Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 8. СЛОЖНЫЙ СФЕРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬОбщее решение волнового уравненияПредположим, что поверхность сферы радиуса
Рис. 62 Если все точки поверхности колеблются в функции времени по некоторому закону в одной и той же фазе, то можно положить:
где
Можно получить и другую форму колебания, полагая на поверхности сферы бегущие в азимутальном направлении волны вида:
причем число Для решения вопроса об излучении колеблющейся сферы введем сферические координаты, согласно соотношениям, вытекающим из рис. 62:
Волновое уравнение в сферических координатах примет вид:
Для установившегося периодического волнового процесса с круговой частотой
Исключая в волновом уравнении время, получим:
Обозначив оператор, даваемый выражением в квадратных скобках, через А и умножая на
Будем решать уравнение (8,4) по методу Фурье путем разделения переменных. Положим:
Подставляя это соотношение в выражение (8,4), найдем:
Правая и левая части этого уравнения могут равняться только постоянной величине А. Получим два дифференциальных уравнения, связанных общей постоянной
(здесь знак частной производной заменен на знак полной, так как функция
или
Уравнение (8,7) определяет особый вид функций, называемых сферическими или шаровыми. Для него, как известно, существует однозначное, конечное и непрерывное решение лишь при условии:
Частным решением уравнения (8,7) будет сферическая функция порядка
где
полиномы Лежандра, выражающиеся только в функции от
есть присоединенные сферические функции 1-го рода, зависящие и от
где второй множитель является полиномом степени Для первых порядков имеем следующие выражения:
Сферическая функция в виде
будет далее использована при решении волнового уравнения. Для решения уравнения (8,6) положим и
Решением этого уравнения является линейная комбинация функций Бесселя и Неймана порядка
Здесь Для исследования процессов излучения удобнее воспользоваться функциями Ганкеля 1-го и 2-го рода, которые качественно подобны функциям и Они выражаются через функции Бесселя и Неймана:
Функции
Биномиальные коэффициенты имеют следующие значения:
В дальнейших выкладках введем так называемые сферические бесселевы, неймановы и ганкелевы функции. Эти функции порядка
функции
Из формул (8,14) и (8,15) ясно, что при Учитывая подстановку
или
Произвольные постоянные Потенциал скоростей при исследовании собственных колебаний сферической полости удобно выразить в виде (8,17), причем следует положить Функция
Учитывая соотношения (8,14) и
Функции
общие свойства функций
Таблицы функций Из сказанного выше следует, что процессы излучения целесообразно исследовать, записав потенциал скоростей в форме суммы решений вида (8,18), причем постоянные
Кеэффициенты разложения
Используя формулы (8, 21а), получим:
где положено:
Величины Приведем значения функций
Предельные значения и при больших и малых значениях
Приводим также предельные значения для функций
где
Точные значения функций
Разлагая функции
где Для определения коэффициентов разложения
Колебания поверхности, соответствующие сферической функции с индексами просто модой
Максимальная амплитуда на экваторе будет равна:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых сферических функциях равенства (8,32), определим коэффициенты
Аналогичные выражения имеют место для Общее решение волнового уравнения для излучения представится в таком окончательном виде:
На основании формул (8,30) мы убеждаемся, что члены, характеризующие излучение различных порядков на больших расстояниях, убывают по одному и тому же закону — обратно пропорционально расстоянию, и соотношение их фаз и амплитуд не меняется. Однако вблизи от излучателя, как это видно из формул (8,14) и (8,29), члены высших порядков убывают тем быстрей, чем выше порядок Рэлей нашел выражение для потенциала скоростей сферического излучателя в несколько иной форме, менее удобной для вычислений, но часто встречающейся в большом числе статей и книг. Приводим выражения функций Рэлея и их связь с функциями
где
Полиномы
где
Первые номера полиномов Стокса и Рэлея
Коэффициенты разложения
Для
Это соотношение позволяет найти значения комплексных функций
|
1 |
Оглавление
|