций, называемых сферическими или шаровыми. Для него, как известно, существует однозначное, конечное и непрерывное решение лишь при условии:

Частным решением уравнения (8,7) будет сферическая функция порядка -го рода, называемая часто поверхностной сферической функцией:

где

полиномы Лежандра, выражающиеся только в функции от Они называются также зональными сферическими функциями, или сферическими функциями 1-го рода. Функции вида

есть присоединенные сферические функции 1-го рода, зависящие и от и от Функции определяются выражением:

где второй множитель является полиномом степени

Для первых порядков имеем следующие выражения:

Сферическая функция в виде

будет далее использована при решении волнового уравнения. Для решения уравнения (8,6) положим и тогда уравнение (8,6) приведется к уравнению Бесселя:

Решением этого уравнения является линейная комбинация функций Бесселя и Неймана порядка

Здесь произвольные постоянные. Функции имеют осцилляторный характер.

Для исследования процессов излучения удобнее воспользоваться функциями Ганкеля 1-го и 2-го рода, которые качественно подобны функциям и Они выражаются через функции Бесселя и Неймана:

Функции в зависимости от монотонно убывают по амплитуде убывание происходит по закону и выражаются рядами с конечным числом членов (полиномами):

Биномиальные коэффициенты имеют следующие значения:

В дальнейших выкладках введем так называемые сферические бесселевы, неймановы и ганкелевы функции.

Эти функции порядка получаются умножением на основных функций порядка Обозначая имеем:

функции и первых порядков определяются следующими формулами:

Из формул (8,14) и (8,15) ясно, что при сферические ганкелевы функции 1 и 2 рода пропорциональны таким образом, совпадает с функцией излучения точечного источника.

Учитывая подстановку можно записать частные решения для потенциала скоростей в двух формах:

или

Произвольные постоянные в решении (8,13) для функции мы отбрасываем, поскольку уже вводятся произвольные постоянные или Сумма решений вида (8,17) или (8,18) является общим решением волнового уравнения.

Потенциал скоростей при исследовании собственных колебаний сферической полости удобно выразить в виде (8,17), причем следует положить поскольку а в центре сферы должно получиться конечное значение потенциала. Для расчета собственных частот сферического слоя необходимо учитывать второй член. При исследовании процессов излучения в свободное пространство второй член (8,17), содержащий функцию следует отбросить, так как он соответствует волнам типа т. е. волнам, сходящимся к центру, которые не могут возникать при излучении в свободное пространство.

Функция является комплексной. Представим ее в виде:

Учитывая соотношения (8,14) и для получим:

Функции обладают следующими свойствами:

общие свойства функций

Таблицы функций приведены в книге Морза

Из сказанного выше следует, что процессы излучения целесообразно исследовать, записав потенциал скоростей в форме суммы решений вида (8,18), причем постоянные полагаются равными нулю:

Кеэффициенты разложения определяются, если учесть распределение скоростей по поверхности сферы, записанное в форме (8,2) или (8,3). На поверхности сферы должно соблюдаться условие равенства радиальной скорости поверхности с радиальной компонентой скорости в окружающем звуковом поле, т. е.

Используя формулы (8, 21а), получим:

где положено:

Величины совпадают с аналогичными величинами, вводимыми Морзом.

Приведем значения функций для первых двух порядков:

Предельные значения и при больших и малых значениях будут:

Приводим также предельные значения для функций

где

Точные значения функций для первых порядков имеют вид:

Разлагая функции в ряд по сферическим функциям и используя соотношение (8,24), граничное условие (8,23) запишем в виде:

где

Для определения коэффициентов разложения и следует приравнять соответствующие по индексу члены разложения в правой и левой частях уравнения (8,32). Коэффициенты разложения функций определяются а форме интегралов по поверхности сферы единичного радиуса

Колебания поверхности, соответствующие сферической функции с индексами назовем колебаниями с модой или

просто модой Максимальная амплитуда стоячей волны зональных мод колебания на поверхности сферы получается на полюсах и равна Для секториальных мод амплитуда колебаний на поверхности сферы будет, согласно соотношению (8,12), зависеть от и по закону:

Максимальная амплитуда на экваторе будет равна:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых сферических функциях равенства (8,32), определим коэффициенты в формуле (8,22) для потенциала скоростей через коэффициенты разложения поверхностной скорости

Аналогичные выражения имеют место для Когда скорость на поверхности сферы распределена симметрично относительно оси и от не зависит, все коэффициенты будут равны нулю и Потенциал скоростей в этом случае выражается только через зональные сферические функции в соответствии с тем, что колебания сферы выразятся только зональными функциями. Если, кроме того, распределение скоростей симметрично относительно экваториальной плоскости, то в решении останутся лишь члены с четными индексами при несимметричном распределении по отношению к экватору в решение войдут члены как с четными, так и с нечетными индексами

Общее решение волнового уравнения для излучения представится в таком окончательном виде:

На основании формул (8,30) мы убеждаемся, что члены, характеризующие излучение различных порядков на больших расстояниях, убывают по одному и тому же закону — обратно пропорционально расстоянию, и соотношение их фаз и амплитуд не меняется. Однако вблизи от излучателя, как это видно из формул (8,14) и (8,29), члены высших порядков убывают тем быстрей, чем выше порядок Таким образом, в ближней зоне соотношение амплитуд, а также соотношение фаз для членов разных порядков сильно изменяется.

Рэлей нашел выражение для потенциала скоростей сферического излучателя в несколько иной форме, менее удобной для вычислений, но часто встречающейся в большом числе статей и книг. Приводим выражения функций Рэлея и их связь с функциями введенными Морзом. Потенциал скоростей записывается по Рэлею в следующей форме:

где

Полиномы введены впервые Стоксом. Исходя из этих выражений, путем простых вычислений найдем значение скорости частиц в звуковом поле (для частного решения порядка

где

Первые номера полиномов Стокса и Рэлея имеют вид:

Коэффициенты разложения в выражении потенциала скоростей (8,37) получим аналогично равенству (8,35):

Для и получаются аналогичные выражения с заменой на и Нетрудно выразить функции Рэлея через функции

Это соотношение позволяет найти значения комплексных функций через табулированные функции и Используя формулы (8,19) и (8,37), найдем также: