§ 7. МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. Важным этапом в развитии новых геометрических идей было создание геометрии многомерного пространства, о котором уже шла речь в предыдущей главе. Одной из причин ее возникновения служило стремление использовать геометрические соображения при решении вопросов алгебры и анализа. Геометрический подход к решению аналитических вопросов основан на методе координат. Приведем простой пример.

Рис. 21

Требуется узнать, сколько целочисленных решений имеет неравенство . Рассматривая как декартовы координаты на плоскости, видим, что вопрос сводится к следующему: сколько точек с целочисленными координатами содержится внутри круга радиуса

Точки с целочисленными координатами — это вершины квадратов со стороной единичной длины, покрывающих плоскость (рис. 21). Число таких точек внутри круга приближенно равно числу квадратов, лежащих внутри круга, т. е. приблизительно равно площади круга радиуса Таким образом, интересующее нас число решений неравенства приближенно равно При этом нетрудно доказать, что допускаемая здесь относительная ошибка стремится к нулю при Более точное исследование этой погрешности представляет собой весьма трудную задачу теории чисел, служившую в сравнительно недавнее время предметом глубоких исследований.

В разобранном примере оказалось достаточным перевести задачу на геометрический язык, чтобы сразу получить результат, далеко не очевидный с точки зрения «чистой алгебры». Совершенно так же решается аналогичная задача для неравенства с тремя неизвестными. Однако, если неизвестных более трех, этот метод не удается применить, поскольку наше пространство трехмерно, т. е. положение точки в нем определяется тремя координатами. Для сохранения полезной геометрической аналогии в подобных случаях вводят представление об абстрактном

-мерном пространстве», точки которого определяются координатами При этом основные понятия геометрии обобщаются таким образом, что геометрические соображения оказываются применимыми к решению задач с переменными; это сильно облегчает нахождение результатов. Возможность такого обобщения основана на единстве алгебраических закономерностей, в силу которого многие задачи решаются совершенно единообразно при любом числе перемепных. Это позволяет применять геометрические соображения, действующие при трех переменных, к любому их числу.

2. Зачатки понятия о четырехмерном пространстве встречаются еще у Лагранжа, который в своих работах по механике рассматривал время формально как «четвертую координату» наряду с тремя пространственными. Но первое систематическое изложение начал многомерной геометрии было дано в 1844 г. немецким математиком Грассманом и независимо от него англичанином Кэли. Они шли при этом путем формальной аналогии с обычной аналитической геометрией. Эта аналогия в современном изложении выглядит в общих чертах следующим образом.

Точка в «-мерном нространстве онределяется координатами Фигура в -мерном пространстве — это геометрическое место, или множество точек, удовлетворяющих тем или иным условиям. Например, «n-мерный куб» определяется как геометрическое место точек, координаты которых подчинены неравенствам: Аналогия с обычным кубом здесь совершенно прозрачна: в случае, когда т. е. пространство трехмерно, наши неравенства действительно определяют куб, ребра которого параллельны осям координат и длина ребер равна (на рис. 22 изображен случай

Расстояние между двумя точками можно определить как корень квадратный из суммы квадратов разностей координат

Это представляет собой прямое обобщение известной формулы для расстояния на плоскости или в трехмерном пространстве, т. е. при n = 2 или 3.

Теперь можно определить в -мерном пространстве равенство фигур. Две фигуры считаются равными, если между их точками можно установить такое соответствие, при котором расстояния между парами соответственных точек равны. Преобразование, сохраняющее расстояния, можно назвать обобщенным движением. Тогда по аналогии с обычной

эвклидовой геометрией можно сказать, что предмет «-мерной геометрии составляют свойства фигур, сохраняющиеся при обобщенных движениях. Это определение предмета -мерной геометрии было установлено в 70-х годах и дало точную основу для ее разработки. С тех пор. -мерная геометрия служит предметом многочисленных исследований во всех направлениях, аналогичных направлениям эвклидовой геометрии (элементарная геометрия, общая теория кривых и т. п.).

Понятие расстояния между точками позволяет перенести на «n-мерное пространство также другие понятия геометрии, такие как отрезок, шар, длина, угол, объем и т. п. Например, -мерный шар определяется как множество точек, удаленных от данной не больше, чем на данное

Рис. 22.

Поэтому аналитически шар задается неравенством

где — координаты его центра. Поверхность шара задается уравнением

Отрезок можно определить как множество таких точек X, что сумма расстояний от X до А и В равна расстоянию от А до В. (Длина отрезка есть расстояние между его концами.)

3. Остановимся несколько подробнее на плоскостях различного числа измерений.

В трехмерном пространстве таковыми являются одномерные «плоскости» — прямые и обычные (двумерные) плоскости. В -мерном пространстве при вводятся в рассмотрение еще многомерные плоскости числа измерений от 3 до

Как известно, в трехмерном пространстве плоскость задается одним линейным уравнением, а прямая — двумя такими уравнениями.

Путем прямого обобщения приходим к следующему определению: -мерной плоскостью в -мерном пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений

причем уравнения совместны и независимы (т. е. ни одно из них не является следствием других). Каждое из этих уравнений представляет -мерную плоскость, а все они вместе определяют общие точки к таких плоскостей.

То, что уравнения (8) совместны, означает, что вообще есть точки, им удовлетворяющие, т. е. данных -мерных плоскостей пересекаются. То, что ни одно уравнение не является следствием других, означает, что ни одно из них нельзя исключить. Иначе система сводилась бы к меньшему числу уравнений и определяла бы плоскость большего числа измерений. Таким образом, говоря геометрически, дело сводится к тому, что -мерная плоскость определяется как пересечение штук -мерных плоскостей, представляемых независимыми уравнениями. В частности, если то имеем уравнений, которые определяют «одномерную плоскость», т. е. прямую. Таким образом, данное определение А-мерной плоскости представляет естественное формальное обобщение известных результатов аналитической геометрии. Польза этого обобщения обнаруживается уже в том, что выводы, касающиеся систем линейных уравнений, получают геометрическое истолкование, которое делает эти выводы более ясными. С таким геометрическим подходом к вопросам линейной алгебры читатель мог ознакомиться в главе XVI.

Важным свойством -мерной плоскости является то, что она может рассматриваться сама как -мерное пространство. Так, например, трехмерная плоскость сама есть обычное трехмерное пространство. Это дает возможность переносить на пространства высшего числа измерений многие выводы, полученные для пространств низшего числа измерений, подобно обычным рассуждениям от

Если уравнения (8) совместны и независимы, то, как доказывается в алгебре, из переменных можно выбрать к так, что остальные переменных можно через них выразить. Например:

Здесь могут принимать любые значения, а остальные через них определяются. Это значит, что положение точки на -мерной плоскости определяется уже к координатами, могущими принимать любые значения. Именно в этом смысле плоскость имеет к измерений.

Из определения плоскостей разного числа измерений можно чисто алгебраически вывести следующие основные теоремы.

1) Через каждые точку, не лежащую на одной -мерной плоскости, проходит -мерная плоскость и притом только одна.

Полная аналогия с известными фактами элементарной геометрии здесь очевидна. Доказательство этой теоремы опирается на теорию систем линейных уравнений и несколько сложно, так что мы не будем излагать.

2) Если -мерная и -мерная плоскости в -мерном пространстве имеют хотя бы одну общую точку и при этом то они пересекаются по плоскости размерности не меньшей, чем

Как частный случай отсюда вытекает, что две двумерные плоскости в трехмерном пространстве, если они не совпадают и не параллельны, пересекаются по прямой Но уже в четырехмерном пространстве две двумерных плоскости могут иметь единственную общую точку. Например, плоскости, задаваемые системами уравнений:

очевидно, пересекаются в единственной точке с координатами

Доказательство сформулированной теоремы чрезвычайно просто: -мерная плоскость задается уравнениями; -мерная задается уравнениями; координаты точек пересечения должны удовлетворять одновременно всем уравнениям. Если ни одно уравнение не является следствием остальных, то по самому определению плоскости в пересечении имеем -мерную плоскость; в противном случае получается плоскость большего числа измерений.

К двум указанным теоремам можно добавить еще две.

3) На каждой -мерной плоскости есть по крайней мере точек, не лежащих в плоскости меньшего числа измерений. В -мерном пространстве есть по крайней мере точек, не лежащих ни в какой плоскости.

4) Если прямая имеет с плоскостью (любого числа измерений) две общие точки, то она целиком лежит в этой плоскости. Вообще, если -мерная плоскость имеет с -мерной плоскостью общих точек, не лежащих в -мерной плоскости, то она целиком лежит в этой -мерной плоскости.

Заметим, что -мерную геометрию можно строить, исходя из аксиом, обобщающих аксиомы, сформулированные в § 5. При таком подходе четыре указанные выше, теоремы принимаются за аксиомы сочетания. Это кстати показывает, что понятие аксиомы относительно: одно и то же

утверждение при одном построении теории выступает как теорема, при другом — как аксиома.

4. Мы получили общее представление о математическом понятии многомерного пространства. Чтобы выяснить реальный физический смысл этого понятия, обратимся снова к задаче графического изображения. Пусть, например, мы хотим изобразить зависимость давления газа от объема. Берем на плоскости координатные оси и на одной оси откладываем объем , а на другой — давление . Зависимость давления от объема при данных условиях изобразится некоторой кривой (при данной температуре для идеального газа это будет гипербола согласно известному закону Бойля-Мариотта). Но если мы имеем более сложную физическую систему, состояние которой задается уже не двумя данными (как объем и давление в случае газа), а, скажем, пятью, то графическое изображение ее поведения приводит к представлению соответственно о пятимерном пространстве.

Пусть, например, речь идет о сплаве трех металлов или о смеси трех газов. Состояние смеси определяется четырьмя данными: температурой давлением и процентными содержаниями двух газов (процентное содержание третьего газа определяется тогда тем, что общая сумма процентных содержаний равна 100%, так что Состояние такой смеси определяется, следовательно, четырьмя данными. Графическое его изображение требует или соединения нескольких диаграмм, или приходится представлять себе это состояние в виде точки четырехмерного пространства с четырьмя координатами Таким представлением фактически пользуются в химии; применение методов многомерной геометрии к задачам этой науки разработано американским ученым Гиббсом и школой советских физико-химиков академика Курнакова. Здесь введение многомерного пространства диктуется стремлением сохранить полезные геометрические аналогии и соображения, исходящие из простого приема графического изображения.

Приведем еще пример из области геометрии. Шар задается четырьмя данными: тремя координатами его центра и радиусом. Поэтому шар можно представлять точкой в четырехмерном пространстве. Специальная геометрия шаров, которую построили около ста лет назад некоторые математики, может рассматриваться поэтому как некоторая четырехмерная геометрия.

Из всего сказанного выясняется общее реальное основание для введения понятия многомерного пространства. Если какая-либо фигура, или состояние какой-либо системы и т. задается данными, то эту фигуру, это состояние и т. п. можно мыслить как точку некоторого -мерного пространства. Польза этого представления примерно та же, что польза обычных графиков: она состоит в возможности применить известные геометрические аналогии и методы для изучения рассматриваемых явлений.

В математическом понятии многомерного пространства нет, следовательно, никакой мистики. Оно представляет собой не более как некоторое абстрактное понятие, выработанное математиками для того, чтобы описывать на геометрическом языке такие вещи, которые не допускают простого геометрического изображения в обычном смысле. Это абстрактное понятие имеет вполне реальное основание, оно отражает действительность и было вызвано потребностями науки, а не праздной игрой воображения Оно отражает тот факт, что существуют вещи, которые, как шар или смесь из трех газов, характеризуются несколькими данными, так что совокупность всех таких вещей является многомерной. Число измерений в данном случае есть именно число этих данных. Как точка, двигаясь в пространстве, меняет три свои координаты, так шар, двигаясь, расширяясь и сжимаясь, изменяет четыре свои «координаты», т. е. четыре величины, которые его определяют.

В следующих параграфах мы еще остановимся на многомерной геометрии. Сейчас же важно только понять, что она является методом математического описания реальных вещей и явлений. Представление о каком-то четырехмерном пространстве, в котором находится наше реальное пространство — представление, использовавшееся некоторыми беллетристами и спиритами, не имеет отношения к математическому понятию о четырехмерном пространстве. Если и можно говорить здесь об отношении к науке, то разве лишь в смысле фантастического искажения научных понятий.

5. Как уже говорилось, геометрия многомерного пространства строилась сначала путем формального обобщения обычной аналитический геометрии на произвольное число переменных. Однако такой подход к Делу не мог полностью удовлетворить математиков. Ведь цель состояла не столько в обобщении геометрических понятий, сколько в обобщении самого геометрического метода исследования. Поэтому важно было дать чисто геометрическое изложение -мерной геометрии, не зависящее от аналитического аппарата. Впервые это было сделано швейцарским математиком Шлефли в 1852 г., рассмотревшим в своей работе вопрос о правильных многогранниках многомерного пространства. Правда, работа Шлефли не была оценена современниками, так как для ее понимания нужно было в той или иной мере подняться до абстрактного взгляда на геометрию. Лишь дальнейшее развитие математики внесло в этот в опрос [полную ясность, выяснив исчерпывающим образом взаимоотношение аналитического и геометрического подходов. Не имея возможности углубляться в этот вопрос, мы ограничимся примерами геометрического изложения -мерной геометрии. Рассмотрим геометрическое определение -мерного куба. Двигая отрезок в плоскости перпендикулярно самому себе на расстояние, равное его длине, мы зачертим квадрат, т. е. двумерный куб (рис. 23, а). Совершенно аналогично, двигая квадрат в направлении, перпендикулярном его плоскости, на расстояние, равное его

стороне, мы зачертим трехмерный куб (рис. 23, б). Чтобы получить четырехмерный куб, применяем то же построение: взяв в четырехмерном пространстве трехмерную плоскость и в ней трехмерный куб, двигаем его в направлении, перпендикулярном этой трехмерной плоскости, на расстояние, равное ребру (по определению прямая перпендикулярна -мерной плоскости, если она перпендикулярна всякой прямой, лежащей в этой плоскости). Это построение условно представлено на рис. 23, в, Здесь изображено два трехмерных куба — данный куб в первоначальном и конечном положении. Линии, соединяющие вершины этих кубов, изображают те отрезки, по которым двигаются вершины при перемещении куба.

Рис. 23.

Мы видим, что четырехмерный куб имеет всего 16 вершин: восемь у куба и восемь у куба . Далее, он имеет 32 ребр»: 12 ребер передвигаемого трехмерного куба в начальном положении ребер его в конечном положении и 8 «боковых» ребер. Он имев! 8 трехмерных граней, которые сами являются кубами. При движенга трехмерного куба каждая его грань зачерчивает трехмерный куб, так что получается 6 кубов — боковых граней четырехмерного куба, и, кроме того, имеются еще две грани: «передняя» и «задняя», соответственно перво начальному и конечному положению передвигаемого куба. Наконец, четырехмерный куб имеет еще двумерные квадратные грани общим числом 24: по шести у кубов и еще 12 квадратов, которые зачерчу вают ребра куба при его перемещении.

Итак, четырехмерный куб имеет 8 трехмерных граней, 24 двумерных грани, 32 одномерных грани (32 ребра) и, наконец, 16 вершин; кажда грань есть «куб» соответствующего числа измерений: трехмерный куб, квадрат, отрезок, вершина (ее можно считать нульмерным кубом).

Аналогично, перемещая четырехмерный куб «в пятое измерение», получим пятимерный куб, и так, повторяя это построение, можно построить куб любого, числа измерений. Все грани -мерного куба сами

являются кубами меньшего числа измерений: -мерные, и т. д. и, наконец, одномерные, т. е. ребра. Любопытной и нетрудной задачек является найти, сколько граней каждого числа измерений имеет -мерный куб. Легко убедиться, что он имеет штук -мерных граней и вершин. А сколько будет, например, ребер?

Рассмотрим еще один многогранник -мерного пространства. На плоскости простейшим многоугольником является треугольник — он имеет наименьшее возможное число вершин. Чтобы получить многогранник с наименьшим числом вершин, достаточно взять точку, не лежащую в плоскости треугольника, и соединить ее отрезками с каждой точкой этого треугольника. Полученные отрезки заполнят трехгранную пирамиду — тетраэдр (рис. 24).

Рис. 24.

Чтобы получить простейший многогранник в четырехмерном пространстве, рассуждаем так. Берем какую-нибудь трехмерную плоскость и в ней некоторый тетраэдр Т. Затем, взяв точку, не лежащую в данной трехмерной плоскости, соединяем ее отрезками со всеми точками тетраэдра Т. На самом правом из рис. 24 условно изображено это построение. Каждый из отрезков, соединяющих точку О с точкой тетраэдра Т, не имеет с тетраэдром других общих точек, так как в противном случае он целиком помещался бы в трехмерном пространстве, содержащем Т. Все такие отрезки как бы «идут в четвертое измерение». Они заполняют простейший четырехмерный многогранник — так называемый четырехмерный симплекс. Его трехмерные грани суть тетраэдры: один в основании и еще 4 боковых грани, опирающиеся на двумерные грани основания; всего 5 граней. Его двумерные грани — треугольники; их всего 10: четыре у основания и шесть боковых. Наконец, он имеет 10 ребер и 5 вершин.

Повторяя такое же построение для любого числа измерений, получим простейший -мерный многогранник — так называемый n-мерный симплекс. Как видно из построения, он имеет вершину. Можно убедиться, что все его грани тоже являются симплексами меньшего числа измерений: -мерные, -мерные и т. д.

Легко также обобщить понятия призмы и пирамиды. Если мы будем параллельно переносить многоугольник из плоскости в третье измерение, то он зачертит призму. Аналогично, перенося трехмерный многогранник в четвертое измерение, получим четырехмерную призму (условно это изображено на рис. 25). Четырехмерный куб есть, очевидно, частный случай призмы.

Рис. 25.

Пирамида строится следующим образом. Берется многоугольник в точка О, не лежащая в плоскости многоугольника. Каждая точка многоугольника соединяется отрезком с точкой О и эти отрезки заполняют пирамиду с основанием (рис. 26). Аналогично, если в четырехмерном пространстве дан трехмерный многогранник и точка О, не лежащая с ним в одной трехмерной плоскости, то отрезки, соединяющие точки многогранника с точкой О, заполняют четырехмерную пирамиду с основанием Четырехмерный симплекс есть не что иное, как пирамида с тетраэдром в основании.

Рис. 26.

Совершенно аналогично, отправляясь от -мерного многогранника можно определить -мерную призму и -мерную пирамиду.

Вообще -мерный многогранник есть часть -мерного пространства, ограниченная конечным числом кусков -мерных плоскостей; -мерный многогранник есть часть -мерной плоскости, ограниченная конечным числом кусков -мерных плоскостей. Грани многогранника сами являются многогранниками меньшего числа измерений.

Теория -мерных многогранников представляет собой богатое конкретным содержанием обобщение теории обычных трехмерных многогранников. В ряде случаев теоремы о трехмерных многогранниках обобщаются на любое число измерений без особого труда, но встречаются и такие

вопросы, решение которых для -мерных многогранников представляет огромные трудности. Здесь можно упомянуть глубокие исследования Г. Ф. Вороного (1868—1908), возникшие, кстати сказать, в связи с задачами теории чисел; они были продолжены советскими геометрами. Одна из возникших задач — так называемая «проблема Вороного» — все еще не решена полностью

Примером, на котором обнаруживается существенная разница между пространствами разных измерений, могут служить правильные многогранники. На плоскости правильный многоугольник может иметь любое число сторон. Иными словами, имеется бесконечно много разных видов правильных «двумерных многогранников». Трехмерных правильных многогранников всего пять видов: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В четырехмерном пространстве есть шесть видов правильных многогранников, но уже в любом пространстве большего числа измерений их всего три. Это: 1) аналог тетраэдра — правильный -мерный симплекс, т. е. симплекс, все ребра которого равны;

Рис. 27.

2) -мерный куб; 3) аналог октаэдра, который строится следующим образом: центры граней куба служат вершинами этого многогранника, так что он как бы натягивается на них. В случае трехмерного пространства это построение произведено на рис. 27. Мы видим, что в отношении правильных многогранников двух, трех и четырехмерные пространства занимают особое положение.

6. Рассмотрим еще вопрос об объеме тел в -мерном пространстве. Объем -мерного тела определяется аналогично тому, как это делается в обычной геометрии. Объем — это сопоставляемая фигуре численная характеристика, причем от объема требуется, чтобы у равных тел были равные объемы, т. е. чтобы объем не менялся при движении фигуры как твердого целого, и чтобы в случае, когда одно тело сложено из двух, его объем был равен сумме их объемов. За единицу объема принимается объем куба с ребром, равным единице. После этого устанавливается, что объем куба с ребром а равен Это делается так же, как на плоскости и в трехмерном пространстве, путем заполнения куба слоями из кубов (рис. 28). Так как кубы укладываются по направлениям, то это и дает

Чтобы определить объем любого -мерного тела, его заменяют приближенно телом, сложенным из весьма малых -мерных кубов, подобно

тому, как на рис. 29 плоская фигура заменяется фигурой из квадратиков. Объем тела определяется как предел таких ступенчатых тел при безграничном измельчении составляющих их кубиков.

Совершенно аналогично определяется -мерный объем -мерной фигуры, лежащей в какой-нибудь -мерной плоскости. Из определения объема легко выводится важное его свойство: при подобном увеличении тела, когда все его линейные размеры увеличиваются в X раз, А-мерный объем увеличивается в раз.

Рис. 28.

Рис. 29.

Если тело разбить на параллельные слои, то его объем представляется как сумма объемов этих слоев

Объем каждого слоя можно приближенно представить как произведение его высоты на -мерный объем («площадь») соответствующего сечения . В результате объем всего тела приближенно представится суммой

Переходя к пределу при всех получим представление объема в виде интеграла

где Н — протяжение тела в направлении, перпендикулярном проводимым сечениям.

Все это совершенно аналогично вычислению объемов в трехмерном пространстве. Например, у призмы все сечения равны, и, следовательно, их «площадь» S не зависит от Поэтому для призмы т. е. объем призмы равен произведению «площади» основания на высоту. Определим еще объем -мерной пирамиды. Пусть дана пирамида с высотой Н и площадью основания Пересечем ее плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии от вершины. Тогда отсечется пирамида высоты . Площадь ее основания обозначим через Эта меньшая

пирамида, очевидно, подобна исходной: все ее размеры во столько же раз меньше, во сколько меньше Н, т. е. они умножаются на

Поэтому -мерный объем (т. е. «площадь») ее основания будет равен

поскольку при изменении линейных размеров -мерной фигуры в X раз, ее объем умножается на

Объем всей пирамиды согласно формуле (9) равен

откуда

т. е. объем -мерной пирамиды равен произведения «площади» -мерного объема основания на высоту. При равном 2 или 3, получаем, как частные случаи, известные результаты: площадь (двумерный объем) треугольника равна половине произведения основания на высоту, а объем трехмерной пирамиды — одной трети произведения площади основания на высоту.

Шар можно приближенно представить как составленный из очень узких пирамид с общей вершиной в центре шара. Высоты этих пирамид равны радиусу а из площадей их оснований складывается приближенно вся поверхность шара Так как объем каждой пирамиды равен — то, складывая эти объемы, получим для объема шара

В пределе это дает точную формулу: т. е. объем шара равен произведения радиуса на его поверхность. Для равного 2 или 3, эта связь широко известна.

Отметим важное свойство шара, доказываемое для -мерного пространства, вообще говоря, буквально так же, как для трехмерного: среди всех тел данного объема наименьшую площадь поверхности имеет шар и только шар.

7. Мы ограничивались пока элементарной геометрией n-мерного пространства, но в нем можно развивать также, «высшую» геометрию, например, общую теорию кривых и поверхностей. В -мерном пространстве поверхности могут быть разного числа измерений: одномерные «поверхности», т. е. кривые, двумерные поверхности, трехмерные, и, наконец, поверхности. Кривую можно определить как геометрическое, место точек, координаты которых непрерывно зависят от какой-либо переменной — параметра

Кривая есть как бы траектория движения точки в -мерном пространстве с изменением Если наше пространство служит для изображения состояний какой-либо физической системы, как об этом говорилось в то кривая изображает непрерывную последовательность состояний или ход изменения состояния в зависимости от параметрам (например, времени). Это обобщает обычное графическое изображение процесса изменения состояний посредством кривых.

С каждой точкой. кривой в -мерном пространстве связывают, не только касательную («одномерную соприкасающуюся плоскость»), но и соприкасающиеся плоскости всех измерений от 2 до . Скорость вращения каждой из этих плоскостей по отношению к скорости прохождения длины кривой дает соответствующую кривизну. Таким образом, кривая имеет соприкасающуюся плоскость, от одномерной до -мерной, и соответственно кривизну. Дифференциальная геометрия в -мерном пространстве оказывается гораздо более сложной, чем в трехмерном. На теории поверхностей мы не имеем возможности останавливаться.

До сих пор речь шла об -мерной геометрии, обобщающей непосредственно обычную эвклидову геометрию. Но мы уже знаем, что, кроме эвклидовой геометрии, существует еще геометрия Лобачевского, проективная геометрия и др. Эти геометрии так же легко обобщаются на любое число измерений.